6. Cấu trúc của luận văn
1.5.3. Một đề thi và bài giải minh họa
Hiện nay chƣa tìm thấy một đề thi toán hoặc một văn bản nào về các cuộc thi toán cả (xem Volkov [C5]). Bởi vậy cả Hoàng Xuân Hãn trong bài viết Thi Toán đời xưa (tiếng Việt), Báo Khoa học số 13, 14 tháng 1, 2, năm 1943, trang 207- 215, [B9]), cả Volkov [C5, tiếng Anh] đành phải dịch một bài thi mẫu do Phan Huy Khuông tự soạn trong sách Chỉ minh lập thành toán pháp [A2] từ tiếng Hán để minh họa.
(và chỉ có phần số học, không có hình học) ([A2]):
57
Bài ra (Đầu bài)
Hỏi, nay đƣợc phụng ban vàng bạc cộng là 1000 cân. Số bạc ấy bản quan lĩnh, lƣợng chiếu số bạc 5292 lạng, để phát cho các viên thuộc ở bản dinh là 328 ngƣời. Nếu sẽ chia đều cho mọi ngƣời thì còn lẻ 4 phân, 8 ly, nghĩ cao hạ (cao thấp) chia đều, lẽ chƣa đƣợc phải. Vậy phép chia đều không thể dùng, lẽ đã rõ ràng. Nay muốn đem số tiền ấy chia cho bản thuộc theo phép “sai suy” (hoặc sai phân, suy phân là phép chia theo tỷ lệ - giải thích của Giáo sƣ Hoàng Xuân Hãn) chia làm ba hạng: hạng Giáp 8 ngƣời, mỗi ngƣời đƣợc 7 phân; hạng Ất 20 ngƣời, mỗi ngƣời 5 phân; hạng Bính 300 ngƣời, mỗi ngƣời đƣợc 2 phân. Nhƣ thế thì mỗi ngƣời đƣợc lĩnh bao nhiêu, và tính gộp lại mỗi hạng đƣợc lĩnh bao nhiêu? Các thí sinh thi toán, học tập đã tinh thông; hãy tính toán, biện biệt; nên tƣờng tận giãi bày, để tỏ điều hiểu rõ.
Trả lời
Hạng Giáp đƣợc mỗi ngƣời 49 lạng, gộp thành 392 lạng. Hạng Ất mỗi ngƣời đƣợc 35 lạng, gộp thành 700 lạng. Hạng Bính mỗi ngƣời đƣợc 14 lạng, gộp thành 4200 lạng.
Bài giải theo ngôn ngữ hiện đại
Tổng số phân theo tỉ lệ chia là 8 7 20 5 300 2 756 phân. Mỗi phân ứng với 5292 : 756 7 lạng. Do đó hạng Giáp 1 ngƣời đƣợc 7 7 49 lạng gộp lai thành 49 8 392 lạng. Hạng Ất 1 ngƣời đƣợc 7 5 35 lạng gộp lại thành 35 20 700 lạng. Còn hạng Bính mỗi ngƣời đƣợc 2 7 14
lạng gộp lại thành 14 300 4200 lạng. Kết quả chung là: 39270042005292. lạng (khớp với đề cho).
Nhận xét Có thể nói, đây chỉ là bài toán số học về chia tỉ lệ, tƣơng đƣơng với trình độ cuối bậc Tiểu học hiện nay. Tuy nhiên, đây có lẽ là một trong những dạng toán thƣờng gặp nhất trong các bài thi toán ngày xƣa.
58
Bài giải theo ngôn ngữ cổ
Đối: Tôi nghĩ trong toán pháp phép nhân chia không vƣợt quá suy phân. Trƣớc xem nhiều ít khác nhau. Nay quan chấp sự hỏi toán, nên tôi sở dĩ trả lời:
Nay thấy trong đầu đề hỏi. Nhờ chiếu ban bạc, cho các bản thuộc; lƣợc thuyết chia đều, mà chính dùng phép sai phân. Ngẫm biết toán pháp dùng vô cùng thần diệu!
Tôi xin tính mà giải bày đây: cứ theo phụng ban vàng bạc cho các quan 1.000 cân. Theo phép lấy mỗi cân nhân với 16 lạng, tất cả đƣợc 16.000 lạng. Vả ơn rƣới từ trên, ắt thấm xuống dƣới. Số bạc ấy, bản quan nghĩ lợi không phải của một mình để dành riêng. Bèn trong số bạc vua ban, kẻ phụng ban lấy 10.708 lạng cất trữ, con số bạc 5.292 lạng. Lƣợng chiếu số bạc đem các bản thuộc 328 ngƣời, để cùng bản dinh đồng hƣởng ân về số bạc ấy. Nếu dùng phép bình phân, trên đặt số ngƣời, dƣới đặt số tiền, làm phép chia thành mỗi ngƣời đƣợc 16 lạng 1 tiền 3 phân 4 ly. Vậy số tiền ấy chƣa hết, còn 4 phân 8 ly. Thực là nên dùng phép thông phân. Vả nhân phẩm có cao hạ, thì chia đều cho tất cả là sự không xứng tính; lý ấy có điều chƣa phải. Vậy phép bình phân, không thể dùng. Cho nên không phải bày giải, tin nhƣ đầu đề nói, sự ấy đã hiển nhiên.
