Rèn luyện khả năng lựa chọn phương pháp và công cụ

Công việc xác định các phương pháp và công cụ cũng như các phép biến đổi mang tính chất kỹ thuật. Tuy vậy công việc này trước hết phải được chỉ dẫn bởi đường lối đã vạch ra và xem xét lựa chọn phương pháp và công cụ thích hợp nhất. Để làm tốt việc này quá trình phân tích và cách nhìn nhận bài toán đóng vai trò rất quan trọng . Xét một cách cụ thể là do bài toán có đặc điểm nào mà từ đó dẫn người giải tới việc chọn lựa phương pháp và công cụ tương ứng với đặc điểm đó. Hiển nhiên là chọn được tối ưu các phương pháp, các công cụ và các phép biến đổi thì lời giải bài toán sẽ tốt nhất.

Ví dụ. Giải hệ phương trình

(I)

Nhận xét: (2) là bậc lẻ với x, ta có thể rút x từ (2) thế vào (1) nhận được phương trình giải được

Cách 1:

(2)

Thay vào (1) ta có

47 Có (*) vô nghiệm

Với suy ra thỏa mãn hệ (I) Vậy hệ có

Cách 2:

Nhẩm nghiệm thấy nên ta đặt y = kx Hệ phương trình được viết lại (II) Nhận thấy không phải là nghiệm của hệ Nếu thì hệ vô nghiệm

Với x # 0, k # 1 thì hệ (II)

Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta có phương trình

Vậy hệ có nghiệm

Cách 3:

Nhận thấy: (I) Có lời giải sau

+ Ta nhận thấy . Đặt với

Lấy (2) chia (1) ta được P =

Mặt khác từ (2) có x do . Do đó từ (1) ta tiếp tục có suy ra

48

. Kết hợp với (1) ta được

Vì

Với có suy ra thỏa mãn

Vậy hệ có

Bài tập

Giải hệ phương trình sau (I) HD: Cách 1: Sử dụng phép cộng đại số Lấy có Với có Với có Cách 2: (I) là hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 Đặt có hệ phương trình Với có Với có

2.2.5. Rèn luyện khả năng kiểm tra lời giải của một bài toán

Việc kiểm tra lời giải của một bài toán được tiến hành theo hai bước: định tính và định lượng

49

+ Kiểm tra kết quả về mặt định tính là việc xác định lại tính đúng đắn của việc chọn phương hướng giải, việc chọn lựa phương pháp đã thích hợp hay chưa ? Nếu tìm được sai sót về mặt định tính thì không cần kiểm tra định lượng nữa.

+ Kiểm tra kết quả về mặt định lượng là việc rà soát lại quá trình thao tác đã dùng khi giải bài toán. Khi kiểm tra định lượng để đảm bảo khỏi mắc sai lầm lặp lại ta nên dùng con đương khác với lời giải đã có (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình

(I) Lời giải:

Điều kiện xác định: (I)

Vây hệ có nghiệm hoặc

Nhận xét :

Kiểm tra nghiệm hệ đối xứng nếu có nghiệm thì cũng có nghiệm

Ta cũng có thể kiểm tra bằng cách thay cụ thể nghiệm vào hệ.

50 Lời giải:

(1)

Xét + . +3

Thế vào (2) ta có 2

Nhận xét : Sau khi giải xong có thể kiểm tra bằng cách thử lại vào hệ hoặc giải bằng cách khác

Cách khác:

(1)

Xét hàm f (t) = với t . Có f’(t) =3( ) với suy ra f (t) là hàm số đồng biến trên R. Do đó

thế vào (2) ta được 2

Kiểm tra lại hai cách giải trên ta thấy cách giải sau mang tính tổng quát hơn. Như vậy bằng việc kiểm tra thao tác phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài toán và cả kết quả của nó giúp cho học sinh thấy rõ quá trình xảy ra có tính chất quy luật của bài toán. Người giải toán có thể dự đoán được với giả thiết, điều kiện đã cho như vậy thì kết quả sẽ diễn ra như thế nào.

Bên cạnh đó cũng cần kiểm tra việc sử dụng thuật toán và ký hiệu môt cách chính xác , chú ý việc sử dụng các liên từ với ý nghĩa của các phép toán logic như nếu...thì..., cần và đủ, khi và chỉ khi, với mọi...

Ví dụ. Cho hệ phương trình

(I) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất Lời giải:

51

+ Điều kiện cần: Giả sử hệ (I) có nghiệm ( thì suy ra hệ (I) cũng có nghiệm (

Để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là hay

Với thay vào hệ (I) ta có + Điều kiện đủ

Với m = 3 ta có hệ phương trình (II)

Do và |x| nên ta có

Suy ra (II) hệ (II) có nghiệm duy nhất Vậy là giá trị cần tìm

2.3. Biện pháp 3: Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua rèn luyện kỹ năng phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề mới, sáng tạo bài toán mới năng phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề mới, sáng tạo bài toán mới

