Phân tích bài toán là một công việc không thể thiếu khi đi tìm lời giải cho một bài toán. Đó là việc xem xét bài toán đã cho, xem bài toán đó thuộc dạng gì, cần huy động những kiến thức nào, sử dụng phương pháp nào. Phải phân tích cái đã cho cái phải tìm, phân tích mối quan hệ giữa các yếu tố của
38
bài toán để đưa ra lời giải. Phải biết cách nhìn trực tiếp vào đặc điểm chủ yếu của bài toán giúp ta phát hiện đặc điểm cơ bản của bài toán. Tuy vậy lại phải biết nhìn bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ. Phải biết nhìn bài toán trong bối cảnh chung nhưng lại phải biết nhìn bài toán trong từng hoàn cảnh cụ thể. Bên cạnh đó cũng phải biết nhìn bài toán trong mối tương quan với các loại bài toán khác.
Ví dụ. Giải hệ phương trình
(I) Lời giải:
Nhận xét mối quan hệ của các biểu thức có mặt trong phương trình ta có
Khi đó hệ (I) Từ (1) ta có Từ (2) suy ra
Do tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên dương nhỏ hơn 1 ta có
Từ hệ suy ra đẳng thức xảy ra vì hai vế Vậy phải có
39
Bài tập
1) Giải hệ phương trình
HD:
Phân tích hệ đối xứng bậc 5 xây dựng hằng đẳng thức
Thay (1) vào (2) có
Sau đó giải hệ 2) Giải hệ phương trình
HD:
Phân tích: Quan sát hệ có VT(2) là đa thức bậc 5 nếu chúng ta có một đẳng thức đồng bậc có cách giải
Thay (1) vào (2) ta có phương trình
, không phải là nghiệm của hệ Chia hai vế của (*) cho có phương trình
.
2.2.2. Rèn luyện khả năng định hướng và xác định đường lối giải
Theo nội dung của phương pháp tìm lời giải, việc xác định đường lối giải một bài toán trước hết và chủ yếu là phải xác định đúng đắn thể loại bài toán. Muốn làm tốt điều này cần nghiên cứu kỹ bài toán. Các đường lối giải
40
của phần lớn các loại bài toán đã được xác định trong nội dung tri thức về loại toán đó mà người giải toán cần phải biết. Tuy nhiên mỗi bài toán có vẻ riêng biệt của nó .Vì thế ngoài việc nắm vững đường lối chung, người giải lại phải phát hiện đúng cái riêng của mỗi bài toán để chọn một đường lối thích hợp nhất
Trong việc xác định đường lối giải, người giải toán còn phải rèn luyện: - Chuyển đương lối chung để giải một bài toán nào đó dưới dạng tổng quát vào các bài toán cụ thể
- Xác định những bài toán cùng loại, khái quát hóa thành bài toán tổng quát và xây dựng đường lối giải của bài toán đó
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
(I)
Phân tích: (I) (II) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Quan sát các biểu thức có mặt trong hệ phương trình (II) nhận thấy đây là hệ đối xứng với x và y. Như vậy theo đường lối tổng quát ta có cách giải
Lời giải:
Đặt điều kiện ta có hệ
Từ (1) ta có
41
Với suy ra . Giải trường hợp này ta có nghiệm
Với suy ra . Giải trường hợp này ta có nghiệm
(x; y) = ( ), ( )
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm
), ( ).