Vả vì ngƣời có hơn thua không bằng nhau, chia có nhiều ít theo thứ tự. Kẻ hơn thì đáng đƣợc nhiều, kẻ kém thì đáng đƣợc ít. Chia mà có kém lẽ vì đó.
Nay theo ý muốn dùng số tiền 5.292 lạng, chia cho thuộc hạ theo phép sai phân, mà số ngƣời chia ra ba hạng: hạng Giáp 8 ngƣời, mỗi ngƣời lấy 7 phân; hạng Ất 20 ngƣời, mỗi ngƣời lấy 5 phân, hạng Bính 300 ngƣời, mỗi ngƣời lấy 2 phân. Ấy là hỏi phép sai phân.
Phép ấy đáng làm thế nầy: trƣớc đặt 8 ngƣời hàng Giáp, lấy 7 phần mà nhân, đƣợc tích số 56 phân suất. Lại đặt 20 ngƣời hạng Ất, lấy 5 phần mà
59
nhân, đƣợc tích số 100 phân suất. Lại đặt 300 ngƣời, hạng Bính, lấy 2 phân mà nhân, đƣợc tích số 600 phân suất. Rồi lấy phân suất của ba hạng cộng lại làm một; cộng đƣợc 756 phân suất, để làm pháp. Vừa đặt số bạc 5.292 lạng làm thực. Rồi theo phép qui trừ đƣợc mỗi phân suất là 7 lạng, dành lại làm số nhất định, để nhân phân suất các hạng. Rồi trƣớc hết lấy 7 phân của hạng Giáp nhân thành mỗi ngƣời đƣợc 49 lạng. Sau lại lấy 5 phân hạng Ất nhân thành mỗi ngƣời đƣợc 35 lạng. Lại lấy 2 phân hạng Bính nhân thành mỗi ngƣời đƣợc 14 lạng. Nhƣ thế, số tiền mỗi ngƣời của mỗi hạng đã tính xong. Còn nhƣ các số gộp lại thì đều lấy các sai phân tích rồi cùng nhân với số nhất định trên, sẽ biết số gộp. Lấy tích số 516 phân suất của hạng Giáp mà nhân thành đƣợc 392 lạng; lại lấy tích số 100 phân suất của hạng Ất mà nhân thành 700 lạng; vả lại lấy tích số 600 phân suất của hạng Bính mà nhân thành 4.200 lạng. Ấy là các số gộp của các hạng cũng tính xong.
Nhƣ muốn hoàn nguyên, cộng các số gộp của ba hạng lại làm một, thành số bạc trƣớc kia là 5.292 lạng.
Tôi đây, ngu về sự học, bày giải pháp thức biết thô sơ; vụng ở việc làm, biện biệt mấy điều chƣa hiểu rõ. Nay nhân hỏi đến, thô thiển trả lời. Trái phải thế nào, nhờ quan chấp sự lựa mà chọn lọc. May lắm.
Nhận xét (của Hoàng Xuân Hãn, [B9]):
Xem qua bài giải này ta có thể hiểu thấu cái tinh thần toán học của thời đại. Cách giải đây là theo phép học sẵn ở sách “Cửu chƣơng lập thành tính pháp” có bài “Sai phân toán pháp” bắt đầu bằng mấy câu này:
“Ngồi rồi luận sự sai phân
Sơ bày Giáp đẳng can nhân ở đầu. Lấy Giáp thụ phân nhân nhau;
Liền nên Giáp tích, phép màu số phân…”
Sau nữa bài ra không cho những điều cần thiết, mà còn cho số tuy không cần dùng, nhƣng có trong sự thực. (số bạc vua ban cả thảy). Bài làm
60
không những giải về câu hỏi chính, mà còn giảng về những điều bên cạnh không can hệ đến toán học: ví dụ vì sao bản quan chia bạc cho thuộc hạ, vì sao chia theo phép sai phân.
Tƣởng đó cũng là lối làm văn sách, không đƣợc bỏ quên một ý nào, một chữ nào trong bài ra. Đặt câu thƣờng dùng chữ để láy lại, nhắc lại, chữ ở câu đầu đề nhập đề, kết luận đều theo chữ lối.
Sự tƣơng tự ấy, thực ra không chỉ ở bề ngoài. Cách thi cử nghiệp ngày xƣa, chính bài văn sách đã thay bài toán pháp bây giờ. Mà cũng nhờ lối văn sách mà các cụ ta chống lại với lối văn dông dài là lối luận; và nhờ đó, các cụ tuy học rặt văn chƣơng, luân lý, triết học, mà các cụ vẫn giữ đƣợc tinh thần khoa học mà chúng ta đƣợc hƣởng bây giờ. Nó đã làm cho ta tuy trong chốc lát xoay học hán văn ra học khoa học mà không có tí gì làm vƣớng víu.