6. Cấu trúc của luận văn
1.4.1.Một số bài toán dân gian
Bài 1Có mấy người yêu, mấy người ghét
Yêu nhau cau sáu bổ ba
Ghét nhau cau sáu bổ ra làm mƣời Mỗi ngƣời một miếng trăm ngƣời Có mƣời bẩy quả hỏi ngƣời ghét yêu.
(Nguyễn Trọng Báu - Giai thoại chữ và nghĩa)
Lời giải
Cách 1 (Giả thiết tạm)
- Giả sử có 17 quả cau đều bổ làm 3 miếng, khi đó số miếng cau là:
- Do đó, nếu thay một quả cau bổ 3 miếng bằng quả cau bổ 10 miếng thì số miếng cau chênh lệch sẽ là 7 miếng tƣơng ứng với 49 miếng cau.
Suy ra:
+ số quả cau bổ ra làm 10 miếng là: + số quả cau bổ ra làm 3 miếng là:
31
Cách 2 (Sử dụng dấu hiệu chia hết)
- Ta có, số quả cau là một số tự nhiên bé hơn 18. Nên khi bổ cau làm 3 miếng thì đƣợc số miếng cau chia hết cho 3 và khi bổ cau làm 10 miếng thì đƣợc số miếng cau chia hết cho 10.
- Có 17 quả cau bổ thành 100 miếng ứng với 100 ngƣời ăn. Do đó, ta có bảng giá trị sau:
Số ngƣời ghét 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Số ngƣời yêu 90 80 70 60 50 40 30 20 10 Kết quả Loại Loại Loại Loại Loại Loại Nhận Loại Loại - Vậy, có tất cả là 30 ngƣời yêu và 70 ngƣời ghét.
Cách 3 (Giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình)
- Gọi số ngƣời ghét là x ( ) Suy ra, số ngƣời yêu là:
- Theo đề ra ta có phƣơng trình:
- Vậy, có tất cả là 30 ngƣời yêu và 70 ngƣời ghét.
Cách 4 (Giải bài toán bằng cách lập hệ phƣơng trình)
- Gọi số ngƣời ghét, yêu là x, y ( ) - Theo đề rat a có hệ:
32
Bài 2
Mai em đi chợ phiên, Anh gửi một tiền, Mua cam cùng quýt Không nhiều thì ít Mua lấy một trăm. Cam ba đồng một Quýt một đồng năm. Thanh yên tƣơi tốt, Năm đồng một trái.
Hỏi mua mỗi thứ mấy trái?
Lời giải
Cách 1 (Tổng hợp)
- Ta có, 1 tiền = 60 đồng. Giả sử 60 đồng này mua hết cam thì đƣợc số Cam tối đa mua đƣợc là:
- Theo đề ra số cam và quýt cần mua là 100 quả nên số quả quýt mua đƣợc tối thiểu là 80 quả và số quả quýt phải chia hết cho 5.
- Khi đó số tiền thừa ra sẽ mua thanh yên nên cho ra bảng thống kê kết quả sau:
Số Cam Số tiền (đ) mua cam (1) Số Quýt Số tiền (đ) mua Quýt (2) Số Thanh yên Số tiền (đ) mua Thanh yên (3) Tiền dƣ =60 – [(1) +(2) + (3)] (đ) Kết quả 15 45 85 17 0 0 -2 Loại 10 30 90 18 2 10 2 Nhận 5 15 95 19 5 25 1 Nhận 0 0 100 20 8 40 0 Nhận (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vậy một tiền (60 đồng) mua đƣợc:
+ 10 quả cam, 90 quả quýt, 2 quả thanh yên còn thừa 2 đồng hoặc + 5 quả cam, 95 quả quýt, 5 quả thanh yên còn thừa 1 đồng hoặc + 100 quả quýt, 8 quả thanh yên.
33
Cách 2 (Giải bài toán bằng cách lập hệ phƣơng trình)
- Gọi số cam, quýt, thanh yên lần lƣợt là: , , x y z .
