6. Cấu trúc của luận văn
1.5.1.Tổng quan về thi toán ở Việt Nam
Mục đích của các kì thi toán là để chọn Lại viên. Các kì thi này không đƣợc coi trọng nhƣ các kì thi Tiến sĩ. Kẻ sĩ học để thi khoa cử thì không đƣợc thi lại viên.
52
Các kì thi toán không đƣợc tổ chức thƣờng xuyên, định kì mà cứ khoảng 10 năm, hoặc 15 năm mới có một kì thi chọn lại viên (xem Thi Toán đời xưa của Hoàng Xuân Hãn [B9]).
Cuốn Đại Việt sử kí toàn thư ([B15]), một bộ sử Việt Nam chép khá tƣờng tận các việc, cũng chỉ viết sơ qua về các kì thi này. Theo Đại Việt sử kí toàn thư, kì thi chọn lại viên đƣợc biết sớm nhất vào thời nhà Lí. Trong khi đó, tại Trung Hoa, vào đời nhà Tùy (589-617) và đời nhà Đƣờng (618-935) thì “sự học, sự thi toán pháp đã chuẩn định một cách rất kĩ càng. Sách Tùy thƣ bách quan chi có chép: Về toán học có đặt hai ngƣời toán học bác sĩ, hai ngƣời toán trợ giáo và tám mƣơi ngƣời học sinh để coi về dạy toán pháp.” ([B9], trang 1117).
Các kì thi toán ở Việt Nam đƣợc liệt kê nhƣ sau:
Năm Đinh Tị đời vua Lý Nhân Tôn (1077): “Tháng ba, thi lại viên bằng thƣ (viết chữ), toán và hình luật.” (Ngô Sĩ Liên [B15], trang 202).
Năm Tân Dậu đời vua Trần Thánh Tôn năm thứ tƣ (1261) “Thi lại viên bằng các môn viết và tính. Ngƣời đỗ sung làm duyện lại nội lệnh sử.” (Ngô Sĩ Liên [B15], trang 288).
Quý Mão đời vua Trần Dụ Tôn (1363): “Thi lại viên bằng viết chữ để sung vào làm thuộc viên tại các sảnh viện.” (Ngô Sĩ Liên [B15], trang 386). Quý Sửu đời vua Trần Duệ Tôn năm thứ nhất (1373): “Thi lại viên bổ làm nội lĩnh sử duyện lại.” (Ngô Sĩ Liên [B15], trang 399).
Tháng 4 năm Quý Dậu đời vua Trần Thuận Tôn (1393): “Mùa hạ, tháng tƣ, thi lại viên.” (Ngô Sĩ Liên [B15], trang 422).
Nhận xét: Các năm 1363, 1373 và 1393, tuy trong [B15] không chép có thi toán hay không, năm 1363 ghi rõ “Thi lại viên bằng viết chữ...”, nhƣng có lẽ việc thi cũng không khác trƣớc nên ngƣời ghi sử chỉ ghi chung là có thi lại viên nên ta có thể khẳng định là có thi toán (Ý kiến của Hoàng Xuân Hãn, [B9]).
53
Giáp thân năm 1404, “Hán Thƣơng định cách thức thi cử nhân, cứ tháng tám năm nay thi hƣơng, ai đỗ thì miễn lao dịch, tháng tám năm sau thi ở bộ Lễ, ai đỗ thì miễn tuyển bổ làm lính; lại năm sau nữa thi Hội, ai đỗ thì bổ Thái học sinh; rồi năm sau nữa lại bắt đầu thi hƣơng nhƣ trƣớc. Bấy giờ các học trò chuyên nghiệp học mong đƣợc bổ dùng, nhƣng mới thi ở bộ Lễ rồi gặp loạn phải thôi. Phép thi bắt chƣớc lối văn thể ba trƣờng theo lệ nhà Nguyên, nhƣng chia ra làm bốn kỳ, lại có thêm kỳ thi viết chữ và tính, thành ra năm kỳ. Các quân nhân, phƣờng chèo, ngƣời có tội không đƣợc dự bổ” (Ngô Sĩ Liên [B15], trang 441).
Ất Dậu (1405): “Hán Thƣơng sai thi Lại viên.” (Ngô Sĩ Liên [B15], trang 441).
