52 (I) Lời giải:
Ta có u, v là các nghiệm của phương trình:
Suy ra (u; v) = (6; 12) hoặc (12; 6) Vậy hệ có hai nghiệm (6; 12), (12; 6)
Xuất phát từ hệ (I) ta có thể xây dựng được một số bài toán mới như sau
Bài 1: Thay u = , v = có hệ HD:
+ Đặt u = , v = ta có hệ (I) + Giải các phương trình với ẩn
Bài 2: Thay vào hệ (I) ta có hệ
HD:
+ Đặt ta có hệ (I)
+ Giải các hệ phương trình và
53 HD:
+ Đặt điều kiện |u| ta có hệ
(I) + Giải các hệ phương trình và Ví dụ 2. Giải hệ phương trình (II) Lời giải : Ta có (II) Vậy hệ có nghiệm
Xuất phát từ hệ (II) ta có thể xây dựng được một số bài toán mới như sau
Bài toán 1: Thay vào hệ (II) ta có hệ mới
HD:
+ Đặt u = , có hệ (II) + Giải hệ
54 HD:
+ Đặt ta có hệ (II)
+ Giải hệ
Bài toán 3: Thay ta nhận được hệ phương trình mới
HD:
thay vào hệ (3) vô lý suy ra y # 0 ta có
(3) + ta nhận được hệ (II) + Giải hệ Ví dụ 3. Giải hệ (III) Lời giải: Ta có (III)
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm
Xuất phát từ hệ (III) ta có thể xây dựng được một số bài toán mới như sau
Bài toán 1:
55 (1) HD: + Ta có (1) + Đặt ta nhận được hệ (III) + Giải các hệ và Bài toán 2:
Thay ta nhận được hệ phương trình sau
(2) HD: Ta có (2) + Đặt ta nhận được hệ (III) + Giải các hệ phương trình và Ví dụ 4. Giải hệ phương trình (IV) Lời giải: Ta có (IV)
56 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Thay ta có bài toán sau
Bài toán: Giải hệ phương trình
(*)
HD:
Ta có (*)
+ Đặt ta nhận được hệ (IV)
+ Giải hệ
Bài tập: Rèn luyện giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
1. Giải hệ phương trình HD: Đặt ĐS: 2. Giải hệ phương trình HD: Xét phương trình (1) đặt ĐS:
57 3.Giải hệ phương trình HD: Đặt ĐS: 4. Giải hệ phương trình (I) HD: (I) Đặt 5. Giải hệ phương trình (I) HD: (I) Đặt ĐS: 6. Giải hệ phương trình HD: Đặt ta nhận được hệ
58 7. Giải hệ phương trình
HD: Chia hai vế của phương trình (1) cho , chia hai vế của phương trình (2) cho ta có hệ
Đặt 8. Giải hệ phương trình (I) HD: (I) Đặt ĐS: 2.3.2. Sáng tạo hệ phương trình từ sử dụng các hằng đẳng thức + Sử dụng hằng đẳng thức Ví dụ 1.
+ Chọn lấy ta tạo được hệ phương trình sau
Lời giải:
59 Ta có hệ
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm
Ví dụ 2.
+ Chọn lấy . Ta tạo được hệ phương trình sau (I)
Lời giải: Ta có (I)
Vậy hệ có nghiệm
+) Sử dụng hằng đẳng thức bậc hai biến đổi các phương trình tích
Từ (1) chọn . Ta tạo được hệ phương trình sau
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau
Lời giải:
60 Với có hệ
Với y = 1 ta có
Vậy hệ phương trình có các nghiệm (2; -28), (-2; 4), (1; 1), (
Từ (1) chọn ta có
. Từ đó ta xây dựng được hệ phương trình sau (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
(I) Lời giải:
Lấy ta có phương trình
Khi đó hệ (I) tương đương với
61 (III)
+) Sử dụng hằng đẳng thức
Từ (2) chọn ta có phương trình
Từ đó ta tạo được hệ phương trình sau
Ví dụ. Giải hệ phương trình
(I) Lời giải:
Có (2)
Với thay vào (1) ta có phương trình phương trình vô nghiệm
Với thay vào (1) ta có phương trình
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
Bài tập: Sử dụng hằng đẳng thức giải hệ phương trình
1.Giải hệ phương trình
HD: Từ hệ có 2. Giải hệ phương trình
62 3.Giải hệ phương trình
HD: Cộng hai đẳng thức ta thu được
4. Giải hệ phương trình
HD: Thay (1) vào (2) ta được
5. Giải hệ phương trình
HD: Biến đổi (2) 6. Giải hệ phương trình
HD: Cộng hai vế của phương trình ta có
7. (THTT 2009) Giải hệ phương trình
HD: (2)
