Ví dụ 1.
+ Xét hàm số đồng biến |
Chứng minh: Có , 1) suy ra là hàm số
đồng biến
Từ đó ta tạo được hệ phương trình sau:
Lời giải: + ĐKXĐ: + Lấy ta có phương trình Xét hàm số với Có , 1) suy ra là hàm số đồng biến | Nên ta có với Suy ra VT(*)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 2.
+ Xét hàm số với là hàm nghịch biến
do
64 Lời giải: + Từ (2) ta có + Xét hàm số với có là hàm số nghịch biến với t . Khi đó (1) Với thay vào (2) ta có
Vậy hệ phương trình có nghiệm
Ví dụ 3.
+ Có hàm số là hàm số đồng biến / R + Chứng minh: Có
Suy ra hàm số đồng biến / R + Từ đó ta tạo được hệ phương trình
Lời giải:
+ Ta có (1)
Xét hàm số
Suy ra hàm số đồng biến / R Có (*)
65 Vậy hệ phương trình có các nghiệm
Bài tập: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình
1.(HSG Bến Tre 2010) Giải hệ phương trình
HD: Xét hàm số , là hàm số đồng biến với Hệ đã cho được viết lại suy ra
2.(THTT 2010) Giải hệ phương trình
HD:
không thỏa mãn hệ, suy ra . Chia cả hai vế của (1) cho
Hệ đã cho Xét hàm số đồng biến nên (*) 3. Giải hệ phương trình (I) HD: (I) , cộng vế với vế ta có (*) Xét hàm số đồng biến nên (*)
66 4. Giải phương trình HD: (1) ) ) ) (*) Xét hàm số đồng biến suy ra (*) 5. Giải hệ phương trình HD: (1) (*) Xét hàm số đồng biến suy ra (*) 6. Giải hệ phương trình HD: (1) (*) Xét hàm số đồng biến suy ra (*) 2.3.4. Sáng tạo hệ phương trình từ sử dụng các bất đẳng thức +) Sử dụng tính chất Ví dụ 1. Chọn . Khai triển
Từ đó ta tạo được hệ phương trình
67 Lời giải :
Lấy ta có phương trình (*)
Nhận xét : do đó VT (*)
Nên (*)
Thay vào hệ (I) thỏa mãn. Vậy hệ (I) có nghiệm
Ví dụ 2.
Chọn . Khai triển
Từ đó ta tạo được hệ phương trình
Lời giải: Lấy (1) - (2) ta có phương trình (*) Nhận xét : . Do đó VT (*) Nên (*)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm +) Mở rộng cho 3 biến
68 Khai triển:
Từ đó ta tạo được hệ phương trình
Lời giải: Lấy (1) + (2) + (3) ta có phương trình
Vậy hệ phương trình có các nghiệm
+) Sử dụng bất đẳng thức Ví dụ 1.
- Bất đẳng thức CôSi : với ta có (I) - Áp dụng (1) ta có dấu đẳng thức xảy ra khi
dấu đẳng thức xảy ra khi
Từ đó ta tạo được hệ phương trình sau
Lời giải:
+ Lấy (1)+(2) ta có phương trình
69 dấu đẳng thức xảy ra khi
Cộng vế với vế ta có VT(*) . Do đó ta có
(*)
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm
Nhận xét : Hệ phương trình trên có thể được giải bằng cách khác
Ví dụ 2.
- BĐT CoSi cho 3 số không âm
Với ta có (II)
dấu đẳng thức xảy ra khi
CM: Bất đẳng thức đã cho tương đương với P =
Ta có
(đpcm) - Áp dụng (II) ta có
dấu đẳng thức xảy ra khi dấu đẳng thức xảy ra khi Từ đó ta tạo được hệ phương trình
Lời giải:
70 + Áp dụng BĐT CôSi ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi
(***) Dấu đẳng thức xảy ra khi
Từ (**) và (***) suy ra . Do đó (*) tương đương với các dấu
đẳng thức xảy ra hay (*)
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm
Ví dụ 3.
- Sử dụng BĐT (III)
CM:
Ta dễ dàng chứng minh được (*) . Thật vậy
luôn đúng với Từ (*) ta có
Lại có
Nên hay ta có (I) được chứng minh - Áp dụng (III)
71
Với ta có
Từ đó ta tạo được hệ phương trình sau
Lời giải:
+ Lấy ta có phương trình
Ta có
dấu đẳng thức xảy ra khi x=1
Tương tự dấu đẳng thức xảy ra khi y=1
Suy ra
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Với thỏa mãn hệ phương trình đã cho Vậy nghiệm của hệ là
Ví dụ 4.
