Kết luận chƣơng 1

V. CẤU TRÚC LUẬN VĂN

1.4.Kết luận chƣơng 1

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

Xuất phỏt từ cơ sở lý luận và thực tiễn đó trỡnh bày ở trờn, cú thể thấy: -Việc rốn luyện kỹ năng cho học sinh giải toỏn bằng cỏch khai thỏc mối liờn hệ giữa hàm số và phƣơng trỡnh ở trƣờng THCS chƣa đạt hiệu quả cao . Giỏo viờn chƣa khai thỏc triệt để kiến thức giữa hàm số và phƣơng trỡnh từ đú dẫn đến khả năng học sinh giải toỏn bằng cỏch khai thỏc mối liờn hệ giữa hàm số và phƣơng trỡnh cũn gặp nhiều khú khăn.

- Từ đú cần thiết đƣa ra một số dạng toỏn bằng cỏch khai thỏc mối liờn hệ giữa hàm số và phƣơng trỡnh, tiến hành giải toỏn nhằm rốn luyện cho học sinh THCS kỹ năng giải một số bài toỏn theo hƣớng này .

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

CHƢƠNG 2

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN RẩN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN Ở TRƢỜNG THCS BẰNG CÁCH KHAI THÁC MỐI

LIấN HỆ GIỮA HÀM SỐ VÀ PHƢƠNG TRèNH 2.1. Mối quan hệ giữa hàm số và phƣơng trỡnh:

2.1.1 Về tập xỏc định của chỳng:

Cho hàm số y = f(x) và y = g(x), phƣơng trỡnh f(x) = g(x) Điều kiện để phƣơng trỡnh cú nghĩa là D

- Tập xỏc định của y = f(x) là D( )f

- Tập xỏc định của y = g(x) là D( )g thỡ ta cú D = D( )f D( )g

2.1.2.Về nghiệm của phương trỡnh và sự biến thiờn của hàm số:

+ Nếu hàm số y = f(x) là đồng biến (hoặc nghịch biến) và liờn tục trờn D thỡ số nghiệm của phƣơng trỡnh trờn D: f(x) = k khụng nhiều hơn một, và f(x) = g(x) khi và chỉ khi x = y với mọi x,yD

+ Nếu y = f(x) luụn đồng biến (hoặc nghịch biến), y = g(x) luụn đồng biến (hoặc nghịch biến) và liờn tục trờn D thỡ số nghiệm trờn D của phƣơng trỡnh f(x) = g(x) nhiều hơn một.

+ Nếu y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) và liờn tục D thỡ f(x) > g(x) x > y ( x < y)

2.1.3. Về cỏc phộp biến đổi và cỏc biểu thức trong hàm số và phương trỡnh :

Phộp biến đổi tƣơng đƣơng, phộp biến đổi hệ quả, phộp biến đổi đồng nhất với PT, HPT, BPT; cỏc tớnh toỏn, biến đổi với biểu thức xỏc định hàm số

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

đều tỏc động lờn những biểu thức (cỏc vế của PT, HPT, BPT, cụng thức xỏc định hàm số). Chẳng hạn:

+ Tỡm tập xỏc định của hàm số; tập xỏc định của PT, HPT, BPT; + Xột tớnh chẵn, lẻ của hàm số ;

+ Tỡm cực trị của hàm số ; + Sự biến thiờn của hàm số ;

2.1.4. Về đồ thị của hàm số và số nghiệm của phương trỡnh:

Mỗi đƣờng (thẳng, cong) trong mặt phẳng tƣơng ứng với một phƣơng trỡnh của nú; Mỗi hàm số tƣơng ứng với một đƣờng biểu diễn (đồ thị).

Cho phƣơng trỡnh: f(x) = g(x).

Gọi đồ thị của f(x) là (C1), đồ thị của g(x) là (C2) thỡ số nghiệm của phƣơng trỡnh f(x) = g(x) là số giao điểm của (C1) và (C2)

Vớ dụ

Cho hàm số: y = ax+b cú đồ thị là đƣờng thẳng (d), và hàm số: y = ax2 cú đồ thị là parabol (P).

