Định hƣớng (nguyờn tắc) xõy dựng hệ thống bài toỏn:

V. CẤU TRÚC LUẬN VĂN

2.3. Định hƣớng (nguyờn tắc) xõy dựng hệ thống bài toỏn:

+ Nguyờn tắc 1: Trờn cơ sở tụn trọng chƣơng trỡnh, SGK Toỏn, hệ thống bài tập ở SGK và SBT để lựa chọn và sắp xếp.

+ Nguyờn tắc 2: Tập trung vào cỏc dạng bài toỏn thể hiện đƣợc những kỹ năng cơ bản khi giải toỏn bằng cỏch khai thỏc mối liờn hệ giữa hàm số và phƣơng

2.4. Hệ thống bài toỏn rốn luyện kỹ năng

Một số dạng toỏn khai thỏc mối liờn hệ giữa hàm số và phương trỡnh

Dạng toỏn 1: Viết phƣơng trỡnh đƣờng thẳng thoả món điều kiện cho trƣớc.

Dạng toỏn 2: Tỡm giỏ trị của tham số khi biết quan hệ giữa đƣờng thẳng với đƣờng thẳng, hoặc đƣờng thẳng và đƣờng cong trong mặt phẳng toạ độ

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

Dạng toỏn 3: Bài tập về diện tớch một hỡnh đƣợc giới hạn bởi cỏc đƣờng giao nhau trờn mặt phẳng toạ độ

+ Ở THCS dạng toỏn tỡm diện tớch một hỡnh đa giỏc đƣợc giới hạn bởi cỏc đƣờng giao nhau trờn mặt phẳng tọa độ chỉ đơn giản là tỡm diện tớch một

tam giỏc, mà đỉnh là giao của đƣờng thẳng (d): y = ax + b và parabol (P): y = ax2 với gốc tọa độ.

+ Ở THPT dạng toỏn tỡm diện tớch một hỡnh đƣợc giới hạn bởi cỏc đƣờng giao nhau trờn mặt phẳng tọa độ chớnh là tớnh diện tớch toàn phần, khi tớnh diện tớch ỏp dụng phƣơng phỏp tớch phõn.

Dạng toỏn 4: Giải và biện luận phƣơng trỡnh bậc hai bằng phƣơng phỏp đồ thị.

Dạng toỏn 5: Giải hệ phƣơng trỡnh bậc nhất hai ẩn bằng phƣơng phỏp đồ thị.

Dạng toỏn 6: Tỡm Max, Min của hàm số y = f(x) sử dụng cụng cụ phƣơng trỡnh, hệ phƣơng trỡnh, bất phƣơng trỡnh để giải.

2.4.1. Dạng toỏn 1:

Viết phương trỡnh đường thẳng thoả món điều kiện cho trước

Cho điểm A(x y0, 0) thuộc đƣờng thẳng (d): y = ax+b, hay vị trớ tƣơng đối của đƣờng thẳng với đƣờng thẳng , hay vị trớ tƣơng đối giữa đƣờng thẳng với đƣờng cong (P): y = ax2

.

Tỡm cỏc hệ số của đƣờng thẳng (bằng cỏch dựa vào đề bài để thiết lập cỏc hệ phƣơng trỡnh tƣơng ứng), từ đú viết đƣợc phƣơng trỡnh đƣờng thẳng (d) : y = ax+b

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

2.4.1.1. PP giải và những kỹ năng cần thiết

Gọi phƣơng trỡnh đƣờng thẳng là (d): y = ax+b.(*)

a)Viết phƣơng trỡnh đƣờng thẳng đi qua một điểm A((x y0, 0)cho trƣớc và song song với một đƣờng thẳng cho trƣớc (d‟): y = a‟x+b‟

Nếu điểm A(x y0, 0)  y = ax+b (sử dụng kỹ năng 1)

thoả món y0 ax0b(1)(sử dụng kỹ năng 2)

Nếu (d) // (d‟): y = a‟x+b‟thoả món a = a‟thay vào (1) tỡm đƣợc hệ số b (sử dụng kỹ năng 2)

Thay vào phƣơng trỡnh (*)  Viết đƣợc phƣơng trỡnh đƣờng thẳng (sử dụng kỹ năng 3)

b) Viết phƣơng trỡnh đƣờng thẳng đi qua một điểm A((x y0, 0)cho trƣớc và vuụng gúc với một đƣờng thẳng cho trƣớc (d‟): y = a‟x+b‟

