Công việc xác định các phương pháp và công cụ cũng như các phép biến đổi mang tính chất kỹ thuật. Tuy vậy công việc này trước hết phải được chỉ dẫn bởi đường lối đã vạch ra và xem xét lựa chọn phương pháp và công cụ thích hợp nhất. Để làm tốt việc này quá trình phân tích và cách nhìn nhận bài toán đóng vai trò rất quan trọng . Xét một cách cụ thể là do bài toán có đặc điểm nào mà từ đó dẫn người giải tới việc chọn lựa phương pháp và công cụ tương ứng với đặc điểm đó. Hiển nhiên là chọn được tối ưu các phương pháp, các công cụ và các phép biến đổi thì lời giải bài toán sẽ tốt nhất.
Ví dụ. Giải hệ phương trình
(I)
Nhận xét: (2) là bậc lẻ với x, ta có thể rút x từ (2) thế vào (1) nhận được phương trình giải được
Cách 1:
(2)
Thay vào (1) ta có
47 Có (*) vô nghiệm
Với suy ra thỏa mãn hệ (I) Vậy hệ có
Cách 2:
Nhẩm nghiệm thấy nên ta đặt y = kx Hệ phương trình được viết lại (II) Nhận thấy không phải là nghiệm của hệ Nếu thì hệ vô nghiệm
Với x # 0, k # 1 thì hệ (II)
Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta có phương trình
Vậy hệ có nghiệm
Cách 3:
Nhận thấy: (I) Có lời giải sau
+ Ta nhận thấy . Đặt với
Lấy (2) chia (1) ta được P =
Mặt khác từ (2) có x do . Do đó từ (1) ta tiếp tục có suy ra
48
. Kết hợp với (1) ta được
Vì
Với có suy ra thỏa mãn
Vậy hệ có
Bài tập
Giải hệ phương trình sau (I) HD: Cách 1: Sử dụng phép cộng đại số Lấy có Với có Với có Cách 2: (I) là hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 Đặt có hệ phương trình Với có Với có
2.2.5. Rèn luyện khả năng kiểm tra lời giải của một bài toán
Việc kiểm tra lời giải của một bài toán được tiến hành theo hai bước: định tính và định lượng
49
+ Kiểm tra kết quả về mặt định tính là việc xác định lại tính đúng đắn của việc chọn phương hướng giải, việc chọn lựa phương pháp đã thích hợp hay chưa ? Nếu tìm được sai sót về mặt định tính thì không cần kiểm tra định lượng nữa.
+ Kiểm tra kết quả về mặt định lượng là việc rà soát lại quá trình thao tác đã dùng khi giải bài toán. Khi kiểm tra định lượng để đảm bảo khỏi mắc sai lầm lặp lại ta nên dùng con đương khác với lời giải đã có
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
(I) Lời giải:
Điều kiện xác định: (I)
Vây hệ có nghiệm hoặc
Nhận xét :
Kiểm tra nghiệm hệ đối xứng nếu có nghiệm thì cũng có nghiệm
Ta cũng có thể kiểm tra bằng cách thay cụ thể nghiệm vào hệ.
50 Lời giải:
(1)
Xét + . +3
Thế vào (2) ta có 2
Nhận xét : Sau khi giải xong có thể kiểm tra bằng cách thử lại vào hệ hoặc giải bằng cách khác
Cách khác:
(1)
Xét hàm f (t) = với t . Có f’(t) =3( ) với suy ra f (t) là hàm số đồng biến trên R. Do đó
thế vào (2) ta được 2
Kiểm tra lại hai cách giải trên ta thấy cách giải sau mang tính tổng quát hơn. Như vậy bằng việc kiểm tra thao tác phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài toán và cả kết quả của nó giúp cho học sinh thấy rõ quá trình xảy ra có tính chất quy luật của bài toán. Người giải toán có thể dự đoán được với giả thiết, điều kiện đã cho như vậy thì kết quả sẽ diễn ra như thế nào.
Bên cạnh đó cũng cần kiểm tra việc sử dụng thuật toán và ký hiệu môt cách chính xác , chú ý việc sử dụng các liên từ với ý nghĩa của các phép toán logic như nếu...thì..., cần và đủ, khi và chỉ khi, với mọi...