+ Nếu (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt thỡ phƣơng trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt;

+ Nếu (d) tiếp xỳc (P) thỡ phƣơng trỡnh cú nghiệm kộp; + Nếu (d) khụng cắt (P) thỡ phƣơng trỡnh vụ nghiệm;

2.2. Một số kỹ năng trong giải toỏn bằng cỏch khai thỏc mối liờn hệ giữa hàm số và phƣơng trỡnh: hàm số và phƣơng trỡnh:

Kỹ năng 1: Phỏt hiện hàm số trong cỏc bài toỏn về PT, HPT, BPT giải (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

HS biết tiến hành những hoạt động sau:

+ phỏt hiện được tương ứng giữa cỏc đại lượng

+ nhận dạng hàm số cú trong bài toỏn và biến đổi về dạng đú.

Kỹ năng 2: Thiết lập hàm số trong cỏc bài toỏn về PT, HPT, BPT giải

bằng PP hàm số. HS biết tiến hành những hoạt động sau:

+ xỏc định được giỏ trị biến đổi và đặt là biến x;

+ xỏc định được giỏ trị tương ứng biến đổi phụ thuộc vào x và đặt là y; + biểu diễn được giỏ trị của y qua x;

+ viết cụng thức biểu diễn hàm số bằng ký hiệu toỏn học

Kỹ năng 3: Nghiờn cứu và lợi dụng hàm số trong cỏc bài toỏn về PT,

HPT, BPT giải bằng PP hàm số. HS biết tiến hành những hoạt động:

+ Dựa vào yờu cầu của bài toỏn ban đầu để lựa chọn những đặc điểm, tớnh chất của hàm số và sử dụng cỏc kỹ thuật khảo sỏt hàm số để nghiờn cứu.

+ Lợi dụng kết quả nghiờn cứu hàm số ở bước trờn để giải bài toỏn.

Kỹ năng 4 : Nghiờn cứu và lợi dụng PT, HPT, BPT trong cỏc bài toỏn về

hàm số giải bằng cụng cụ PT, HPT, BPT . HS biết tiến hành những hoạt động:

+Phỏt hiện phương trỡnh trong bài toỏn hàm số.

+Biến đổi thiết lập phương trỡnh

+ Dựa vào yờu cầu của bài toỏn ban đầu để lựa chọn những đặc điểm, tớnh chất của phương trỡnh và sử dụng cỏc kỹ thuật của phương trỡnh để nghiờn cứu.

+ Lợi dụng kết quả nghiờn cứu phương trỡnh ở bước trờn để giải bài toỏn.

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

Giải và biện luận phƣơng trỡnh bậc hai bằng phƣơng phỏp đồ thị: 2

4 0

x   m (*)

Để giải đƣợc dạng toỏn này,học sinh cần phải thực hiện đƣợc cỏc bƣớc cơ bản sau

+ Bƣớc 1: GV hƣớng cho HS phỏt hiện đƣợc hàm số trong bài toỏn, bằng cỏch biến đổi chuyển vế về dạng tổng quỏt : f(x) = g(m) (kỹ năng 1)

+ Bƣớc 2: Khi HS đó biến đổi đƣợc dạng f(x) = g(m).GV cần dẵn dắt cho HS thiết lập đƣợc hàm số bằng cỏch đặt : y = f(x), y = g(m) (kỹ năng 2)

HS cần xỏc định đƣợc : y = f(x) là hàm số bậc hai, vận dụng vào kiến thức đồ thị HS phải xỏc định đƣợc vị trớ tƣơng đối của : y = f(x) và y = g(m) nờn từ đú HS vẽ đồ thị của hàm số: y = f(x) .(kỹ năng 3)

+Bƣớc 3: Tƣơng tự HS vẽ đồ thị của hàm số: y =g(m) song song với 0x(vỡ y = g(m) đồ thị là đƣờng thẳng cắt oy tại m) trờn cựng hệ tọa độ với y = f(x)

+Bƣớc 4:Để biện luận nghiệm phƣơng trỡnh bậc hai theo tham biến m dựa vào đồ thị, HS sẽ xỏc định đƣợc vị trớ tƣơng đối của :y=f(x) và y=g(m),bằng cỏch xỏc định đƣợc đỉnh của đồ thị :y=f(x)(kỹ năng3)

+Bƣớc 5: Dựa vào đồ thị nhận xột vị trớ tƣơng đối giữa y=f(x) và y=g(m) +Bƣớc 6: Kết luận nghiệm của phƣơng trỡnh dựa vào đồ thị (kỹ năng 3) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Giải