Đinh Tị đời vua Lê Thái Tôn năm thứ tƣ (1437): “Khảo thi viết và tính, lấy đỗ 690 ngƣời, bổ làm thuộc lại các nha môn trong ngoài. Phép thi kỳ thứ nhất viết ám tả cổ văn , kỳ thứ hai thi viết chữ chân chữ thảo, kỳ thứ ba thi tính. Phàm dân nhân và sinh đồ đều cho vào thi. Giám sinh và ngƣời đã ở sổ quân rồi thì không đƣợc thi. Bấy giờ các tể tƣớng đều là đại thần khai quốc, không thích học nho, chuyên lấy việc sổ sách giấy tờ và kiện tụng để xét thành tích của các quan, bọn lại thuộc phần nhiều chiều hót quan trên, cho nên quan trong ngoài có chức nào khuyết thì tiến cử để bổ dùng. Những bọn hãnh tiến bỏ nghề học theo nghề làm giấy tờ. Giám sinh cũng muốn bỏ việc đọc sách mà đi làm lại, cho nên cấm không cho thi. Lần thi này những kẻ luồn lọt thỉnh thác có đến một nửa. (Ngô Sĩ Liên [B15], trang 563).
Ất Mùi đời vua Lê Thánh Tôn năm thứ sáu (1475): “Tháng tám, ngày 28, thi cháu của quan viên. Phép thi: một bài biểu, một bài tính. (Ngô Sĩ Liên [B15], trang 675).
Đinh Dậu, đời vua Lê Thánh Tôn năm thứ tám (1477): “Sắc chỉ rằng: “ Các tụng quan con cháu đáng đƣợc vào chính ngạch, nếu khảo thí trúng thi
54
biểu và thƣ toán thì cho sung nho sinh ở Tƣ lâm cục và làm thuộc lại các nha môn, nhƣ lệ con cháu quan văn võ thi đỗ.” (Ngô Sĩ Liên [B15], trang 678). Tân Sửu đời vua Lê Thánh Tôn năm thứ mƣời hai (1481) (*): “Khảo thí con cháu các quan viên bằng văn, thƣ và toán” (Ngô Sĩ Liên [B15], trang 694). Nhâm Dần, đời vua Lê Thánh Tôn năm thứ mƣời ba (1482) (*): “Mùa đông, tháng 10, khảo hạch quân dân về thƣ toán” (Ngô Sĩ Liên [B15], trang 694).
(*) Không đƣợc liệt kê trong [B9].
Ngày 29 tháng chín Bính Ngọ, Hồng Đức năm thứ 17 (1486): “Thi con cháu các quan viên bằng các môn văn, thƣ, toán” (Ngô Sĩ Liên [B9], trang 708). Mùa đông tháng mƣời Canh Tuất, Hồng Đức năm thứ 21 (1490): “Khảo thí các quân sắc và các nhân dân bằng các môn thƣ toán, bổ làm lại viên ở các nha môn. Phép thi: Một kì ám tả, một kì thƣ toán” (Ngô Sĩ Liên [B9], trang 708).
Tháng chạp năm Bính Dần đời vua Lê Uy Mục năm thứ ba (1507): “Thi lại môn bằng thi toán 144 ngƣời, lấy đỗ bọn Nguyễn Tử Kỳ 25 ngƣời, cho sung hoa văn học sinh” (Ngô Sĩ Liên [B9], trang 763). Nhƣng ở mục thi toán đời xƣa [B9] Hoàng Xuân Hãn, trang 1120 lại viết: Năm 1507 tháng chạp năm Bính dần (1506) đời vua Lê Uy sai binh bộ thƣợng thƣ Nguyễn Quang Mỹ, lại qua đô cấp sự trung Nguyễn Tinh, đề hình giám sát ngũ sử Nguyễn Trọng Đạt làm đề điệu, giám thí, giám khảo, để khảo thí quân dân về thƣ toán ở giữa sân điện Giảng Vũ. Ứng khảo có hơn 3 vạn ngƣời, đậu 1519 ngƣời, Nguyễn Tử Khƣơng đậu đầu .
Năm 1722, tháng giêng năm Nhâm Dần đời vua Lê Dụ Tôn, sắc cho các binh lính ai biết chữ có thể nộp đơn đi thi hƣơng, ai biết thƣ, toán cũng đƣợc đến kỳ thi thƣ toán dự thi (Hoàng Xuân Hãn [B9] , trang 1120).
Năm 1762, tháng năm năm Nhâm Ngọ, đời vua Lê Hiến Tôn thi thƣ, toán (Hoàng Xuân Hãn [B9], trang 1120).
55
Theo nghiên cứu của Volkov, vào các năm 1767, 1777 có tổ chức các kì thi toán (xem Volkov [C5]), không rõ Volkov đã tra cứu đƣợc từ tài liệu nào? Trong Thi toán đời xưa của Hoàng Xuân Hãn [B9] không nhắc đến hai kì thi này.