Ví dụ 2. (ĐH Ngoại Thương –KA99) Giải hệ phương trình
(I)
Định hướng : Hệ (I) là hệ phương trình đối xứng loại 1 với ẩn x, y. Nếu theo phương pháp giải tổng quát đặt thì ta nhận được hệ phức
tạp
Tuy nhiên nếu biến đổi hệ (I)
Quan sát hệ ta có mối quan hệ: = , = +2
Đặt , có hệ là hệ phương trình đối
xứng loại 1 đơn giản Lời giải:
Ta có (I)
42 Khi đó hệ (I) trở thành Với có Với có Vậy hệ có các nghiệm ( Bài tập
1. (ĐH AnNinh-KD 99) Giải hệ phương trình
(I)
HD:
43 Có hệ 2) Giải hệ phương trình (I) HD: (I) Với vô lý vì 3) Giải hệ phương trình (I) HD: Từ hệ có (*)
Trừ vế với vế hai phương trình ta có (**) Từ (*) ta có VT(**)
Do đó (**)
2.2.3. Rèn luyện việc thiết lập một quy trình để thực hiện đường lối giải đã vạch ra
Quy trình để giải một bài toán bao gồm nội dung các công việc cần giải quyết và trình tự để giải quyết các công việc đó. Nếu xem nhẹ khâu này các hậu quả có thể xảy ra là:
- Do không định rõ được các công việc cần làm nên có thể bỏ các công việc cần thiết mà từ đó có thể dẫn đến giải sai
44 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Lời giải bài toán dài dòng không gọn do quy trình không tối ưu
Ví dụ. Cho thỏa mãn hệ phương trình (I)
Tìm mọi giá trị của a sao cho đạt giá trị lớn nhất Bài toán được giải theo quy trình sau:
1) Tìm a để hệ có nghiệm 2) Tìm
3) Tìm a để đạt giá trị lớn nhất Lời giải:
+ Lưu ý rằng , nên hệ đã cho tương
đương với hệ
+ Khi đó theo định lý Viet đảo, điều kiện có nghiệm của hệ (I) chính là điều kiện có nghiệm X của phương trình sau
- (a+1)X+ (*)
Đó là điều kiện
+ Từ biến đổi trên ta thu được:
+ Tìm a với để u = xy đạt GTLN
Nhận xét rằng u = là tam thức bậc 2 có a = . Vì thế có giá trị cực đại và đạt tại a = 1
45
Tuy vây ta không thể kết luận xy đạt GTLN khi vì không thỏa mãn điều kiện
Điều này chứng tỏ nếu bỏ qua công việc thứ nhất của quy trình giải thì dẫn ta đến hậu quả bài toán mắc sai lầm mà không biết
Xét hàm số = với Có = , = 0 Ta có bảng biến thiên a + f’(a) + + 0 - - f (a) 0
Từ bảng biến thiên ta có đạt GTLN = khi a =
Bài tập
Giả sử là nghiệm của hệ (I)
Xác định a để đạt GTNN HD: Các bước thực hiện
+ B1: Tìm a để hệ có nghiệm
Có x, y là các nghiệm của phương trình
Phương trình có nghiệm khi + B2: Tìm
46 + B3: Tìm a để đạt giá trị lớn nhất
Xác định a để hàm số = đạt GTNN với
2.2.4. Rèn luyện khả năng lựa chọn phương pháp và công cụ
Công việc xác định các phương pháp và công cụ cũng như các phép biến đổi mang tính chất kỹ thuật. Tuy vậy công việc này trước hết phải được chỉ dẫn bởi đường lối đã vạch ra và xem xét lựa chọn phương pháp và công cụ thích hợp nhất. Để làm tốt việc này quá trình phân tích và cách nhìn nhận bài toán đóng vai trò rất quan trọng . Xét một cách cụ thể là do bài toán có đặc điểm nào mà từ đó dẫn người giải tới việc chọn lựa phương pháp và công cụ tương ứng với đặc điểm đó. Hiển nhiên là chọn được tối ưu các phương pháp, các công cụ và các phép biến đổi thì lời giải bài toán sẽ tốt nhất.
Ví dụ. Giải hệ phương trình
(I) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nhận xét: (2) là bậc lẻ với x, ta có thể rút x từ (2) thế vào (1) nhận được phương trình giải được
Cách 1:
(2)
Thay vào (1) ta có
47 Có (*) vô nghiệm
Với suy ra thỏa mãn hệ (I) Vậy hệ có
Cách 2:
Nhẩm nghiệm thấy nên ta đặt y = kx Hệ phương trình được viết lại (II) Nhận thấy không phải là nghiệm của hệ Nếu thì hệ vô nghiệm
Với x # 0, k # 1 thì hệ (II)
Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta có phương trình
Vậy hệ có nghiệm
Cách 3:
Nhận thấy: (I) Có lời giải sau
+ Ta nhận thấy . Đặt với
Lấy (2) chia (1) ta được P =
Mặt khác từ (2) có x do . Do đó từ (1) ta tiếp tục có suy ra
48
. Kết hợp với (1) ta được
Vì
Với có suy ra thỏa mãn
Vậy hệ có
Bài tập
Giải hệ phương trình sau (I) HD: Cách 1: Sử dụng phép cộng đại số Lấy có Với có Với có Cách 2: (I) là hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 Đặt có hệ phương trình Với có Với có
2.2.5. Rèn luyện khả năng kiểm tra lời giải của một bài toán
Việc kiểm tra lời giải của một bài toán được tiến hành theo hai bước: định tính và định lượng
49
+ Kiểm tra kết quả về mặt định tính là việc xác định lại tính đúng đắn của việc chọn phương hướng giải, việc chọn lựa phương pháp đã thích hợp hay chưa ? Nếu tìm được sai sót về mặt định tính thì không cần kiểm tra định lượng nữa.