- Theo đề ra ta có hệ: - Xét phƣơng trình (*): + Với x0 thì y 100; z 8 + Với x5 thì y 95; z 5 dƣ 1 + Với x10 thì y 90; z 2 dƣ 2 + Với x15 thì y 85; z (loại) - Vậy một tiền mua đƣợc:
+ 10 quả cam, 90 quả quýt, 2 quả thanh yên còn thừa 2 đồng hoặc + 5 quả cam, 95 quả quýt, 5 quả thanh yên còn thừa 1 đồng hoặc + 100 quả quýt, 8 quả thanh yên.
Bài 3
Em là con gái nhà nghèo,
Mẹ cha chết hết, nằm queo một mình. Nhà em vách lá lợp mành,
Trời mƣa nhà dột, ƣớt mình loi ngoi. Láng giềng có kẻ sang chơi,
Thƣơng tình mới rủ mọi ngƣời giúp không. Xây lầu, hồ nƣớc, vƣờn bông,
Muối dƣa sá quản miễn lòng thảo thơm. Ba ngƣời ăn một bát cơm,
Bốn ngƣời ăn đĩa mắm thơm muối cà. Bát đĩa em đã dọn ra,
34
Tiếng chàng ăn học đã thông,
Nếu mà đáp trúng, em xin ... theo không chàng về.
(Kiến Thức Ngày Nay. 1997)
Lời giải
Cách 1 (Suy luận)
Theo đề ra cứ 3 ngƣời thì ăn hết 1 bát cơm và 4 ngƣời ăn hết một đĩa mắm. Do đó, 12 ngƣời sẽ ăn hết 4 bát cơm và 3 đĩa mắm nên nhóm 12 ngƣời ăn hết 7 cái bát và đĩa.
Vậy, số ngƣời thợ làm nhà là: .
Cách 2 (Giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình)
Gọi số ngƣời làm nhà là x ngƣời ( )
Theo đề ra ta có pt: .
Vậy, số ngƣời thợ làm nhà là 516 ngƣời.
Bài 4 Tính số trâu
Trâu đứng ăn năm. Trâu nằm ăn ba. Lụm khụm trâu già, Ba con một bó. Trăm trâu ăn cỏ. Trăm bó no nê. Hỏi đến giảng đề, Ngô nghê nhƣ điếc.
Lời giải
Cách 1 (Suy luận) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Số trâu già không thể nhiều hơn 100 con vì thế ăn hết nhiều nhất là 100/3 bó cỏ tức là 33 bó cỏ. Nhƣ vậy số cỏ trâu đứng và trâu nằm ăn không ít hơn 67 bó. Số trâu đứng và số trâu nằm không thể ít hơn 67/5 con tức là
35
không ít hơn 14 con. Nhƣ thế số trâu già không lớn hơn 86 con và chúng ăn nhiều nhất là 28 bó.
- Khi đó ta có các trƣờng hợp sau: + Trường hợp 1:
Nếu các con già ăn hết 28 bó thì số trâu già là 84 con. Số trâuđứng và số trâu nằm là 16 con và ăn hết 72 bó cỏ. Nếu cho mỗi con trâu nằm trong số 16 con này ăn thêm 2 bó nữa thì cả 16 con này ăn hết 80 bó, tức là cần thêm 8 bó nữa. Số này chính là số cỏ cần thêm để mỗi con nằm đƣợc ăn thêm 2 bó.
Nhƣ vậy có 4 con trâu nằm, 12 trâu đứng, 84 con trâu già. + Trường hợp 2:
Nếu các con già ăn hết 27 bó thì số trâu già là 81 con, số trâu nằm là 11 con, số trâu đứng là 8 con.
+ Trường hợp 3:
Nếu các con già ăn hết 26 bó thì số trâu già là 78 con, số trâu nằm là 18 con, số trâu đứng là 4 con.
+ Trường hợp 4:
Nếu các con già ăn hết 25 bó thì số trâu già là 75 con, số trâu nằm là 25 con, số trâu đứng là 0 con.