1.5.2. Chương trình thi toán ở Việt Nam
Nhƣ đã nói ở trên, thi lại viên cốt để chọn những ngƣời làm việc lại: coi việc sổ sách giấy má, tính sƣu thuế, việc đạc điền (biết tính diện tích các đám ruộng), việc binh lƣơng và các việc quốc dụng khác nhƣ tính thể tích con đê, thành, hào. Biết tính số gạch, gỗ, trong xây dựng đều cần ngƣời biết làm toán.
. Đến thời Lê Trung hƣng, chƣơng trình thi toán đƣợc quy định trong Khâm định (theo Hoàng Xuân Hãn, Thi Toán đời xưa, Báo Khoa học số 13, 14 tháng 1, 2, năm 1943, trang 207- 215, [B9]) cụ thể nhƣ sau:
Số học : cộng, trừ, nhân, chia, đƣợc dùng bàn
tính hoặc thẻ (trù toán). Các phép chia bình phân (chia đều), sai phân (chia tỷ lệ nhiều ít) khá phức tạp, có cả tạp số, ví dụ một mẫu = 10 sào, 1 sào = 15 thƣớc, v.v... Có lẽ thí sinh còn phải dùng đến cả phép khai phƣơng (lấy căn bậc hai).
Hình học: Biết tính diện tích các ruộng: hình tự phƣơng điền (hình vuông), trực điền (hình chữ nhật), thê điền (hình thang), khuê điền (thang cân), tà điền (tam giác thƣờng), viên điền (hình tròn), thuẩn điền (hai cung úp vào nhau), hình bầu dục (ellip), mi điền (hình đƣờng mày), ngƣu điền (hình sừng trâu), cổ điền (hình trống),v.v... (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
.
Chƣơng trình thi trên không có gì đặc sắc, cốt là để chọn kẻ lại (bị coi là thấp hèn). Kẻ sĩ đi học thi Tiến sĩ không thi lại. Hoàng Xuân Hãn đã nhận xét nhƣ sau: “Vì lẽ đó mà kẻ lại bấy giờ học thức kém, trình độ toán học không cao.
56
Quyển Cửu chương lập thành tính pháp là một bằng chứng rõ ràng: Văn viết rất tầm thường, lẫn nôm và chữ, về phần nôm thì càng xoàng xĩnh. Đối với chương trình thi toán và toán thư của Trung hoa kém xa ( ,
[B9], trang 1121).
Thí sinh thƣờng dùng cuốn Cửu chương lập thành tính pháp
, 1713, xem [A3]) để ôn luyện, có khi học thuộc lòng. (xem Hoàng Xuân Hãn [B9], trang 1120).
Hoàng Xuân Hãn cũng cho ta biết thêm: Theo Khâm định Việt sử thì: “Lệ xƣa, thi thƣ toán không định khoa, hoặc 10 năm, hoặc 15 năm thi một lần ngƣời viết tốt, thi ba thể: đại tự, tiểu tự, lĩnh tự (gọi là thể chữ chiếu, sắc), viết thơ Đƣờng luật một bài. Kẻ giỏi toán, hỏi về các phép bình phân, sai phân. Đời Chính Hòa (Lê Huyền Tôn, 1680-1704), định 12 năm thi một lần, đời Long Đức (Lê Dụ Tôn, 1732-1734) lại đổi ra sáu năm. Từ đó về sau, vì nhiều việc trong nƣớc chƣa đặt khoa thi. Đến bấy giờ (Cảnh Hƣng năm thứ 23, 1762) mới định 12 năm thi một lần lấy làm thƣờng lệ. Thi viết lấy đậu 978 ngƣời. Thi toán lấy đậu 120 ngƣời,…”.
1.5.3. Một đề thi và bài giải minh họa
Hiện nay chƣa tìm thấy một đề thi toán hoặc một văn bản nào về các cuộc thi toán cả (xem Volkov [C5]). Bởi vậy cả Hoàng Xuân Hãn trong bài viết Thi Toán đời xưa (tiếng Việt), Báo Khoa học số 13, 14 tháng 1, 2, năm 1943, trang 207- 215, [B9]), cả Volkov [C5, tiếng Anh] đành phải dịch một bài thi mẫu do Phan Huy Khuông tự soạn trong sách Chỉ minh lập thành toán pháp [A2] từ tiếng Hán để minh họa.