- Biến đổi : 2

4

x  m hay ( 2

4

x  m )(Giỏo viờn hƣớng cho học sinh phỏt hiện đƣợc sự tƣơng ứng giữa cỏc đại lƣợng,nhận dạng hàm số cú trong vớ dụ: y=ax2 và: y=ax+b ).(Sử dụng kỹ năng 1) - HS thiết lập đƣợc hàm số bằng cỏch Đặt : 2 4 yx  và y = m (sử dụng kỹ năng 2)

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

- HS xỏc định đƣợc: 2 4

yx  là hàm số bậc hai, vận dụng vào kiến thức đồ thị HS phải xỏc định đƣợc vị trớ tƣơng đối của : 2

4 yx  và y = m, nờn từ đú HS vẽ đồ thị của hàm số: 2 4 yx  .( sử dụng kỹ năng 3) Vẽ đồ thị (P): 2 4 yx 

-Vẽ đồ thị (d): y = m là đƣờng thẳng qua A(0;m) và song song 0x trờn cựng hệ tọa độ với (P): 2

4

yx 

- Để biện luận nghiệm phƣơng trỡnh bậc hai theo tham biến m dựa vào đồ thị, HS sẽ xỏc định đƣợc vị trớ tƣơng đối của : 2

4

yx  và y = m, bằng cỏch xỏc định đƣợc đỉnh của đồ thị : 2

4

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

Đồ thị (P) cú đỉnh I(0;4)

- Căn cứ vào đồ thị ta cú : (sử dụng kỹ năng 3 , dựa vào vị trớ tƣơng đối giữa đƣờng thẳng (d): y = m và parabol (P) : y = x2

+ 4)

+) Nếu A ở dƣới I  (d) và (P) khụng cú điểm chung  phƣơng trỡnh (*) vụ nghiệm  m < 4

+) Nếu A trựng I  (d) tiếp xỳc với (P) tại I  phƣơng trỡnh (*) cú nghiệm kộp  m = 4

+) Nếu A ở trờn I  (d) cắt (P) tại 2 điểm phõn biệt  m> 4 - Kết luận: Nếu m > 4. Phƣơng trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt Nếu m < 4. Phƣơng trỡnh vụ nghiệm

Nếu m = 4. Phƣơng trỡnh cú nghiệm kộp

2.3. Định hƣớng (nguyờn tắc) xõy dựng hệ thống bài toỏn:

+ Nguyờn tắc 1: Trờn cơ sở tụn trọng chƣơng trỡnh, SGK Toỏn, hệ thống bài tập ở SGK và SBT để lựa chọn và sắp xếp.

+ Nguyờn tắc 2: Tập trung vào cỏc dạng bài toỏn thể hiện đƣợc những kỹ năng cơ bản khi giải toỏn bằng cỏch khai thỏc mối liờn hệ giữa hàm số và phƣơng

2.4. Hệ thống bài toỏn rốn luyện kỹ năng

Một số dạng toỏn khai thỏc mối liờn hệ giữa hàm số và phương trỡnh (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Dạng toỏn 1: Viết phƣơng trỡnh đƣờng thẳng thoả món điều kiện cho trƣớc.

Dạng toỏn 2: Tỡm giỏ trị của tham số khi biết quan hệ giữa đƣờng thẳng với đƣờng thẳng, hoặc đƣờng thẳng và đƣờng cong trong mặt phẳng toạ độ

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

Dạng toỏn 3: Bài tập về diện tớch một hỡnh đƣợc giới hạn bởi cỏc đƣờng giao nhau trờn mặt phẳng toạ độ

+ Ở THCS dạng toỏn tỡm diện tớch một hỡnh đa giỏc đƣợc giới hạn bởi cỏc đƣờng giao nhau trờn mặt phẳng tọa độ chỉ đơn giản là tỡm diện tớch một

tam giỏc, mà đỉnh là giao của đƣờng thẳng (d): y = ax + b và parabol (P): y = ax2 với gốc tọa độ.

+ Ở THPT dạng toỏn tỡm diện tớch một hỡnh đƣợc giới hạn bởi cỏc đƣờng giao nhau trờn mặt phẳng tọa độ chớnh là tớnh diện tớch toàn phần, khi tớnh diện tớch ỏp dụng phƣơng phỏp tớch phõn.

Dạng toỏn 4: Giải và biện luận phƣơng trỡnh bậc hai bằng phƣơng phỏp đồ thị.

Dạng toỏn 5: Giải hệ phƣơng trỡnh bậc nhất hai ẩn bằng phƣơng phỏp đồ thị.