Ví dụ. Cho hệ phương trình
(I) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất Lời giải:
51
+ Điều kiện cần: Giả sử hệ (I) có nghiệm ( thì suy ra hệ (I) cũng có nghiệm (
Để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là hay
Với thay vào hệ (I) ta có + Điều kiện đủ
Với m = 3 ta có hệ phương trình (II)
Do và |x| nên ta có
Suy ra (II) hệ (II) có nghiệm duy nhất Vậy là giá trị cần tìm
2.3. Biện pháp 3: Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua rèn luyện kỹ năng phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề mới, sáng tạo bài toán mới năng phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề mới, sáng tạo bài toán mới
Như đã phân tích ở chương 1, nét đặc trưng nổi bật của tư duy sáng tạo là tạo ra được cái mới. Qua việc giải hệ thống bài tập được thiết kế chọn lọc, ở đó học sinh được rèn luyện nhiều về khả năng tìm ra hướng đi mới, khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của bài toán). Khả năng phát hiện ra vấn đề và giải quyết vấn đề mới là cực kỳ quan trọng mà ta cần quan tâm bồi dưỡng cho học sinh, khả năng này thể hiện rõ nét nhất là ở chỗ đề xuất được bài toán mới. Ở đây có thể là bài toán hoàn toàn mới, cũng có thể là sự mở rộng, đào sâu những bài bài toán đã biết
2.3.1. Sáng tạo bài toán mới từ bài toán đã có
52 (I) Lời giải:
Ta có u, v là các nghiệm của phương trình:
Suy ra (u; v) = (6; 12) hoặc (12; 6) Vậy hệ có hai nghiệm (6; 12), (12; 6)
Xuất phát từ hệ (I) ta có thể xây dựng được một số bài toán mới như sau
Bài 1: Thay u = , v = có hệ HD:
+ Đặt u = , v = ta có hệ (I) + Giải các phương trình với ẩn
Bài 2: Thay vào hệ (I) ta có hệ
HD:
+ Đặt ta có hệ (I)
+ Giải các hệ phương trình và
53 HD:
+ Đặt điều kiện |u| ta có hệ
(I) + Giải các hệ phương trình và Ví dụ 2. Giải hệ phương trình (II) Lời giải : Ta có (II) Vậy hệ có nghiệm
Xuất phát từ hệ (II) ta có thể xây dựng được một số bài toán mới như sau
Bài toán 1: Thay vào hệ (II) ta có hệ mới
HD:
+ Đặt u = , có hệ (II) + Giải hệ
54 HD:
+ Đặt ta có hệ (II)
+ Giải hệ
Bài toán 3: Thay ta nhận được hệ phương trình mới
HD:
thay vào hệ (3) vô lý suy ra y # 0 ta có
(3) + ta nhận được hệ (II) + Giải hệ Ví dụ 3. Giải hệ (III) Lời giải: Ta có (III)
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm
Xuất phát từ hệ (III) ta có thể xây dựng được một số bài toán mới như sau
Bài toán 1:
55 (1) HD: + Ta có (1) + Đặt ta nhận được hệ (III) + Giải các hệ và Bài toán 2:
Thay ta nhận được hệ phương trình sau
(2) HD: Ta có (2) + Đặt ta nhận được hệ (III) + Giải các hệ phương trình và Ví dụ 4. Giải hệ phương trình (IV) Lời giải: Ta có (IV)
56
Thay ta có bài toán sau
Bài toán: Giải hệ phương trình
(*)
HD:
Ta có (*)
+ Đặt ta nhận được hệ (IV)
+ Giải hệ
Bài tập: Rèn luyện giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
1. Giải hệ phương trình HD: Đặt ĐS: 2. Giải hệ phương trình HD: Xét phương trình (1) đặt ĐS:
57 3.Giải hệ phương trình HD: Đặt ĐS: 4. Giải hệ phương trình (I) HD: (I) Đặt 5. Giải hệ phương trình (I) HD: (I) Đặt ĐS: 6. Giải hệ phương trình HD: Đặt ta nhận được hệ
58 7. Giải hệ phương trình
HD: Chia hai vế của phương trình (1) cho , chia hai vế của phương trình (2) cho ta có hệ
Đặt 8. Giải hệ phương trình (I) HD: (I) Đặt ĐS: 2.3.2. Sáng tạo hệ phương trình từ sử dụng các hằng đẳng thức + Sử dụng hằng đẳng thức Ví dụ 1.
+ Chọn lấy ta tạo được hệ phương trình sau
Lời giải:
59 Ta có hệ
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm
Ví dụ 2.