+ Kiểm tra kết quả về mặt định lượng là việc rà soát lại quá trình thao tác đã dùng khi giải bài toán. Khi kiểm tra định lượng để đảm bảo khỏi mắc sai lầm lặp lại ta nên dùng con đương khác với lời giải đã có
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
(I) Lời giải: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Điều kiện xác định: (I)
Vây hệ có nghiệm hoặc
Nhận xét :
Kiểm tra nghiệm hệ đối xứng nếu có nghiệm thì cũng có nghiệm
Ta cũng có thể kiểm tra bằng cách thay cụ thể nghiệm vào hệ.
50 Lời giải:
(1)
Xét + . +3
Thế vào (2) ta có 2
Nhận xét : Sau khi giải xong có thể kiểm tra bằng cách thử lại vào hệ hoặc giải bằng cách khác
Cách khác:
(1)
Xét hàm f (t) = với t . Có f’(t) =3( ) với suy ra f (t) là hàm số đồng biến trên R. Do đó
thế vào (2) ta được 2
Kiểm tra lại hai cách giải trên ta thấy cách giải sau mang tính tổng quát hơn. Như vậy bằng việc kiểm tra thao tác phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài toán và cả kết quả của nó giúp cho học sinh thấy rõ quá trình xảy ra có tính chất quy luật của bài toán. Người giải toán có thể dự đoán được với giả thiết, điều kiện đã cho như vậy thì kết quả sẽ diễn ra như thế nào.
Bên cạnh đó cũng cần kiểm tra việc sử dụng thuật toán và ký hiệu môt cách chính xác , chú ý việc sử dụng các liên từ với ý nghĩa của các phép toán logic như nếu...thì..., cần và đủ, khi và chỉ khi, với mọi...
Ví dụ. Cho hệ phương trình
(I) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất Lời giải:
51
+ Điều kiện cần: Giả sử hệ (I) có nghiệm ( thì suy ra hệ (I) cũng có nghiệm (
Để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là hay
Với thay vào hệ (I) ta có + Điều kiện đủ
Với m = 3 ta có hệ phương trình (II)
Do và |x| nên ta có
Suy ra (II) hệ (II) có nghiệm duy nhất Vậy là giá trị cần tìm
2.3. Biện pháp 3: Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua rèn luyện kỹ năng phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề mới, sáng tạo bài toán mới năng phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề mới, sáng tạo bài toán mới
Như đã phân tích ở chương 1, nét đặc trưng nổi bật của tư duy sáng tạo là tạo ra được cái mới. Qua việc giải hệ thống bài tập được thiết kế chọn lọc, ở đó học sinh được rèn luyện nhiều về khả năng tìm ra hướng đi mới, khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của bài toán). Khả năng phát hiện ra vấn đề và giải quyết vấn đề mới là cực kỳ quan trọng mà ta cần quan tâm bồi dưỡng cho học sinh, khả năng này thể hiện rõ nét nhất là ở chỗ đề xuất được bài toán mới. Ở đây có thể là bài toán hoàn toàn mới, cũng có thể là sự mở rộng, đào sâu những bài bài toán đã biết
2.3.1. Sáng tạo bài toán mới từ bài toán đã có
52 (I) Lời giải:
Ta có u, v là các nghiệm của phương trình: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Suy ra (u; v) = (6; 12) hoặc (12; 6) Vậy hệ có hai nghiệm (6; 12), (12; 6)
Xuất phát từ hệ (I) ta có thể xây dựng được một số bài toán mới như sau
Bài 1: Thay u = , v = có hệ HD:
+ Đặt u = , v = ta có hệ (I) + Giải các phương trình với ẩn
Bài 2: Thay vào hệ (I) ta có hệ
HD:
+ Đặt ta có hệ (I)
+ Giải các hệ phương trình và
53 HD:
+ Đặt điều kiện |u| ta có hệ
(I) + Giải các hệ phương trình và Ví dụ 2. Giải hệ phương trình (II) Lời giải : Ta có (II) Vậy hệ có nghiệm
Xuất phát từ hệ (II) ta có thể xây dựng được một số bài toán mới như sau