(và chỉ có phần số học, không có hình học) ([A2]):
57
Bài ra (Đầu bài)
Hỏi, nay đƣợc phụng ban vàng bạc cộng là 1000 cân. Số bạc ấy bản quan lĩnh, lƣợng chiếu số bạc 5292 lạng, để phát cho các viên thuộc ở bản dinh là 328 ngƣời. Nếu sẽ chia đều cho mọi ngƣời thì còn lẻ 4 phân, 8 ly, nghĩ cao hạ (cao thấp) chia đều, lẽ chƣa đƣợc phải. Vậy phép chia đều không thể dùng, lẽ đã rõ ràng. Nay muốn đem số tiền ấy chia cho bản thuộc theo phép “sai suy” (hoặc sai phân, suy phân là phép chia theo tỷ lệ - giải thích của Giáo sƣ Hoàng Xuân Hãn) chia làm ba hạng: hạng Giáp 8 ngƣời, mỗi ngƣời đƣợc 7 phân; hạng Ất 20 ngƣời, mỗi ngƣời 5 phân; hạng Bính 300 ngƣời, mỗi ngƣời đƣợc 2 phân. Nhƣ thế thì mỗi ngƣời đƣợc lĩnh bao nhiêu, và tính gộp lại mỗi hạng đƣợc lĩnh bao nhiêu? Các thí sinh thi toán, học tập đã tinh thông; hãy tính toán, biện biệt; nên tƣờng tận giãi bày, để tỏ điều hiểu rõ.
Trả lời
Hạng Giáp đƣợc mỗi ngƣời 49 lạng, gộp thành 392 lạng. Hạng Ất mỗi ngƣời đƣợc 35 lạng, gộp thành 700 lạng. Hạng Bính mỗi ngƣời đƣợc 14 lạng, gộp thành 4200 lạng.
Bài giải theo ngôn ngữ hiện đại
Tổng số phân theo tỉ lệ chia là 8 7 20 5 300 2 756 phân. Mỗi phân ứng với 5292 : 756 7 lạng. Do đó hạng Giáp 1 ngƣời đƣợc 7 7 49 lạng gộp lai thành 49 8 392 lạng. Hạng Ất 1 ngƣời đƣợc 7 5 35 lạng gộp lại thành 35 20 700 lạng. Còn hạng Bính mỗi ngƣời đƣợc 2 7 14
lạng gộp lại thành 14 300 4200 lạng. Kết quả chung là: 39270042005292. lạng (khớp với đề cho).
Nhận xét Có thể nói, đây chỉ là bài toán số học về chia tỉ lệ, tƣơng đƣơng với trình độ cuối bậc Tiểu học hiện nay. Tuy nhiên, đây có lẽ là một trong những dạng toán thƣờng gặp nhất trong các bài thi toán ngày xƣa.
58
Bài giải theo ngôn ngữ cổ
Đối: Tôi nghĩ trong toán pháp phép nhân chia không vƣợt quá suy phân. Trƣớc xem nhiều ít khác nhau. Nay quan chấp sự hỏi toán, nên tôi sở dĩ trả lời:
Nay thấy trong đầu đề hỏi. Nhờ chiếu ban bạc, cho các bản thuộc; lƣợc thuyết chia đều, mà chính dùng phép sai phân. Ngẫm biết toán pháp dùng vô cùng thần diệu!
Tôi xin tính mà giải bày đây: cứ theo phụng ban vàng bạc cho các quan 1.000 cân. Theo phép lấy mỗi cân nhân với 16 lạng, tất cả đƣợc 16.000 lạng. Vả ơn rƣới từ trên, ắt thấm xuống dƣới. Số bạc ấy, bản quan nghĩ lợi không phải của một mình để dành riêng. Bèn trong số bạc vua ban, kẻ phụng ban lấy 10.708 lạng cất trữ, con số bạc 5.292 lạng. Lƣợng chiếu số bạc đem các bản thuộc 328 ngƣời, để cùng bản dinh đồng hƣởng ân về số bạc ấy. Nếu dùng phép bình phân, trên đặt số ngƣời, dƣới đặt số tiền, làm phép chia thành mỗi ngƣời đƣợc 16 lạng 1 tiền 3 phân 4 ly. Vậy số tiền ấy chƣa hết, còn 4 phân 8 ly. Thực là nên dùng phép thông phân. Vả nhân phẩm có cao hạ, thì chia đều cho tất cả là sự không xứng tính; lý ấy có điều chƣa phải. Vậy phép bình phân, không thể dùng. Cho nên không phải bày giải, tin nhƣ đầu đề nói, sự ấy đã hiển nhiên.
Vả vì ngƣời có hơn thua không bằng nhau, chia có nhiều ít theo thứ tự. Kẻ hơn thì đáng đƣợc nhiều, kẻ kém thì đáng đƣợc ít. Chia mà có kém lẽ vì đó.