- Chỉ có các trƣờng hợp chúng ta nêu trên thôi vì: nếu các con trâu già ăn hết 24 bó hay ít hơn, thì có ít hơn 72 con. Nhƣ thế số lƣợng trâu đứng và trâu nằm không ít hơn 28 con, và chúng ăn không ít hơn 28x3=84 bó cỏ. Nhƣ vậy trên thực tế số con già ăn không quá 100-84=16 bó cỏ. Và do đó số con già có ít hơn 16x3=54 con. Tức là số lƣợng con đứng và số con nằm không ít hơn 46 con, và số cỏ tối thiểu để chúng ăn hết là 46x3=138 bó (điều này vô lý).
36
- Vậy:
Cách 2 (Giải bài toán bằng cách lập hệ phƣơng trình) Gọi số trâu đứng là x, trâu nằm là y
thì số trâu già là (100 – x– y) ( ) Theo đề ra ta có phƣơng trình:
Do , x y là các số tự nhiên 7x phải là bội của 4 nên Vậy:
Bài 5
Mùa xuân nghe tiếng trống thì thùng, Ngƣời ùa vây kín cả đình đông. Tranh nhau đánh đấm đòi mâm lớn, Tiên chỉ hò la để chỗ ông.
Bốn ngƣời một cỗ thừa một cỗ, Ba ngƣời một cỗ bốn ngƣời không. Ngoài đình chè chén bao ngƣời nhỉ, Tính thử xem rằng có mấy ông ?
37
Lời giải
- Gọi số mâm cỗ ngoài đình là x ( ) - Theo đề ra ta có phƣơng trình:
- Vậy số ngƣời ăn cỗ ngoài đình là: .
1.4.2. Phương pháp toán sơ cấp trong một số sách Hán Nôm Đại thành toán pháp của Lương Thế Vinh
Theo A. Volkov [C5], để có thể tổ chức đƣợc các kì thi toán chọn lại viên (giúp các quan trong ghi chép, tính toán sổ sách, thu thuế, đắp đê, đo ruộng,…), việc sƣu tầm, biên soạn một hoặc một số sách toán đã đƣợc thực hiện vào cuối thế kỉ 15 (vào những năm 1460-1497), thay cho các sách trong thƣ viện có thể đã bị đƣa về Trung Quốc. Một số học giả nhƣ Lƣơng Thế Vinh đã tiếp cận đƣợc với các sách toán đó và sử dụng chúng để biên soạn các sách mới.
Theo Nam sử tập biên ([B33], viết năm 1724) của Vũ Văn Lập thì Lƣơng Thế Vinh đã soạn Cửu chương toán pháp, còn Vũ Hữu soạn Lập thành toán pháp. Theo Vũ Phƣơng Đề trong Công dư tiệp chí ([B7], viết năm 1755) thì Vũ Hữu đã soạn Đại thành toán pháp và sử dụng để dạy phép đo ruộng. Theo Phan Huy Chú trong Lịch triều hiến chương loại chí ([B2], viết năm 1809-1819, Quyển 7) thì Vũ Quỳnh đã soạn định Đại thành toán pháp gồm hai quyển. Tuy nhiên, cả trong Công dư tiệp chí [B7] và trong Mộ Trạch Vũ tộc bát phái phả [B34] đều không nhắc tới việc Vũ Quỳnh biên soạn hai quyển Đại thành toán pháp. Hơn nữa, cấu trúc của Toán pháp đại thành hiện có trong thƣ viện Hán Nôm (xem sách số thứ tự [A17]) khó có thể chia làm hai quyển đƣợc (theo [C5]). Vì vậy, Đại thành toán pháp của Vũ Quỳnh nếu có thì chắc chắn khác với Toán pháp đại thành [A17] hiện có. Và theo Volkov, các văn bản của tác phẩm Toán pháp đại thành hiện nay ở thƣ viện
38
Hán Nôm ([A17], 2002) không chứa bất kì thông tin nào chứng minh rằng bản thảo trong thƣ viện Hán Nôm thực sự tác giả là Lƣơng Thế Vinh. Mặt khác, Hoàng Xuân Hãn viết năm 1943 (xem [B9], trang 1118): Trong sách … Đại thành toán pháp của Lương Thế Vinh (1441-1496) đời Lê Thánh Tôn
(nay còn bản in cũ đời Vĩnh Thịnh). Nhƣ vậy, rất có thể cuốn Đại thành toán pháp của Lƣơng Thế Vinh mà Hoàng Xuân Hãn nói đến hiện nay không có trong thƣ viện Hán Nôm. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Volkov đã tóm lƣợc Toán pháp đại thành trong [C5], dƣới đây tóm tắt nội dung của Toán pháp đại thành theo [C5].