8. Giải hệ phương trình
63
2.3.3. Sáng tạo hệ phương trình từ sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ví dụ 1.
+ Xét hàm số đồng biến |
Chứng minh: Có , 1) suy ra là hàm số
đồng biến
Từ đó ta tạo được hệ phương trình sau:
Lời giải: + ĐKXĐ: + Lấy ta có phương trình Xét hàm số với Có , 1) suy ra là hàm số đồng biến | Nên ta có với Suy ra VT(*)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 2.
+ Xét hàm số với là hàm nghịch biến
do
64 Lời giải: + Từ (2) ta có + Xét hàm số với có là hàm số nghịch biến với t . Khi đó (1) Với thay vào (2) ta có
Vậy hệ phương trình có nghiệm
Ví dụ 3.
+ Có hàm số là hàm số đồng biến / R + Chứng minh: Có
Suy ra hàm số đồng biến / R + Từ đó ta tạo được hệ phương trình
Lời giải:
+ Ta có (1)
Xét hàm số
Suy ra hàm số đồng biến / R Có (*)
65 Vậy hệ phương trình có các nghiệm
Bài tập: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình
1.(HSG Bến Tre 2010) Giải hệ phương trình
HD: Xét hàm số , là hàm số đồng biến với Hệ đã cho được viết lại suy ra
2.(THTT 2010) Giải hệ phương trình
HD:
không thỏa mãn hệ, suy ra . Chia cả hai vế của (1) cho
Hệ đã cho Xét hàm số đồng biến nên (*) 3. Giải hệ phương trình (I) HD: (I) , cộng vế với vế ta có (*) Xét hàm số đồng biến nên (*)
66 4. Giải phương trình HD: (1) ) ) ) (*) Xét hàm số đồng biến suy ra (*) 5. Giải hệ phương trình HD: (1) (*) Xét hàm số đồng biến suy ra (*) 6. Giải hệ phương trình HD: (1) (*) Xét hàm số đồng biến suy ra (*) 2.3.4. Sáng tạo hệ phương trình từ sử dụng các bất đẳng thức +) Sử dụng tính chất Ví dụ 1. Chọn . Khai triển
Từ đó ta tạo được hệ phương trình
67 Lời giải : (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Lấy ta có phương trình (*)
Nhận xét : do đó VT (*)
Nên (*)
Thay vào hệ (I) thỏa mãn. Vậy hệ (I) có nghiệm
Ví dụ 2.
Chọn . Khai triển
Từ đó ta tạo được hệ phương trình
Lời giải: Lấy (1) - (2) ta có phương trình (*) Nhận xét : . Do đó VT (*) Nên (*)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm +) Mở rộng cho 3 biến
68 Khai triển:
Từ đó ta tạo được hệ phương trình
Lời giải: Lấy (1) + (2) + (3) ta có phương trình
Vậy hệ phương trình có các nghiệm
+) Sử dụng bất đẳng thức Ví dụ 1.
- Bất đẳng thức CôSi : với ta có (I) - Áp dụng (1) ta có dấu đẳng thức xảy ra khi
dấu đẳng thức xảy ra khi
Từ đó ta tạo được hệ phương trình sau
Lời giải:
+ Lấy (1)+(2) ta có phương trình
69 dấu đẳng thức xảy ra khi
Cộng vế với vế ta có VT(*) . Do đó ta có
(*)
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm
Nhận xét : Hệ phương trình trên có thể được giải bằng cách khác
Ví dụ 2.
- BĐT CoSi cho 3 số không âm
Với ta có (II)
dấu đẳng thức xảy ra khi
CM: Bất đẳng thức đã cho tương đương với P =
Ta có (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(đpcm) - Áp dụng (II) ta có
dấu đẳng thức xảy ra khi dấu đẳng thức xảy ra khi Từ đó ta tạo được hệ phương trình
Lời giải:
70 + Áp dụng BĐT CôSi ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi
(***) Dấu đẳng thức xảy ra khi
Từ (**) và (***) suy ra . Do đó (*) tương đương với các dấu
đẳng thức xảy ra hay (*)
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm
Ví dụ 3.