Dạng toỏn 6: Tỡm Max, Min của hàm số y = f(x) sử dụng cụng cụ phƣơng trỡnh, hệ phƣơng trỡnh, bất phƣơng trỡnh để giải.

2.4.1. Dạng toỏn 1:

Viết phương trỡnh đường thẳng thoả món điều kiện cho trước

Cho điểm A(x y0, 0) thuộc đƣờng thẳng (d): y = ax+b, hay vị trớ tƣơng đối của đƣờng thẳng với đƣờng thẳng , hay vị trớ tƣơng đối giữa đƣờng thẳng với đƣờng cong (P): y = ax2

.

Tỡm cỏc hệ số của đƣờng thẳng (bằng cỏch dựa vào đề bài để thiết lập cỏc hệ phƣơng trỡnh tƣơng ứng), từ đú viết đƣợc phƣơng trỡnh đƣờng thẳng (d) : y = ax+b

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

2.4.1.1. PP giải và những kỹ năng cần thiết

Gọi phƣơng trỡnh đƣờng thẳng là (d): y = ax+b.(*)

a)Viết phƣơng trỡnh đƣờng thẳng đi qua một điểm A((x y0, 0)cho trƣớc và song song với một đƣờng thẳng cho trƣớc (d‟): y = a‟x+b‟

Nếu điểm A(x y0, 0)  y = ax+b (sử dụng kỹ năng 1)

thoả món y0 ax0b(1)(sử dụng kỹ năng 2)

Nếu (d) // (d‟): y = a‟x+b‟thoả món a = a‟thay vào (1) tỡm đƣợc hệ số b (sử dụng kỹ năng 2)

Thay vào phƣơng trỡnh (*)  Viết đƣợc phƣơng trỡnh đƣờng thẳng (sử dụng kỹ năng 3)

b) Viết phƣơng trỡnh đƣờng thẳng đi qua một điểm A((x y0, 0)cho trƣớc và vuụng gúc với một đƣờng thẳng cho trƣớc (d‟): y = a‟x+b‟

Nếu điểm A(x y0, 0)  y = ax+b (*).(sử dụng kỹ năng 1)

thoả món y0 ax0b(1)(sử dụng kỹ năng 2)

Nếu (d) (d‟):y = a‟x+b‟thoả món a.a‟= -1 1 '

a a

  thay vào (1) tỡm đƣợc hệ số b (sử dụng kỹ năng 2)

Thay vào phƣơng trỡnh (*)  Viết đƣợc phƣơng trỡnh đƣờng thẳng (sử dụng kỹ năng 3) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

c) Viết phƣơng trỡnh đƣờng thẳng đi qua điểm A(xA,yA) và B(xB;yB) cho trƣớc Vỡ A(xA,yA) (d): y = ax+b (sử dụng kỹ năng 1)

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

Vỡ điểm B(xB;yB) (d): y = a x+b(sử dụng kỹ năng 1)

nờn thoả món yB axB b (2) (sử dụng kỹ năng 2)

Giải hệ phƣơng trỡnh tỡm hệ số a,b: A A B B y ax b y ax b        (sử dụng kỹ năng 4)

Thay vào phƣơng trỡnh (*)  Viết đƣợc phƣơng trỡnh đƣờng thẳng (sử dụng kỹ năng 3)

d) Viết phƣơng trỡnh đƣờng thẳng song song (hoặc vuụng gúc) với một đƣờng thẳng cho trƣớc (d‟): y = a‟x+b‟và tiếp xỳc với (P) cho trƣớc: y = ax2

Vỡ (d) : y = kx+b (*) tiếp xỳc với (P) : y = ax2 (sử dụng kỹ năng 1)

nờn thoả món 2

ax kx b phƣơng trỡnh cú nghiệm duy nhất x k a

  , (d)//(d‟) hoặc (d)(d‟) (sử dụng kỹ năng 2)

nờn ta sẽ tớnh đƣợc x

Thay vào phƣơng trỡnh (*)  tỡm đƣợc b (sử dụng kỹ năng 3)

Viết đƣợc phƣơng trỡnh đƣờng thẳng

2.4.1.2 Minh họa qua một số vớ dụ :

Vớ dụ 1: Trờn mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;2) B(3;4) a) Tỡm hệ số a của đƣờng thẳng đi qua A và B.