Tác phẩm Toán pháp đại thành hiện đƣợc coi là của Lƣơng Thế Vinh ([A17]) bao gồm 138 bài toán đƣợc chia thành 8 phần:
Phần 1: Từ bài toán số 1 đến bài số 35.
Đó là những bài toán phân chia theo tỉ lệ. Chẳng hạn nhƣ bài toán số 1 và số 2 có đề nhƣ sau: Cho . Tính , , .x y z Trong các bài toán từ số 11 đến 19 thì chủ yếu nói về bài toán phân phối đều nhƣ số lƣợng tiền là S phân phối đều cho N ngƣời. Hỏi mỗi ngƣời đƣợc bao nhiêu tiền. Hoặc các bài toán từ số 21 đến số 35, yêu cầu ngƣời học phải chia số tiền S cho N ngƣời. Ở đây S luôn là các số 123, 456, 789 và N thƣờng tƣơng đƣơng với các số 1, 2, 3, …, 19.
Phần 2: Từ bài số 36 đến bài số 42.
Đây là những bài toán dành cho tính toán diện tích các hình: Diện tích hình vuông ( (với C là chu vi của đƣờng tròn; D
là đƣờng kính). Diện tích hình viên phân đƣợc tính bằng công thức (trong đó h là chiều cao của cung tròn, b là độ dài của dây cung).
Phần 3: Từ bài số 43 – 69.
Đây là những bài toán dành cho vấn đề về tỉ lệ, ở đây ta thấy một phƣơng pháp tính chiều cao của đối tƣợng khi biết hình ảnh của các đối tƣợng
39
(bài số 43). Trong các bài 57, 58, 61 cho Ni là đối tƣợng của i với i là các thứ hạng của đối tƣợng Ai phân loại số tiền, ngƣời học đƣợc hỏi có bao nhiêu đối tƣợng ngƣời ta có thể mua với số lƣợng nhất định tiền .S
Bài 59 và 60 giải bằng phương pháp đôi sai vị trí (method of Double False
Position): .
Các thuật toán đƣợc trình bày nhƣ sau:
Bài 59:
Bài 60:
Phần 4: Từ bài 70 đến bài 85
Nhóm này đƣợc dành cho khai thác các số liệu gốc của bài toán (từ bài 70 đến bài 81), và một thuật toán phụ trợ sử dụng cho việc chuyển đổi của một loại đơn vị tiền tệ này sang loại tiền khác (từ bài 82 đến bài 85).
Phần 5: Từ bài toán 86 đến bài 93.
Là tiếp tục của Phần 3. Ngƣời đọc đòi hỏi phải giải quyết các bài toán tính lãi suất và sử dụng phép nhân/chia. Tuy nhiên có một bài toán tính thể tích của một vật rắn đƣợc gọi là một “thuyền” (bài 88).
Nhóm 6: Bài 94 đến bài 131.
Các bài toán trong nhóm này đƣợc dành cho các đối tƣợng khác nhau, đặc biệt là tính toán diện tích các hình khác nhau. Ở đây có các công thức tính diện tích các hình nhƣ hình chữ nhật, hình viên phân, hình sừng trâu, các hình tròn, hình “trống”, hình nhẫn, hình vành khăn, hình mắt (giao của hai hình tròn), hình bán nguyệt, hình một tam giác cân, hình chữ nhật với các hình thang liền kề, hình tứ giác có các cạnh a b c d, , , và công thức tính là:
và hình đƣợc tạo bởi hai ô vuông kề nhau.
Những bài toán còn lại trong nhóm này đƣợc dành cho việc khai thác các căn bậc hai, tính toán thể tích các hình hộp và các công thức chuyển đổi các đơn vị đo lƣờng.