+ Chọn lấy . Ta tạo được hệ phương trình sau (I)
Lời giải: Ta có (I)
Vậy hệ có nghiệm
+) Sử dụng hằng đẳng thức bậc hai biến đổi các phương trình tích
Từ (1) chọn . Ta tạo được hệ phương trình sau
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau
Lời giải:
60 Với có hệ
Với y = 1 ta có
Vậy hệ phương trình có các nghiệm (2; -28), (-2; 4), (1; 1), (
Từ (1) chọn ta có
. Từ đó ta xây dựng được hệ phương trình sau
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
(I) Lời giải:
Lấy ta có phương trình
Khi đó hệ (I) tương đương với
61 (III)
+) Sử dụng hằng đẳng thức
Từ (2) chọn ta có phương trình
Từ đó ta tạo được hệ phương trình sau
Ví dụ. Giải hệ phương trình
(I) Lời giải:
Có (2)
Với thay vào (1) ta có phương trình phương trình vô nghiệm
Với thay vào (1) ta có phương trình
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
Bài tập: Sử dụng hằng đẳng thức giải hệ phương trình
1.Giải hệ phương trình
HD: Từ hệ có 2. Giải hệ phương trình
62 3.Giải hệ phương trình
HD: Cộng hai đẳng thức ta thu được
4. Giải hệ phương trình
HD: Thay (1) vào (2) ta được
5. Giải hệ phương trình
HD: Biến đổi (2) 6. Giải hệ phương trình
HD: Cộng hai vế của phương trình ta có
7. (THTT 2009) Giải hệ phương trình
HD: (2)
8. Giải hệ phương trình
63
2.3.3. Sáng tạo hệ phương trình từ sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1.
+ Xét hàm số đồng biến |
Chứng minh: Có , 1) suy ra là hàm số
đồng biến
Từ đó ta tạo được hệ phương trình sau:
Lời giải: + ĐKXĐ: + Lấy ta có phương trình Xét hàm số với Có , 1) suy ra là hàm số đồng biến | Nên ta có với Suy ra VT(*)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 2.
+ Xét hàm số với là hàm nghịch biến
do
64 Lời giải: + Từ (2) ta có + Xét hàm số với có là hàm số nghịch biến với t . Khi đó (1) Với thay vào (2) ta có
Vậy hệ phương trình có nghiệm
Ví dụ 3.
+ Có hàm số là hàm số đồng biến / R + Chứng minh: Có
Suy ra hàm số đồng biến / R + Từ đó ta tạo được hệ phương trình
Lời giải:
+ Ta có (1)
Xét hàm số
Suy ra hàm số đồng biến / R Có (*)
65 Vậy hệ phương trình có các nghiệm
Bài tập: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình
1.(HSG Bến Tre 2010) Giải hệ phương trình
HD: Xét hàm số , là hàm số đồng biến với Hệ đã cho được viết lại suy ra
2.(THTT 2010) Giải hệ phương trình
HD:
không thỏa mãn hệ, suy ra . Chia cả hai vế của (1) cho
Hệ đã cho Xét hàm số đồng biến nên (*) 3. Giải hệ phương trình (I) HD: (I) , cộng vế với vế ta có (*) Xét hàm số đồng biến nên (*)
66 4. Giải phương trình HD: (1) ) ) ) (*) Xét hàm số đồng biến suy ra (*) 5. Giải hệ phương trình HD: (1) (*) Xét hàm số đồng biến suy ra (*) 6. Giải hệ phương trình HD: (1) (*) Xét hàm số đồng biến suy ra (*) 2.3.4. Sáng tạo hệ phương trình từ sử dụng các bất đẳng thức +) Sử dụng tính chất Ví dụ 1. Chọn . Khai triển
Từ đó ta tạo được hệ phương trình
67 Lời giải :
Lấy ta có phương trình (*)
Nhận xét : do đó VT (*)
Nên (*)
Thay vào hệ (I) thỏa mãn. Vậy hệ (I) có nghiệm
Ví dụ 2.
Chọn . Khai triển
Từ đó ta tạo được hệ phương trình
Lời giải: Lấy (1) - (2) ta có phương trình (*) Nhận xét : . Do đó VT (*) Nên (*)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm +) Mở rộng cho 3 biến
68 Khai triển:
Từ đó ta tạo được hệ phương trình
Lời giải: Lấy (1) + (2) + (3) ta có phương trình
Vậy hệ phương trình có các nghiệm
+) Sử dụng bất đẳng thức Ví dụ 1.