b) Xỏc định hàm số biết đồ thị của nú là đƣờng thẳng đi qua A và B. Giải:

a) GV dẫn dắt cho HS phỏt hiện đƣợc hàm số trong bài toỏn bằng cỏch:

Giả sử đƣờng thẳng đi qua A và B cú dạng: y = ax + b (1)(sử dụng kỹ năng 1). Khi đú : Dạng tổng quỏt của đƣờng thẳng (d): y = ax+b

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

- GV tiếp tục cho HS thiết lập đƣợc hàm số trong bài toỏn

GV hƣớng dẫn cho HS.Vỡ A(xA,yA)(d): y = ax+b (sử dụng kỹ năng 1)

Nờn tọa độ của điểm A đều thỏa món :yA axAb.

HS thay cỏc tọa độ A(1;2) vào (d):yA axAb (sử dụng kỹ năng 2)

HS thay tọa độ điểm A vào (d): 2 = a.1+b (*)

Tƣơng tự vỡ B(xB,yB)(d): y = ax+b, nờn tọa độ điểm B đều thỏa món:

B B

y ax b (sử dụng kỹ năng 2)

HS thay tọa độ điểm B(3;4) vào đƣờng thẳng: yB axBbkhi và chỉ khi: 4 = a .3 + b  b = 4 – 3a.(**)

- GV hƣớng cho HS lợi dụng mối liờn hệ giữa hàm số và phƣơng trỡnh (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

GV nhắc lại cho HS vỡ A và B đều thuộc đƣờng thẳng (d) nờn thỏa món HPT (sử dụng kỹ năng4) Giaỉ :     2 a.1 b * b 4 – 3a. **         1 1 a b      HS tỡm đƣợc a và b Hệ số a của đƣờng thẳng đi qua A và B là 1.

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

(sử dụng kỹ năng 3).Vận dụng lý thuyết về hàm số vẽ đồ thị : y = x+1 đi qua điểm A (1;2) và B(3;4)

Giỏo viờn hƣớng dẫn lại cho học sinh với: Đồ thị đƣờng thẳng (d) : y =ax+b

Nếu a < 0 hàm số nghịch biến Nếu a > 0 hàm số đồng biến

Vớ dụ 2:

Viết phƣơng trỡnh đƣờng thẳng

a. Qua điểm A(-2;3) và song song với đƣờng thẳng y =2

3 x + 1 b. Qua điểm B(-4;-1) và vuụng gúc với đƣờng thẳng y = 2x + 3

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

Giải:

a) - GV dẫn dắt cho HS phỏt hiện đƣợc hàm số trong bài toỏn bằng cỏch: Giả sử đƣờng thẳng đi qua A và B cú dạng (d): y = ax + b (1).(sử dụng kỹ năng 1). Khi đú: Dạng tổng quỏt của đƣờng thẳng (d): y = ax+b

- GV tiếp tục cho HS thiết lập đƣợc hàm số trong bài toỏn

GV hƣớng dẫn cho HS.Vỡ A(xA,yA) (d): y = ax+b (sử dụng kỹ năng 1)

Nờn tọa độ của điểm A đều thỏa món (d) :yA axAb .HS thay cỏc tọa độ A(-2;3) vào (d): yA axAb (sử dụng kỹ năng 2):HS thay tọa độ điểm A vào (d): 3=a.-2+b(*)

Tƣơng tự vỡ yA axA b // y =2

3x+1, nờn a=2

3 (vỡ nếu (d) // (d‟): y=a‟x+b‟thoả món a = a‟thay vào) (sử dụng kỹ năng 2)

HS thay a=2

3 vào (*) ta cú: 3 = 2

3 .-2 + b  b = 13 3 .

- GV hƣớng dẫn cho HS thay a và b vào (1).Vậy phƣơng trỡnh đƣờng thẳng (d): y = 2

3x+13 3

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

b) - HS phải phỏt hiện đƣợc hàm số trong bài toỏn bằng cỏch:

GV hƣớng dẫn cho HS vỡ phƣơng trỡnh đƣờng thẳng cú dạng tổng quỏt (d) : y = ax + b(1) (sử dụng kỹ năng 1)

Vỡ B(xB,yB) (d): y=a x+b.(sử dụng kỹ năng2), điểm B(-4;-1)-4a+b= -1(*) - HS phải thiết lập đƣợc hàm số trong bài toỏn bằng cỏch:

Nếu(d)(d‟): y = a‟x+b‟thoả món a.a‟= -1 1