40
Chỉ minh lập thành toán pháp của Phan Huy Khuông
Phan Huy Khuông hay còn gọi là Phan Huy Ôn là con ông Phan Huy Cận và là em ông Phan Huy Ích, ở chợ Cày (tức làng Ngọc Điền, nay thuộc huyện Thạch Hà, Hà Tĩnh), về sau rời sang làng Canh Hoạch ở cùng tỉnh. Cuối đời Lê, nhân Phan Huy Cận ra làm quan ở Thăng Long, gia đình mới nhập tịch làng Thuỵ Khuê, sáng lập ra chi họ Phan ở Sài Sơn, tỉnh Sơn Tây. Phan Huy Khuông đỗ giải nguyên năm mới 20 tuổi (1774), đến năm 26 tuổi (1779) đỗ đồng tiến sĩ, sau làm đốc đồngSơn Tây, rồi đốc đồngThái Nguyên và Thị chế Hàn lâm viện, đến năm 32 tuổi (1786) thì mất, đƣợc truy tặng tƣớc Mỹ Xuyên hầu.
Phan Huy Khuông tuy mất lúc còn trẻ tuổi, nhƣng cũng để lại một số tác phẩm có giá trị, có lẽ ông tranh thủ biên soạn trong lúc làm quan, nhất là khi ở Viện Hàn lâm. Tác phẩm của ông, ngoài một số bài thơ nhỏ lẻ, có các tập đăng khoa lục nhƣ: Liệt huyện đăng khoa lục, Khoa bảng tiêu kỳ, Nghệ An tạp ký và đặc biệt có quyển Chỉ minh lập thành toán pháp.
Phan Huy Khuông rất đam mê toán học, quyển Chỉ minh lập thành toán pháp [A2] của ông là sản phẩm tổng kết và sƣu tầm những kiến thức toán học trƣớc đó đồng thời chứa đựng sự sáng tạo trong tính toán của tác giả. Tác phẩm Chỉ minh lập thành toán pháp của Phan Huy Khuông gồm bốn quyển, tức là bốn mục và một bài tựa đặt ở đầu sách: Phan gia toán pháp chỉ minh tự (Bài tựa sách làm toán của họ Phan).
Mở đầu Quyển I là sơ đồ hình vẽ bàn tính ngũ phân, tức bàn tính gồm 15 hàng, mỗi hàng có 5 con tính ở dƣới, 2 con tính ở trên, đã từng lƣu hành trên miền Bắc nƣớc ta, ở nhiều cửa hàng thuốc bắc, bách h và thực phẩm… Tiếp đó, là bài thơ tổng quát về cƣơng lĩnh chung, rồi đến các phép tắc chung, bản cửu chƣơng, sau phép tính gốc (tƣơng đƣơng với bốn phép tính gốc của ta hiện nay là: , nhân, chia), các đơn vị đo lƣờng xƣa nhƣ tiền (tiêu dùng), nhận (đo), ly (cân), quẻ (đong)… (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
41
Quyển II nói về phép đo đạc ruộng đất, gồm 32 hình vẽ các kiểu diện tích, các phép hình học mặt phẳng, phép lấy số pi, phép bình phƣơng, khai phƣơng…
Quyển III nói về phép thực hành đo đạc, đong lƣờng, đặc biệt áp dụng vào phép chở thuyền, phép đắp đê.
Quyển IV nói về phân số nhƣ các cách bình phân, sai phân.
Cuối sách là bảng toán học điều lệ, ghi rõ các bƣớc học tập, các lời căn dặn nhƣ phải nắm vững lý thuyết, trƣớc khi thực hành và khi thực hành phải thận trọng, để tránh sai sót, để đến nỗi sai một ly, đi một dặm.
Có thể nói các phép toán trên vốn đã có từ trƣớc, song Phan Huy Khuông đã nhấn mạnh trong việc áp dụng tính toán bằng bàn tính, chở thuyền, đắp đê hoặc các thí dụ thực hành. Đặc biệt sau mỗi phần lý thuyết, Phan Huy Khuông đều có làm diễn ca chữ Hán theo lối cổ thi. Ví dụ nhƣ phép đếm số, Ông viết: Toán số thập phân Nhất, thập, bách, thiên, nhất vạn vị Thập vạn, bách vạn, thiên vạn thị Vạn vạn vi ức, thập ức khỉ Bách ức, thiên ức, vạn ức chí