Xuất phát từ một ph−ơng pháp IRKN trực tiếp s nấc dạng (1.3), ta tách ma trận và các véc tơ hệ số A,b,d,c thành các ma trận và véc tơ con nh− sau: c = cs−k ck , A = A s−k,s−k As−k,k Ak,s−k Ak,k , b= b s−k bk , d = d s−k dk . (1.18)
trong đó k là một số nguyên d−ơng cho tr−ớc nhỏ hơn s; Aij là ma trận cấp i ìj; ei,ci,bi,di là các véc tơ i chiều (i = k hoặc s −k). Nếu ta viết Un d−ới dạng ((U(ns−k))T,(U(nk))T)T ta có thể viết ph−ơng pháp IRKN d−ới dạng t−ơng đ−ơng nh− sau:
U(ns−k) = unes−k +huncs−k+h2As−k,s−kf(tnes−k +hcs−k,Usn−k) + h2As−k,kf(tnek +hck,U(nk)), (1.19a) U(nk) = unek+ hunck +h2Ak,s−kf(tnes−k +hcs−k,U(ns−k)) + h2Ak,kf(tnek +hck,U(nk)), (1.19b) un+1 = un+ hun+h2bTs−kf(tnes−k +hcs−k,U(ns−k)) + h2bTkf(tnek +hck,U(nk)), (1.19c) un+1 = un+ hdTs−kf(tnes−k+ hcs−k,Y(ns−k)) + hdTkf(tnek +hck,Y(nk)). (1.19d) Thay thế U(ns−k) bằng một công thức ngoại suy dựa trên véc tơ Un−1 tính từ b−ớc n−1và đ−a vào các véc tơ mới Vn, Wn thay thế cho các véc
tơ U(ns−k), U(nk) cũ ta sẽ nhận đ−ợc một ph−ơng pháp mới có dạng giống ph−ơng pháp RKN nh− sau: Vn = ynv+Bs−k,s−kVn−1+ Bs−k,kWn−1, (1.20a) Wn = ynek+ hynck+h2Ak,s−kf(tnes−k +hcs−k,Vn) +h2Ak,kf(tnek+ hck,Wn), (1.20b) yn+1 = yn+ hyn + h2bTs−kf(tnes−k +hcs−k,Vn) +h2bTkf(tnek +hck,Wn), (1.20c) yn+1 = yn + hdTs−kf(tnes−k+ hcs−k,Vn) +hdTkf(tnek +hck,Wn). (1.20d) trong đó Bij là ma trận ngoại suy iìj chiều, v là véc tơ ngoại suy s−k chiều. Cách xác định các ma trận và véc tơ ngoại suy Bij, v đ−ợc nghiên cứu chi tiết trong [1]. Véc tơ (VTn,WTn)T có thể xem nh− véc tơ nấc mới (new stage vector). Ph−ơng pháp (1.20) đã sử dụng thông tin về giá trị nấc
(VTn−1,WTn−1)T và (VTn,WnT)T của hai b−ớc cũ để xác định nghiệm xấp xỉ tại b−ớc mới, đó là lí do để nó đ−ợc gọi là ph−ơng pháp RKN hai b−ớc (TRKN).
Lớp các ph−ơng pháp TRKN (1.20) có những −u việt hơn cả những ph−ơng pháp RKN tốt nhất ở chỗ là với mọi cấp chính xác p cho tr−ớc chúng ta có thể xây dựng một ph−ơng pháp TRKN cấp p với số các quan hệ ẩn k tuỳ ý (có thể nhỏ hơn p/2).
Cấp chính xác của ph−ơng pháp TRKN
T−ơng tự nh− đối với các ph−ơng pháp RKN ta có định nghĩa sau về cấp chính xác của ph−ơng pháp TRKN
Định nghĩa 1.4.1 Cho U(ns−k)(tn+1) = (y(tn+hc1), . . . , y(tn+hcs−k))T
là vectơ (s−k) chiều vàUn(k)(tn+1) = (y(tn+hcs−k+1), . . . , y(tn+hcs))T
là vectơ k chiều. Với y(t) là nghiệm chính xác địa ph−ơng (locally exact solution) của (1) thoả mãn y(tn) =yn, y(tn) = yn. Chúng ta nói ph−ơng
pháp TRKN có cấp chính xác pvà cấp chính xác nấc r nếu: y(tn+1)−yn+1 =O(hp1+1), y(tn+1)−yn+1 =O(hp2+1), U(ns−k)(tn+1)−Vn = O(hq+1), U(nk)(tn+1)−ynek −hynck−h2Ak,s−kf(tnes−k +hcs−k,Vn) −h2Ak,kf(tnek +hck,Un(k)(tn+1)) = O(hp3+1),
với p=min(p1,p2), r=min(p, q, p3).
Định lí về cấp chính xác của ph−ơng pháp TRKN đ−ợc phát biểu dựa trên Bổ đề sau:
Bổ đề 1.4.1 [1, Bổ đề 3.1] Nếu ph−ơng pháp IRKN gốc (1.19) có cấp các xấp xỉ trung gian bằng r∗ (r∗ s) và nếu y(tn) = un, y(tn) = un,
U(ns−k)(tn+1)−Vn = O(hq+1) thì ta có các đánh giá sau:
U(ns−k)−Vn = O(hr∗+1) +O(hq+1),
U(nk)−Wn = O(hr∗+3) +O(hq+3).
Sử dụng Bổ đề 1.4.1 để chứng minh định lí sau về cấp chính xác của ph−ơng pháp TRKN.
Định lí 1.4.5 [1, Định lí 3.1] Nếu ph−ơng pháp IRKN gốc (1.19) có cấp các xấp xỉ trung gian bằng r∗ (r∗ s), cấp chính xác p∗ (p∗ s) và nếu
U(ns−k)(tn+1)−Vn = O(hq+1) thì ph−ơng pháp TRKN có cấp chính xác nấc r = min(r∗, q) và cấp chính xác p = min(p∗, r∗+ 1, q + 1) với mọi
vectơ trùng khớp c.
Chứng minh chi tiết của bổ đề 1.4.1 và định lí 1.4.5 trên có thể tham khảo trong [1].
Xác định ma trận và vector hệ số
Trong mục này ta xác định các ma trận Bs−k,s−k, Bs−k,k và véc tơ v
trong (1.20) của ph−ơng pháp TRKN với giả thiết hệ chỉ có một ph−ơng trình (N = 1). Khi đó (1.20a) có dạng đơn giản
Vn = vyn +Bs−k,s−kVn−1+Bs−k,kWn−1. (1.21) Thay các giá trị xấp xỉ Vn, yn,Vn−1,Wn−1bằng các giá trị đúng t−ơng ứng y(tnes−k + cs−kh, y(tn), y(tn−1es−k + cs−kh, y(tn−1es + ckh. Ta đi đến điều kiện sau:
y(tnes−k +cs−kh−y(tn)v−Bs−k,s−ky(tn−1es−k +cs−kh
−Bs−k,ky(tn−1es+ ckh) = O(hq+1). (1.22) Khai triển vế trái của (1.22) theo luỹ thừa của h với điều kiện q = s, ta có:
(Bs−k,s−k, Bs−k,kv) = P Q−1 (1.23) kí hiệu e∗ là véc tơ s+1 chiều có các phần tử là 1, và kí hiệu a = (cT,1)T, P = [es−k,(es−k −cs−k),(es−k −cs−k)2, ...,(es−k −cs−k)s]
Q = (e∗,a,a2), ...as, về việc xác định ma trận và véc tơ hệ số của ph−ơng pháp PTRKN có thể xem thêm trong [1]