Nếu điểm A(x y0, 0)  y = ax+b (*).(sử dụng kỹ năng 1)

thoả món y0 ax0b(1)(sử dụng kỹ năng 2)

Nếu (d) (d‟):y = a‟x+b‟thoả món a.a‟= -1 1 '

a a

  thay vào (1) tỡm đƣợc hệ số b (sử dụng kỹ năng 2)

Thay vào phƣơng trỡnh (*)  Viết đƣợc phƣơng trỡnh đƣờng thẳng (sử dụng kỹ năng 3)

c) Viết phƣơng trỡnh đƣờng thẳng đi qua điểm A(xA,yA) và B(xB;yB) cho trƣớc Vỡ A(xA,yA) (d): y = ax+b (sử dụng kỹ năng 1)

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

Vỡ điểm B(xB;yB) (d): y = a x+b(sử dụng kỹ năng 1)

nờn thoả món yB axB b (2) (sử dụng kỹ năng 2)

Giải hệ phƣơng trỡnh tỡm hệ số a,b: A A B B y ax b y ax b        (sử dụng kỹ năng 4)

Thay vào phƣơng trỡnh (*)  Viết đƣợc phƣơng trỡnh đƣờng thẳng (sử dụng kỹ năng 3)

d) Viết phƣơng trỡnh đƣờng thẳng song song (hoặc vuụng gúc) với một đƣờng thẳng cho trƣớc (d‟): y = a‟x+b‟và tiếp xỳc với (P) cho trƣớc: y = ax2

Vỡ (d) : y = kx+b (*) tiếp xỳc với (P) : y = ax2 (sử dụng kỹ năng 1)

nờn thoả món 2

ax kx b phƣơng trỡnh cú nghiệm duy nhất x k a

  , (d)//(d‟) hoặc (d)(d‟) (sử dụng kỹ năng 2)

nờn ta sẽ tớnh đƣợc x

Thay vào phƣơng trỡnh (*)  tỡm đƣợc b (sử dụng kỹ năng 3)

Viết đƣợc phƣơng trỡnh đƣờng thẳng

2.4.1.2 Minh họa qua một số vớ dụ :

Vớ dụ 1: Trờn mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;2) B(3;4) a) Tỡm hệ số a của đƣờng thẳng đi qua A và B.

b) Xỏc định hàm số biết đồ thị của nú là đƣờng thẳng đi qua A và B. Giải:

a) GV dẫn dắt cho HS phỏt hiện đƣợc hàm số trong bài toỏn bằng cỏch:

Giả sử đƣờng thẳng đi qua A và B cú dạng: y = ax + b (1)(sử dụng kỹ năng 1). Khi đú : Dạng tổng quỏt của đƣờng thẳng (d): y = ax+b

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

- GV tiếp tục cho HS thiết lập đƣợc hàm số trong bài toỏn

GV hƣớng dẫn cho HS.Vỡ A(xA,yA)(d): y = ax+b (sử dụng kỹ năng 1)

Nờn tọa độ của điểm A đều thỏa món :yA axAb.

HS thay cỏc tọa độ A(1;2) vào (d):yA axAb (sử dụng kỹ năng 2)

HS thay tọa độ điểm A vào (d): 2 = a.1+b (*)

Tƣơng tự vỡ B(xB,yB)(d): y = ax+b, nờn tọa độ điểm B đều thỏa món:

B B

y ax b (sử dụng kỹ năng 2)

HS thay tọa độ điểm B(3;4) vào đƣờng thẳng: yB axBbkhi và chỉ khi: 4 = a .3 + b  b = 4 – 3a.(**)

- GV hƣớng cho HS lợi dụng mối liờn hệ giữa hàm số và phƣơng trỡnh

GV nhắc lại cho HS vỡ A và B đều thuộc đƣờng thẳng (d) nờn thỏa món HPT (sử dụng kỹ năng4) Giaỉ :     2 a.1 b * b 4 – 3a. **         1 1 a b      HS tỡm đƣợc a và b Hệ số a của đƣờng thẳng đi qua A và B là 1.