- Bất đẳng thức CôSi : với ta có (I) - Áp dụng (1) ta có dấu đẳng thức xảy ra khi
dấu đẳng thức xảy ra khi
Từ đó ta tạo được hệ phương trình sau
Lời giải:
+ Lấy (1)+(2) ta có phương trình
69 dấu đẳng thức xảy ra khi
Cộng vế với vế ta có VT(*) . Do đó ta có
(*)
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm
Nhận xét : Hệ phương trình trên có thể được giải bằng cách khác
Ví dụ 2.
- BĐT CoSi cho 3 số không âm
Với ta có (II)
dấu đẳng thức xảy ra khi
CM: Bất đẳng thức đã cho tương đương với P =
Ta có
(đpcm) - Áp dụng (II) ta có
dấu đẳng thức xảy ra khi dấu đẳng thức xảy ra khi Từ đó ta tạo được hệ phương trình
Lời giải:
70 + Áp dụng BĐT CôSi ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi
(***) Dấu đẳng thức xảy ra khi
Từ (**) và (***) suy ra . Do đó (*) tương đương với các dấu
đẳng thức xảy ra hay (*)
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm
Ví dụ 3.
- Sử dụng BĐT (III)
CM:
Ta dễ dàng chứng minh được (*) . Thật vậy
luôn đúng với Từ (*) ta có
Lại có
Nên hay ta có (I) được chứng minh - Áp dụng (III)
71
Với ta có
Từ đó ta tạo được hệ phương trình sau
Lời giải:
+ Lấy ta có phương trình
Ta có
dấu đẳng thức xảy ra khi x=1
Tương tự dấu đẳng thức xảy ra khi y=1
Suy ra
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Với thỏa mãn hệ phương trình đã cho Vậy nghiệm của hệ là
Ví dụ 4.
- BĐT Bunhia-cốpxki đối với bốn số thực
Với bốn số thực a, b, c, d ta có (IV)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi CM: Ta có luôn đúng - Áp dụng (IV) ta có - Áp dụng BĐT CôSi có 1.
72 Từ đó ta tạo được hệ phương trình
Lời giải:
+ Điều kiện xác định :
+ Nhân hai vế phương trình của hệ ta ta nhận được
Ta có bất đẳng thức: và Dấu đẳng thức xảy ra khi
Suy ra
Do đó (*) dấu đẳng thức xảy ra được
Thay vào hệ phương trình thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm
Ví dụ 5.
Từ ví dụ 4 mở rộng cho 3 biến x, y, z ta tạo được hệ phương trình mới
(I)
Lời giải:
+ Điều kiện xác định:
+ Nhận xét là một nghiệm của hệ (I)
Xét với ít nhất một trong các giá trị ; giả sử như ta có
73 Suy ra mâu thuẫn
Vậy hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất +) Các phương trình có thừa số giống nhau
- Xét hệ có dạng
Chọn các giá trị thích hợp ta tạo được hệ phương trình mới
Ví dụ 1: Chọn , lấy Ta có hệ phương trình (I) Lời giải: + Ta có hệ (I)
+ Nhân vế với vế các phương trình (1), (2), (3) ta có
Từ (1), (2), (3), (4) có hay
Từ (1), (2), (3), (5) có
hay
74
Ví dụ 2.
Giải hệ phương trình
Lời giải:
+ Nhân vế với vế các phương trình (1), (2), (3) ta có
+ Với thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 3.
Giải hệ phương trình
(I)
Lời giải:
+ Ta có (I)
+ Nhân vế với vế các phương trình (1), (2), (3) ta có
+ Với thay vào hệ phương trình thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
75
+) Sử dụng tính chất thứ tự xoay vòng Ví dụ 1.
+ Có phương trình
Sử dụng tính chất thứ tự xoay vòng ta tạo được hệ phương trình
Lời giải: Ta có Giả sử
Suy ra
Với thay vào hệ thỏa mãn Vậy hệ có nghiệm duy nhất
Ví dụ 2.
+ Xét hàm số là hàm số đồng biến + Phương trình
Từ đó ta tạo được hệ phương trình hoán vị vòng quanh
Lời giải:
+ ĐKXĐ:
+ Với thay vào hệ thỏa mãn + Với
Xét hàm số có
76 + Với tương tự vô lý
+ Với thỏa mãn hệ, thay vào hệ ta có phương trình
Với ,
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm (0; 0), (1; 1), ((1-√5)/2; (1-√5)/2)
Ví dụ 3.
+ Có với
+ Xét phương trình
Ta tạo được hệ phương trình sau
Lời giải:
+ Giả sử
suy ra ta có