- Sử dụng BĐT (III)
CM:
Ta dễ dàng chứng minh được (*) . Thật vậy
luôn đúng với Từ (*) ta có
Lại có
Nên hay ta có (I) được chứng minh - Áp dụng (III)
71
Với ta có
Từ đó ta tạo được hệ phương trình sau
Lời giải:
+ Lấy ta có phương trình
Ta có
dấu đẳng thức xảy ra khi x=1
Tương tự dấu đẳng thức xảy ra khi y=1
Suy ra
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Với thỏa mãn hệ phương trình đã cho Vậy nghiệm của hệ là
Ví dụ 4.
- BĐT Bunhia-cốpxki đối với bốn số thực (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Với bốn số thực a, b, c, d ta có (IV)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi CM: Ta có luôn đúng - Áp dụng (IV) ta có - Áp dụng BĐT CôSi có 1.
72 Từ đó ta tạo được hệ phương trình
Lời giải:
+ Điều kiện xác định :
+ Nhân hai vế phương trình của hệ ta ta nhận được
Ta có bất đẳng thức: và Dấu đẳng thức xảy ra khi
Suy ra
Do đó (*) dấu đẳng thức xảy ra được
Thay vào hệ phương trình thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm
Ví dụ 5.
Từ ví dụ 4 mở rộng cho 3 biến x, y, z ta tạo được hệ phương trình mới
(I)
Lời giải:
+ Điều kiện xác định:
+ Nhận xét là một nghiệm của hệ (I)
Xét với ít nhất một trong các giá trị ; giả sử như ta có
73 Suy ra mâu thuẫn
Vậy hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất +) Các phương trình có thừa số giống nhau
- Xét hệ có dạng
Chọn các giá trị thích hợp ta tạo được hệ phương trình mới
Ví dụ 1: Chọn , lấy Ta có hệ phương trình (I) Lời giải: + Ta có hệ (I)
+ Nhân vế với vế các phương trình (1), (2), (3) ta có
Từ (1), (2), (3), (4) có hay
Từ (1), (2), (3), (5) có
hay
74
Ví dụ 2.
Giải hệ phương trình
Lời giải: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ Nhân vế với vế các phương trình (1), (2), (3) ta có
+ Với thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 3.
Giải hệ phương trình
(I)
Lời giải:
+ Ta có (I)
+ Nhân vế với vế các phương trình (1), (2), (3) ta có
+ Với thay vào hệ phương trình thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
75
+) Sử dụng tính chất thứ tự xoay vòng Ví dụ 1.
+ Có phương trình
Sử dụng tính chất thứ tự xoay vòng ta tạo được hệ phương trình
Lời giải: Ta có Giả sử
Suy ra
Với thay vào hệ thỏa mãn Vậy hệ có nghiệm duy nhất
Ví dụ 2.
+ Xét hàm số là hàm số đồng biến + Phương trình
Từ đó ta tạo được hệ phương trình hoán vị vòng quanh
Lời giải:
+ ĐKXĐ:
+ Với thay vào hệ thỏa mãn + Với
Xét hàm số có
76 + Với tương tự vô lý
+ Với thỏa mãn hệ, thay vào hệ ta có phương trình
Với ,
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm (0; 0), (1; 1), ((1-√5)/2; (1-√5)/2)
Ví dụ 3.
+ Có với
+ Xét phương trình (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ta tạo được hệ phương trình sau
Lời giải:
+ Giả sử
suy ra ta có + Với ta có phương trình
+ Với thay vào hệ phương trình thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
77
+ Xét hàm số là hàm số đồng biến / R vì
+ Xét phương trình
Ta tạo được hệ phương trình
Lời giải:
+ Xét hàm số có
Do đó hàm số luôn đồng biến / R + Khi đó hệ có dạng
Giả sử
+ Với thế vào (1) có phương trình
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm
Bài tập: Sử dụng BĐT để giải hệ phương trình 1. Giải hệ phương trình
78 + Nếu (2) có vô lý + Nếu (2) có vô lý (TM) 2. (THTT 2010) Giải hệ phương trình HD: Từ ĐKXĐ của hệ và từ (1) suy ra Lấy có phương trình 3. Giải hệ phương trình HD: Lấy (1)+(2) có phương trình (*)
Áp dụng BĐT Cosi ta có VT (*) . Do đó dấu đẳng thức xảy ra được 4. Giải hệ phương trình
HD: Lấy (1)+(2) có phương trình
Áp dụng BĐT CoSi có VT(*) suy ra dấu đẳng thức xảy ra được
79 HD: Lấy (1)+(2) có phương trình
Sử dụng BĐT Bunhia-copxki đánh giá VT , lại có VP . Suy ra dấu các đẳng thức xảy ra được.