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

(sử dụng kỹ năng 3).Vận dụng lý thuyết về hàm số vẽ đồ thị : y = x+1 đi qua điểm A (1;2) và B(3;4)

Giỏo viờn hƣớng dẫn lại cho học sinh với: Đồ thị đƣờng thẳng (d) : y =ax+b

Nếu a < 0 hàm số nghịch biến Nếu a > 0 hàm số đồng biến

Vớ dụ 2:

Viết phƣơng trỡnh đƣờng thẳng

a. Qua điểm A(-2;3) và song song với đƣờng thẳng y =2

3 x + 1 b. Qua điểm B(-4;-1) và vuụng gúc với đƣờng thẳng y = 2x + 3

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

Giải:

a) - GV dẫn dắt cho HS phỏt hiện đƣợc hàm số trong bài toỏn bằng cỏch: Giả sử đƣờng thẳng đi qua A và B cú dạng (d): y = ax + b (1).(sử dụng kỹ năng 1). Khi đú: Dạng tổng quỏt của đƣờng thẳng (d): y = ax+b

- GV tiếp tục cho HS thiết lập đƣợc hàm số trong bài toỏn

GV hƣớng dẫn cho HS.Vỡ A(xA,yA) (d): y = ax+b (sử dụng kỹ năng 1)

Nờn tọa độ của điểm A đều thỏa món (d) :yA axAb .HS thay cỏc tọa độ A(-2;3) vào (d): yA axAb (sử dụng kỹ năng 2):HS thay tọa độ điểm A vào (d): 3=a.-2+b(*)

Tƣơng tự vỡ yA axA b // y =2

3x+1, nờn a=2

3 (vỡ nếu (d) // (d‟): y=a‟x+b‟thoả món a = a‟thay vào) (sử dụng kỹ năng 2)

HS thay a=2

3 vào (*) ta cú: 3 = 2

3 .-2 + b  b = 13 3 .

- GV hƣớng dẫn cho HS thay a và b vào (1).Vậy phƣơng trỡnh đƣờng thẳng (d): y = 2

3x+13 3

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

b) - HS phải phỏt hiện đƣợc hàm số trong bài toỏn bằng cỏch:

GV hƣớng dẫn cho HS vỡ phƣơng trỡnh đƣờng thẳng cú dạng tổng quỏt (d) : y = ax + b(1) (sử dụng kỹ năng 1)

Vỡ B(xB,yB) (d): y=a x+b.(sử dụng kỹ năng2), điểm B(-4;-1)-4a+b= -1(*) - HS phải thiết lập đƣợc hàm số trong bài toỏn bằng cỏch:

Nếu(d)(d‟): y = a‟x+b‟thoả món a.a‟= -1 1 '

a a

  thay vào (1) tỡm đƣợc hệ số b nờn ta sẽ ( sử dụng kỹ năng 2) (d): y=ax+b//y =2x +32.a = -1

 a = 1 2  HS thay a = 1 2  vào (*)  b = -3. HS thay a và b vào (1)

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

Vậy phƣơng trỡnh đƣờng thẳng (d) là: y = 1 2 

x-3

(sử dụngkỹ năng 3) để biểu diễn đồ thị của hàm số

2.4.2. Dạng toỏn 2:

Tỡm giỏ trị của tham số khi biết quan hệ giữa đường thẳng với đường thẳng, hoặc đường thẳng với đường cong trong mặt phẳng toạ độ

Cho vị trớ tƣơng đối giữa đƣờng thẳng với đƣờng thẳng, hoặc đƣờng thẳng và đƣờng cong trong mặt phẳng toạ độ.Tỡm giỏ trị của tham số m dựa vào ( biện luận phƣơng trỡnh hoành độ giao điểm theo tham số)

2.4.2.1. PP giải và những kỹ năng cần thiết

a) Cho ba đƣờng thẳng cú phƣơng trỡnh:       1 1 1 2 2 2 3 3 3 : : : d y a mx b d y a x b d y a x b      

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

+) Tỡm m để (d1)//d2) [ hoặc (d1)// (d3) ] (học sinh xỏc định đƣợc nếu (d): y = a x+b // (d‟): y =a‟x+b‟thoả món a = a‟) ( sử dụng kỹ năng 2)

1 2 1 2 a m a b b      

+) Tỡm m để (d1)  (d2) [ hoặc (d1)(d3) ] học sinh xỏc định đƣợc nếu (d) (d‟): y = a‟x+b‟thoả món a.a‟= -1 1 ' a a   (nờn sử dụng kỹ năng 2) 1 . 2 1 a m a    +) Tỡm m nếu (d1)// (d3) thỡ (d1)  (d2)