- BĐT Bunhia-cốpxki đối với bốn số thực
Với bốn số thực a, b, c, d ta có (IV)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi CM: Ta có luôn đúng - Áp dụng (IV) ta có - Áp dụng BĐT CôSi có 1.
72 Từ đó ta tạo được hệ phương trình
Lời giải:
+ Điều kiện xác định :
+ Nhân hai vế phương trình của hệ ta ta nhận được
Ta có bất đẳng thức: và Dấu đẳng thức xảy ra khi
Suy ra
Do đó (*) dấu đẳng thức xảy ra được
Thay vào hệ phương trình thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm
Ví dụ 5.
Từ ví dụ 4 mở rộng cho 3 biến x, y, z ta tạo được hệ phương trình mới
(I)
Lời giải:
+ Điều kiện xác định:
+ Nhận xét là một nghiệm của hệ (I)
Xét với ít nhất một trong các giá trị ; giả sử như ta có
73 Suy ra mâu thuẫn
Vậy hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất +) Các phương trình có thừa số giống nhau
- Xét hệ có dạng
Chọn các giá trị thích hợp ta tạo được hệ phương trình mới
Ví dụ 1: Chọn , lấy Ta có hệ phương trình (I) Lời giải: + Ta có hệ (I)
+ Nhân vế với vế các phương trình (1), (2), (3) ta có
Từ (1), (2), (3), (4) có hay
Từ (1), (2), (3), (5) có
hay
74
Ví dụ 2.
Giải hệ phương trình
Lời giải:
+ Nhân vế với vế các phương trình (1), (2), (3) ta có
+ Với thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 3.
Giải hệ phương trình
(I)
Lời giải:
+ Ta có (I)
+ Nhân vế với vế các phương trình (1), (2), (3) ta có
+ Với thay vào hệ phương trình thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
75
+) Sử dụng tính chất thứ tự xoay vòng Ví dụ 1.
+ Có phương trình
Sử dụng tính chất thứ tự xoay vòng ta tạo được hệ phương trình
Lời giải: Ta có Giả sử
Suy ra
Với thay vào hệ thỏa mãn Vậy hệ có nghiệm duy nhất
Ví dụ 2.
+ Xét hàm số là hàm số đồng biến + Phương trình
Từ đó ta tạo được hệ phương trình hoán vị vòng quanh
Lời giải:
+ ĐKXĐ:
+ Với thay vào hệ thỏa mãn + Với
Xét hàm số có
76 + Với tương tự vô lý
+ Với thỏa mãn hệ, thay vào hệ ta có phương trình
Với ,
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm (0; 0), (1; 1), ((1-√5)/2; (1-√5)/2)
Ví dụ 3.
+ Có với
+ Xét phương trình
Ta tạo được hệ phương trình sau
Lời giải:
+ Giả sử
suy ra ta có + Với ta có phương trình
+ Với thay vào hệ phương trình thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
77
+ Xét hàm số là hàm số đồng biến / R vì
+ Xét phương trình
Ta tạo được hệ phương trình
Lời giải:
+ Xét hàm số có
Do đó hàm số luôn đồng biến / R + Khi đó hệ có dạng
Giả sử
+ Với thế vào (1) có phương trình
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm
Bài tập: Sử dụng BĐT để giải hệ phương trình 1. Giải hệ phương trình
78 + Nếu (2) có vô lý + Nếu (2) có vô lý (TM) 2. (THTT 2010) Giải hệ phương trình HD: Từ ĐKXĐ của hệ và từ (1) suy ra Lấy có phương trình 3. Giải hệ phương trình HD: Lấy (1)+(2) có phương trình (*)
Áp dụng BĐT Cosi ta có VT (*) . Do đó dấu đẳng thức xảy ra được 4. Giải hệ phương trình
HD: Lấy (1)+(2) có phương trình
Áp dụng BĐT CoSi có VT(*) suy ra dấu đẳng thức xảy ra được
79 HD: Lấy (1)+(2) có phương trình
Sử dụng BĐT Bunhia-copxki đánh giá VT , lại có VP . Suy ra dấu các đẳng thức xảy ra được.