6. (THTT 2010) Giải hệ phương trình
HD: Lấy (1)+(2) có phương trình
Sử dụng BĐT Bunhia-copxki đánh giá VT , Lại có VP suy ra dấu các đẳng thức xảy ra được. 7. Giải hệ phương trình
(I)
HD: (I) , sau đó nhân vế với vế các phương trình
8. Giải hệ phương trình (I) HD: (I) Giả sử suy ra 9. Giải hệ phương trình
80 (I) HD: (I) Giả sử Suy ra . 10. Giải hệ phương trình HD: Giả sử . Suy ra 2.4. Một số giáo án thực nghiệm GIÁO ÁN 1
. Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai, hai ẩn (tiết 38) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
I) Mục tiêu
Giúp học sinh
1. Về kiến thức: Nắm được các phương pháp chủ yếu giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn, nhất là hệ phương trình đối xứng
2. Về kỹ năng: Biết cách giải một số dạng hệ phương trình bậc hai hai ẩn, đặc biệt là các hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai, hệ phương trình đối xứng
3. Về thái độ
- Chủ động, tích cực trong học tập -Tư duy vấn đề toán học logic, hệ thống
81
+ Phương pháp dạy học: kết hợp các phương pháp vấn đáp gợi mở, thuyết trình, dạy học hợp tác.
+ Phương tiện: SGK, bảng đen, phấn trắng phấn màu và một số đồ dùng khác
III) Tiến trình dạy học
1. Tổ chức lớp
2. Kiểm tra bài cũ: Nêu cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn? 3. Bài mới
82 - GV đưa ví dụ về hệ gồm một
phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
- GV: yêu cầu học sinh đưa ra cách giải hệ
- GV: có nên rút x từ phương trình (1) thế vào phương trình (2) ? Tại
sao?
- GV khái quát phương pháp giải hệ phương trình bậc hai có chứa một phương trình bậc nhất hai ẩn - HS theo dõi - HS: rút thế vào phương trình (2) Giải: Từ (1) ta có thế vào (2) nhận được phương trình + Với + Với
Vậy hệ đã cho có các nghiệm
- HS: trả lời
(Gợi ý: rút y thế vào tiết kiệm thời gian hơn)
83 - GV đưa ví dụ về hệ phương trình
đối xứng loại 1
Ví dụ 2.
Giải hệ phương trình sau (II) - GV: có nhận xét gì về hệ nếu ta
thay đổi vai trò của và cho nhau?
- GV: các biểu thức có mặt trong hệ có thể biểu diễn theo các biểu thức nào? Từ đó đưa ra cách giải?
- HS: mỗi phương trình của hệ không thay đổi.
- HS: các biểu thức trong hệ đều có thể biểu diễn theo (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giải: ta có hệ phương trình tương đương Đặt với Khi đó (II) trở thành Từ (3) có thay vào (4) nhận được phương trình Với (t/m) ta có hệ Với (t/m) ta có hệ
84 GV nhận xét và sửa chữa sai lầm
nếu có
- GV kết luận nhận dạng và cách giải hệ phương trình đối xứng loại
I
- GV đưa ví dụ về hệ phương trình đối xứng loại II
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau
(III)
- GV chia lớp thành 4 nhóm làm ví dụ 3, sau đó đại diện các nhóm lên
trình bày
- GV phân tích lời giải của học sinh và tổng kết các cách giải Cách 2:
+ ĐKXĐ:
+Hệ (III) tương đương
Vậy hệ có các nghiệm
- HS theo dõi
- HS chia nhóm và tiến hành thảo luận , đưa ra cách giải hệ
Cách 1: + ĐKXĐ:
+ Hệ (III) tương đương
Đặt với
Ta nhận được hệ
85 Vậy hệ có nghiệm Cách 3: (III) Đặt , ta có hệ Với ta có hệ - GV nhận xét cách 1 dài dòng phức tạp nhất, cách 2 đơn giản nhẹ nhàng hơn nhưng cách 3 mang tính
tổng quát. Cần chú ý đặc điểm riêng của từng bài toán - GV cho thêm một ví dụ về sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ giải
hệ
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau
(IV)
- GV yêu cầu học sinh nhận dạng và phân tích đưa ra lời giải