Học sinh tỡm giao điểm của (d2) và (d3)(nờn sử dụng kỹ năng 3) Gọi giao điểm là M (xM ;yM)

Phƣơng trỡnh hoành độ giao điểm a x2. M b2 a x3. M b3 xM.(a2a3) b3 b2

Thay vào (d2) hoặc (d3) tỡm yM

Tiếp tục thay xM ,yM vào (d1) tỡm đƣợc m

Chỳ ý : a m a1 . 2  1 thỡ (d1)  (d2) (nờn sử dụng kỹ năng 3) Nếu (d1)// (d3) thỡ (d1)  (d2) và suy ra (d3)  (d2)

+) Tỡm m để (d2) cắt (d3) tại một điểm thuộc (d1) b, Cho (d) : y = kmx + b

Cho (P) : y = ax2

+) Tỡm m để (d) tiếp xỳc với (P) , (d) khụng cắt (P) , (d) cắt (P) tại hai điểm ( sử dụng kỹ năng 2)

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

Phƣơng trỡnh hoành độ giao điểm của (d) và (P) :(sử dụng kỹ năng 2)

2 2 0 ax kmx b ax kmx b       Tƣơng tự : a = 0 a  0 Tớnh  (') Cú thể ỏp dụng (P) : y = amx2 và (d) : y = kx + b (P) : y = amx2 và (d) : y = kmx + b (P): y = ax2 và (d): y = kx+m Chỳ ý: k là hệ số gúc của (d), m là tham số 2.4.2.2. Minh họa qua một số vớ dụ :

Vớ dụ 1: Cho hàm số y = mx + m -1 (1) đồ thị là đƣờng thẳng (d).

a) Xỏc định m để đồ thị cắt trục tung tại điểm cú tung độ là 2. b) Xỏc định m để đồ thị trục hoành tại điểm cú hoành độ là 3. c) Vẽ đồ thị hàm số tỡm đƣợc ở trờn .

Giải:

a)- GV hƣớng dẫn cho HS phỏt hiện hàm số trong bài toỏn Vỡ P(xP,yP) (d): y=ax+b (sử dụng kỹ năng 1).

- GV hƣớng dẫn cho HS thiết lập hàm số trong bài toỏn

GVchỉ ra cho học sinh thấy để đồ thị cắt trục tung tại điểm cú tung độ là 2, tức là x = 0, y = 2 hay P(0;2) nờn (sử dụng kỹ năng 2) HS dễ dàng tớnh đƣợc m thay vào (1)

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

 m -1 = 2  m = 3

Vậy : y = 3x + 2 (d1).cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ là 3,tức là x = 3, y = 0

b) - GV hƣớng dẫn cho HS phỏt hiện hàm số trong bài toỏn Vỡ A(xA,yA) (d): y = ax+b(sử dụng kỹ năng 1).

- GV hƣớng dẫn cho HS thiết lập hàm số trong bài toỏn

GV chỉ ra cho học sinh thấy để đồ thị cắt trục cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ là 3, tức là x = 3, y = 0 hay A(3;0) nờn (sử dụng kỹ năng 2). HS dễ dàng tớnh đƣợc m thay vào (1) 3m+m-1= 04m = 1 m = 1 4. Vậy y = 1 4 x - 3 4 (d2) c) (d1): y = 3x + 2 là đƣờng thẳng đi qua P(0;2) và B( 2 3  ;0) (d2): y = 1 4 x - 3 4 là đƣờng thẳng đi qua : Q (0 ; 3 4  ) và A (3;0). Gọi (d1) cắt (d2) tại M ; (d1) cắt Oy tại P ; (d2) cắt Oy tại Q .

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

Vớ dụ 2:

Cho hàm số y = ( m -2 )x + n (1).

a) Tỡm m và n để đồ thị hàm số cắt Ox tại A ; Oy tại B sao cho xA  yB 3. b) Viết phƣơng trỡnh đƣờng cao OH của tam giỏc OAB.