Nay theo ý muốn dùng số tiền 5.292 lạng, chia cho thuộc hạ theo phép sai phân, mà số ngƣời chia ra ba hạng: hạng Giáp 8 ngƣời, mỗi ngƣời lấy 7 phân; hạng Ất 20 ngƣời, mỗi ngƣời lấy 5 phân, hạng Bính 300 ngƣời, mỗi ngƣời lấy 2 phân. Ấy là hỏi phép sai phân.
Phép ấy đáng làm thế nầy: trƣớc đặt 8 ngƣời hàng Giáp, lấy 7 phần mà nhân, đƣợc tích số 56 phân suất. Lại đặt 20 ngƣời hạng Ất, lấy 5 phần mà
59
nhân, đƣợc tích số 100 phân suất. Lại đặt 300 ngƣời, hạng Bính, lấy 2 phân mà nhân, đƣợc tích số 600 phân suất. Rồi lấy phân suất của ba hạng cộng lại làm một; cộng đƣợc 756 phân suất, để làm pháp. Vừa đặt số bạc 5.292 lạng làm thực. Rồi theo phép qui trừ đƣợc mỗi phân suất là 7 lạng, dành lại làm số nhất định, để nhân phân suất các hạng. Rồi trƣớc hết lấy 7 phân của hạng Giáp nhân thành mỗi ngƣời đƣợc 49 lạng. Sau lại lấy 5 phân hạng Ất nhân thành mỗi ngƣời đƣợc 35 lạng. Lại lấy 2 phân hạng Bính nhân thành mỗi ngƣời đƣợc 14 lạng. Nhƣ thế, số tiền mỗi ngƣời của mỗi hạng đã tính xong. Còn nhƣ các số gộp lại thì đều lấy các sai phân tích rồi cùng nhân với số nhất định trên, sẽ biết số gộp. Lấy tích số 516 phân suất của hạng Giáp mà nhân thành đƣợc 392 lạng; lại lấy tích số 100 phân suất của hạng Ất mà nhân thành 700 lạng; vả lại lấy tích số 600 phân suất của hạng Bính mà nhân thành 4.200 lạng. Ấy là các số gộp của các hạng cũng tính xong. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nhƣ muốn hoàn nguyên, cộng các số gộp của ba hạng lại làm một, thành số bạc trƣớc kia là 5.292 lạng.
Tôi đây, ngu về sự học, bày giải pháp thức biết thô sơ; vụng ở việc làm, biện biệt mấy điều chƣa hiểu rõ. Nay nhân hỏi đến, thô thiển trả lời. Trái phải thế nào, nhờ quan chấp sự lựa mà chọn lọc. May lắm.
Nhận xét (của Hoàng Xuân Hãn, [B9]):
Xem qua bài giải này ta có thể hiểu thấu cái tinh thần toán học của thời đại. Cách giải đây là theo phép học sẵn ở sách “Cửu chƣơng lập thành tính pháp” có bài “Sai phân toán pháp” bắt đầu bằng mấy câu này:
“Ngồi rồi luận sự sai phân
Sơ bày Giáp đẳng can nhân ở đầu. Lấy Giáp thụ phân nhân nhau;
Liền nên Giáp tích, phép màu số phân…”
Sau nữa bài ra không cho những điều cần thiết, mà còn cho số tuy không cần dùng, nhƣng có trong sự thực. (số bạc vua ban cả thảy). Bài làm
60
không những giải về câu hỏi chính, mà còn giảng về những điều bên cạnh không can hệ đến toán học: ví dụ vì sao bản quan chia bạc cho thuộc hạ, vì sao chia theo phép sai phân.
Tƣởng đó cũng là lối làm văn sách, không đƣợc bỏ quên một ý nào, một chữ nào trong bài ra. Đặt câu thƣờng dùng chữ để láy lại, nhắc lại, chữ ở câu đầu đề nhập đề, kết luận đều theo chữ lối.
Sự tƣơng tự ấy, thực ra không chỉ ở bề ngoài. Cách thi cử nghiệp ngày xƣa, chính bài văn sách đã thay bài toán pháp bây giờ. Mà cũng nhờ lối văn sách mà các cụ ta chống lại với lối văn dông dài là lối luận; và nhờ đó, các cụ tuy học rặt văn chƣơng, luân lý, triết học, mà các cụ vẫn giữ đƣợc tinh thần khoa học mà chúng ta đƣợc hƣởng bây giờ. Nó đã làm cho ta tuy trong chốc