6. (THTT 2010) Giải hệ phương trình
HD: Lấy (1)+(2) có phương trình
Sử dụng BĐT Bunhia-copxki đánh giá VT , Lại có VP suy ra dấu các đẳng thức xảy ra được. 7. Giải hệ phương trình
(I)
HD: (I) , sau đó nhân vế với vế các phương trình
8. Giải hệ phương trình (I) HD: (I) Giả sử suy ra 9. Giải hệ phương trình
80 (I) HD: (I) Giả sử Suy ra . 10. Giải hệ phương trình HD: Giả sử . Suy ra 2.4. Một số giáo án thực nghiệm GIÁO ÁN 1
. Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai, hai ẩn (tiết 38)
I) Mục tiêu
Giúp học sinh
1. Về kiến thức: Nắm được các phương pháp chủ yếu giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn, nhất là hệ phương trình đối xứng
2. Về kỹ năng: Biết cách giải một số dạng hệ phương trình bậc hai hai ẩn, đặc biệt là các hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai, hệ phương trình đối xứng
3. Về thái độ
- Chủ động, tích cực trong học tập -Tư duy vấn đề toán học logic, hệ thống
81
+ Phương pháp dạy học: kết hợp các phương pháp vấn đáp gợi mở, thuyết trình, dạy học hợp tác.
+ Phương tiện: SGK, bảng đen, phấn trắng phấn màu và một số đồ dùng khác
III) Tiến trình dạy học
1. Tổ chức lớp
2. Kiểm tra bài cũ: Nêu cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn? 3. Bài mới
82 - GV đưa ví dụ về hệ gồm một
phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
- GV: yêu cầu học sinh đưa ra cách giải hệ
- GV: có nên rút x từ phương trình (1) thế vào phương trình (2) ? Tại
sao?
- GV khái quát phương pháp giải hệ phương trình bậc hai có chứa một phương trình bậc nhất hai ẩn - HS theo dõi - HS: rút thế vào phương trình (2) Giải: Từ (1) ta có thế vào (2) nhận được phương trình + Với + Với
Vậy hệ đã cho có các nghiệm
- HS: trả lời
(Gợi ý: rút y thế vào tiết kiệm thời gian hơn)
83 - GV đưa ví dụ về hệ phương trình
đối xứng loại 1
Ví dụ 2.
Giải hệ phương trình sau (II) - GV: có nhận xét gì về hệ nếu ta
thay đổi vai trò của và cho nhau?
- GV: các biểu thức có mặt trong hệ có thể biểu diễn theo các biểu thức nào? Từ đó đưa ra cách giải?
- HS: mỗi phương trình của hệ không thay đổi.
- HS: các biểu thức trong hệ đều có thể biểu diễn theo
Giải: ta có hệ phương trình tương đương Đặt với Khi đó (II) trở thành Từ (3) có thay vào (4) nhận được phương trình Với (t/m) ta có hệ Với (t/m) ta có hệ
84 GV nhận xét và sửa chữa sai lầm
nếu có
- GV kết luận nhận dạng và cách giải hệ phương trình đối xứng loại
I
- GV đưa ví dụ về hệ phương trình đối xứng loại II
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau
(III)
- GV chia lớp thành 4 nhóm làm ví dụ 3, sau đó đại diện các nhóm lên
trình bày
- GV phân tích lời giải của học sinh và tổng kết các cách giải Cách 2:
+ ĐKXĐ:
+Hệ (III) tương đương
Vậy hệ có các nghiệm
- HS theo dõi
- HS chia nhóm và tiến hành thảo luận , đưa ra cách giải hệ
Cách 1: + ĐKXĐ:
+ Hệ (III) tương đương
Đặt với
Ta nhận được hệ
85 Vậy hệ có nghiệm Cách 3: (III) Đặt , ta có hệ Với ta có hệ - GV nhận xét cách 1 dài dòng phức tạp nhất, cách 2 đơn giản nhẹ nhàng hơn nhưng cách 3 mang tính
tổng quát. Cần chú ý đặc điểm riêng của từng bài toán - GV cho thêm một ví dụ về sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ giải
hệ
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau
(IV)
- GV yêu cầu học sinh nhận dạng và phân tích đưa ra lời giải