Giải:

a) -GV hƣớng dẫn cho học sinh lợi dụng hàm số trong bài toỏn để: y = ( m -2 )x+n cắt oxtại A nờn x = 3,y = 0. (sử dụng kỹ năng 3)

Đƣờng thẳng (1) cắt Ox tại A sao cho xA = 3  A(3;0). Đƣờng thẳng (1) cắt Oy tại B sao cho yB = 3  B(0;3). Thay tọa độ điểm A ; B vào (1) ta đƣợc :

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn     2 3 0 1 3 2 0 3 m n m n m n                HS thay vào: y = ( m -2 )x + n Vậy m = 1; n = 3 ta cú hàm số: y = -x + 3

(sử dụng kỹ năng 3). Để biểu diễn đồ thị của hàm số .

b) –HS phỏt hiện hàm số trong bài toỏn

Vỡ phƣơng trỡnh đƣờng cao OH là phƣơng trỡnh đƣờng thẳng (d): y = ax+b (sử dụng kỹ năng 1), đi qua O(0;0) (sử dụng kỹ năng 2) nờn ta cú

a.0 + b = 0 b = 0

Vỡ OH vuụng gúc với : y = -x+3

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn y = a‟x+b‟thoả món a.a‟= -1 1 ' a a   ( sử dụng kỹ năng 3).

Phƣơng trỡnh đƣờng cao OH đi qua O(0;0) nờn hàm số cú dạng : y = ax Mặt khỏc, OH vuụng gúc với đƣờng thẳng

y = -x +3 nờn: a.(-1) = -1  a = 1

Vậy phƣơng trỡnh đƣờng cao OH là: y = x

(sử dụng kỹ năng 3) .HS vẽ đƣợc đồ thị hàm số : y = x

Vớ dụ 3: Cho hai đƣờng thẳng: (d1): y = m(x + 2) (d2): y = (2m – 3)x + 2 Với giỏ trị nào của m thỡ:

a) (d1) song song với (d2). b) (d1) trựng với (d2). c) (d1) vuụng gúc với (d2).

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

a) -Thiết lập PT trong bài toỏn.GV hƣớng dẫn cho HS

Nếu(d): y = ax+b//(d‟): y = a‟x+b‟thoả món a =a‟nờn ta sẽ (sử dụng kỹ năng

4)

(d1) : y = mx + 2m song song với (d2) : y = (2m – 3)x + 2

2 3 3 3 2 2 1 m m m m m m             

b)- Thiết lập PT trong bài toỏn.GV hƣớng dẫn cho HS

Nếu (d): y =ax+b(d‟): y = a‟x+b ta cú a = a‟,b = b‟.nờn (sử dụng kỹ năng 4). (d1) trựng với (d2) 2 3 3 2 2 3 m m m m m            ( khụng thỏa món )

Hai đƣờng thẳng này khụng thể trựng nhau.

c)- Thiết lập PT trong bài toỏn.GV hƣớng dẫn cho HS Nếu.(d)(d‟):y=a‟x+b‟thoả món : ( sử dụng kỹ năng 4) a.a‟= -1 1 ' a a   (d1) vuụng gúc với (d2) .(22 3) 1 2 3 1 0 m m m m         m 1 2 m 1 0 m 1       hoặc 1 2 m a.a‟= -1 1 ' a a   (sử dụng kỹ năng 4)

2.4.3. Dạng toỏn 3: Bài tập về diện tớch một hỡnh được giới hạn bởi cỏc đường giao nhau trờn mặt phẳng toạ độ đường giao nhau trờn mặt phẳng toạ độ

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

Và (d) cắt (P) tại 2 điểm phõn biệt

Tỡm diện tớch hỡnh đa giỏc đƣợc giới hạn bởi cỏc đƣờng giao nhau trờn mặt phẳng toạ độ (đỉnh của diện tớch tam giỏc đƣợc giới hạn là giao của đƣờng thẳng

(d): y = kx + b và (P): y = ax2 với gốc tọa độ

2.4.3.1. PP giải và những kỹ năng cần thiết :

Cỏch 1 : Tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng cần thiết trong cụng thức diện tớch theo

toạ độ cỏc giao điểm

- Giao điểm đều thoả món cụng thức cỏc đƣờng chứa nú.HS phỏt hiện phƣơng trỡnh trong bài toỏn (sử dụng kỹ năng 4).

- Và phƣơng trỡnh hoành độ giao điểm.HS thiết lập đƣợc phƣơng trỡnh trong bài toỏn(sử dụng kỹ năng 4) (nếu là phƣơng trỡnh bậc hai cần ỏp