Bài toán 1: Thay vào hệ (II) ta có hệ mới
HD:
+ Đặt u = , có hệ (II) + Giải hệ
54 HD:
+ Đặt ta có hệ (II)
+ Giải hệ
Bài toán 3: Thay ta nhận được hệ phương trình mới
HD:
thay vào hệ (3) vô lý suy ra y # 0 ta có
(3) + ta nhận được hệ (II) + Giải hệ Ví dụ 3. Giải hệ (III) Lời giải: Ta có (III)
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm
Xuất phát từ hệ (III) ta có thể xây dựng được một số bài toán mới như sau
Bài toán 1:
55 (1) HD: + Ta có (1) + Đặt ta nhận được hệ (III) + Giải các hệ và Bài toán 2:
Thay ta nhận được hệ phương trình sau
(2) HD: Ta có (2) + Đặt ta nhận được hệ (III) + Giải các hệ phương trình và Ví dụ 4. Giải hệ phương trình (IV) Lời giải: Ta có (IV)
56
Thay ta có bài toán sau (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài toán: Giải hệ phương trình
(*)
HD:
Ta có (*)
+ Đặt ta nhận được hệ (IV)
+ Giải hệ
Bài tập: Rèn luyện giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
1. Giải hệ phương trình HD: Đặt ĐS: 2. Giải hệ phương trình HD: Xét phương trình (1) đặt ĐS:
57 3.Giải hệ phương trình HD: Đặt ĐS: 4. Giải hệ phương trình (I) HD: (I) Đặt 5. Giải hệ phương trình (I) HD: (I) Đặt ĐS: 6. Giải hệ phương trình HD: Đặt ta nhận được hệ
58 7. Giải hệ phương trình
HD: Chia hai vế của phương trình (1) cho , chia hai vế của phương trình (2) cho ta có hệ
Đặt 8. Giải hệ phương trình (I) HD: (I) Đặt ĐS: 2.3.2. Sáng tạo hệ phương trình từ sử dụng các hằng đẳng thức + Sử dụng hằng đẳng thức Ví dụ 1.
+ Chọn lấy ta tạo được hệ phương trình sau
Lời giải:
59 Ta có hệ
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm
Ví dụ 2.
+ Chọn lấy . Ta tạo được hệ phương trình sau (I)
Lời giải: Ta có (I)
Vậy hệ có nghiệm
+) Sử dụng hằng đẳng thức bậc hai biến đổi các phương trình tích
Từ (1) chọn . Ta tạo được hệ phương trình sau
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau
Lời giải:
60 Với có hệ
Với y = 1 ta có
Vậy hệ phương trình có các nghiệm (2; -28), (-2; 4), (1; 1), (
Từ (1) chọn ta có
. Từ đó ta xây dựng được hệ phương trình sau
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(I) Lời giải:
Lấy ta có phương trình
Khi đó hệ (I) tương đương với
61 (III)
+) Sử dụng hằng đẳng thức
Từ (2) chọn ta có phương trình
Từ đó ta tạo được hệ phương trình sau
Ví dụ. Giải hệ phương trình
(I) Lời giải:
Có (2)
Với thay vào (1) ta có phương trình phương trình vô nghiệm
Với thay vào (1) ta có phương trình
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
Bài tập: Sử dụng hằng đẳng thức giải hệ phương trình
1.Giải hệ phương trình
HD: Từ hệ có 2. Giải hệ phương trình
62 3.Giải hệ phương trình
HD: Cộng hai đẳng thức ta thu được
4. Giải hệ phương trình
HD: Thay (1) vào (2) ta được
5. Giải hệ phương trình
HD: Biến đổi (2) 6. Giải hệ phương trình
HD: Cộng hai vế của phương trình ta có
7. (THTT 2009) Giải hệ phương trình
HD: (2)
8. Giải hệ phương trình
63
2.3.3. Sáng tạo hệ phương trình từ sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ Xét hàm số đồng biến |
Chứng minh: Có , 1) suy ra là hàm số
đồng biến
Từ đó ta tạo được hệ phương trình sau:
Lời giải: + ĐKXĐ: + Lấy ta có phương trình Xét hàm số với Có , 1) suy ra là hàm số đồng biến | Nên ta có với Suy ra VT(*)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 2.
+ Xét hàm số với là hàm nghịch biến
do
64 Lời giải: + Từ (2) ta có + Xét hàm số với có là hàm số nghịch biến với t . Khi đó (1) Với thay vào (2) ta có