Với có hệ
Vậy hệ phương trình có nghiệm
- HS nhận dạng hệ phương trình đối xứng loại I và phân tích để đưa ra lời giải
- HS: nếu đặt nhận
được hệ phức tạp
86 - GV: có thể giải hệ này bằng cách
tổng quát của hệ phương trình đối xứng loại I được không? - GV yêu cầu HS tìm mối quan hệ
của các biểu thức có mặt trong hệ phương trình
Gợi ý: Do đó đặt
Ta nhận được hệ đơn giản
Yêu cầu học sinh về nhà giải tiếp - GV củng cố lựa chọn ẩn phụ sao cho hệ phương trình theo ẩn mới là
đơn giản
- GV cho ví dụ về hệ đối xứng loại II
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình
- GV: có nhận xét gì về các phương trình của hệ nếu ta thay
đổi vai trò của x và y cho nhau - GV đưa ra cách giải tổng quát: trừ từng vế hai phương trình trong
hệ nhận được phương trình tích
- HS theo dõi
- HS : phương trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại
- HS thực hành
Giải: Lấy (1)-(2) ta có phương trình
Với thay vào vào hệ ta có phương trình
Với thay
87 - GV nhận xét, củng cố nhận dạng
và phương pháp giải tổng quát hệ phương trình đối xứng loại II - GV: nếu hệ phương trình đối xứng có nghiệm thì nó
cũng có nghiệm , giải thích?
- GV đưa chú ý sgk
- GV cho bài tập củng cố chú ý Bài tập: cho hệ phương trình sau
Biết hệ có 4 nghiệm và 2 trong 4
nghiệm là .
Không giải hệ hãy tìm các nghiệm còn lại
Vậy hệ phương trình có nghiệm
- HS: vì thay đổi vai trò của x và y cho nhau hệ phương trình đối xứng không thay đổi
- HS theo dõi
- HS trả lời
Gợi ý: hai nghiệm còn lại là
4. Củng cố: nhận dạng và cách giải tổng quát hệ phương trình đối xứng loại I, loại II 5. Hướng dẫn về nhà: Bài tập 45, 46, 48 (sgk) Bài tập: 1. Giải hệ phương trình HD: đặt 2. Giải hệ phương trình:
88 a)
HD: trừ vế với vế nhận được phương trình tích Đs:
b)
HD:
Hệ trừ vế với vế có phương trình
Từ hệ suy ra nên (*) vô nghiệm Đs:
3. Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình trên
89
GIÁO ÁN 2
TỰ CHỌN (TIẾT 1) I) Mục tiêu:
1. Kiến thức : Giúp học sinh nắm được cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
2. Kỹ năng: Học sinh biết sử dụng một số phép đặt ẩn phụ cơ bản để giải hệ phương trình đại số
3. Về thái độ
- Chủ động, tích cực trong học tập
- Tư duy vấn đề toán học logic, hệ thống
II) Phương pháp và phương tiện dạy học
+ Phương pháp dạy học: Kết hợp các phương pháp vấn đáp gợi mở, thuyết trình, dạy học hợp tác.
+ Phương tiện: Sách giáo khoa, bảng đen, phấn trắng phấn màu và một số đồ dùng khác
III) Tiến trình dạy học
1. Tổ chức lớp
2. Kiểm tra bài cũ: Nêu cách nhận dạng và phương pháp giải tổng quát hệ phương trình đối xứng
3. Tiến trình
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh - GV: Đặt ẩn phụ là một kỹ năng cơ
bản nhưng rất quan trọng để giải hệ phương trình, ngoài phép đặt ẩn phụ đã biết đối với hệ phương trình đối xứng loại I còn có các phép đặt ẩn phụ khác
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
- GV: Yêu cầu học sinh nhận xét về dạng của hệ
- GV yêu cầu học sinh chia làm 4
- HS: Hệ đối xứng loại I
90 nhóm phân tích và đưa ra các cách làm khác nhau
- GV yêu cầu các nhóm lên trình bày, nhận xét và so sánh các cách giải Cách 2: + ĐKXĐ: + (I) Đặt có hệ Cộng (3) và (4) có Với
Vậy hệ phương trình có nghiệm
Cách 3: + (I) Đặt , có hệ Với làm Cách 1: + ĐKXĐ: + Thế vào (1) có phương trình