Như đã phân tích ở chương 1, nét đặc trưng nổi bật của tư duy sáng tạo là tạo ra được cái mới. Qua việc giải hệ thống bài tập được thiết kế chọn lọc, ở đó học sinh được rèn luyện nhiều về khả năng tìm ra hướng đi mới, khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của bài toán). Khả năng phát hiện ra vấn đề và giải quyết vấn đề mới là cực kỳ quan trọng mà ta cần quan tâm bồi dưỡng cho học sinh, khả năng này thể hiện rõ nét nhất là ở chỗ đề xuất được bài toán mới. Ở đây có thể là bài toán hoàn toàn mới, cũng có thể là sự mở rộng, đào sâu những bài bài toán đã biết

2.3.1. Sáng tạo bài toán mới từ bài toán đã có (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

52 (I) Lời giải:

Ta có u, v là các nghiệm của phương trình:

Suy ra (u; v) = (6; 12) hoặc (12; 6) Vậy hệ có hai nghiệm (6; 12), (12; 6)

Xuất phát từ hệ (I) ta có thể xây dựng được một số bài toán mới như sau

Bài 1: Thay u = , v = có hệ HD:

+ Đặt u = , v = ta có hệ (I) + Giải các phương trình với ẩn

Bài 2: Thay vào hệ (I) ta có hệ

HD:

+ Đặt ta có hệ (I)

+ Giải các hệ phương trình và

53 HD:

+ Đặt điều kiện |u| ta có hệ

(I) + Giải các hệ phương trình và Ví dụ 2. Giải hệ phương trình (II) Lời giải : Ta có (II) Vậy hệ có nghiệm

Xuất phát từ hệ (II) ta có thể xây dựng được một số bài toán mới như sau

Bài toán 1: Thay vào hệ (II) ta có hệ mới

HD:

+ Đặt u = , có hệ (II) + Giải hệ

54 HD:

+ Đặt ta có hệ (II)

+ Giải hệ

Bài toán 3: Thay ta nhận được hệ phương trình mới

HD:

thay vào hệ (3) vô lý suy ra y # 0 ta có

(3) + ta nhận được hệ (II) + Giải hệ Ví dụ 3. Giải hệ (III) Lời giải: Ta có (III)

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm

Xuất phát từ hệ (III) ta có thể xây dựng được một số bài toán mới như sau

Bài toán 1:

55 (1) HD: + Ta có (1) + Đặt ta nhận được hệ (III) + Giải các hệ và Bài toán 2:

Thay ta nhận được hệ phương trình sau

(2) HD: Ta có (2) + Đặt ta nhận được hệ (III) + Giải các hệ phương trình và Ví dụ 4. Giải hệ phương trình (IV) Lời giải: Ta có (IV) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

56

Thay ta có bài toán sau

Bài toán: Giải hệ phương trình

(*)

HD:

Ta có (*)

+ Đặt ta nhận được hệ (IV)

+ Giải hệ

Bài tập: Rèn luyện giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

1. Giải hệ phương trình HD: Đặt ĐS: 2. Giải hệ phương trình HD: Xét phương trình (1) đặt ĐS:

57 3.Giải hệ phương trình HD: Đặt ĐS: 4. Giải hệ phương trình (I) HD: (I) Đặt 5. Giải hệ phương trình (I) HD: (I) Đặt ĐS: 6. Giải hệ phương trình HD: Đặt ta nhận được hệ

58 7. Giải hệ phương trình

HD: Chia hai vế của phương trình (1) cho , chia hai vế của phương trình (2) cho ta có hệ

Đặt 8. Giải hệ phương trình (I) HD: (I) Đặt ĐS: 2.3.2. Sáng tạo hệ phương trình từ sử dụng các hằng đẳng thức + Sử dụng hằng đẳng thức Ví dụ 1.

+ Chọn lấy ta tạo được hệ phương trình sau

Lời giải:

59 Ta có hệ

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm

Ví dụ 2.

+ Chọn lấy . Ta tạo được hệ phương trình sau (I)

Lời giải: Ta có (I)

Vậy hệ có nghiệm

+) Sử dụng hằng đẳng thức bậc hai biến đổi các phương trình tích

Từ (1) chọn . Ta tạo được hệ phương trình sau

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau

Lời giải:

60 Với có hệ

Với y = 1 ta có

Vậy hệ phương trình có các nghiệm (2; -28), (-2; 4), (1; 1), (

Từ (1) chọn ta có (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

. Từ đó ta xây dựng được hệ phương trình sau

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình

(I) Lời giải:

Lấy ta có phương trình

Khi đó hệ (I) tương đương với

61 (III)

+) Sử dụng hằng đẳng thức

Từ (2) chọn ta có phương trình

Từ đó ta tạo được hệ phương trình sau

Ví dụ. Giải hệ phương trình

(I) Lời giải:

Có (2)

Với thay vào (1) ta có phương trình phương trình vô nghiệm

Với thay vào (1) ta có phương trình

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

Bài tập: Sử dụng hằng đẳng thức giải hệ phương trình

1.Giải hệ phương trình

HD: Từ hệ có 2. Giải hệ phương trình

62 3.Giải hệ phương trình

HD: Cộng hai đẳng thức ta thu được

4. Giải hệ phương trình

HD: Thay (1) vào (2) ta được

5. Giải hệ phương trình

HD: Biến đổi (2) 6. Giải hệ phương trình

HD: Cộng hai vế của phương trình ta có

7. (THTT 2009) Giải hệ phương trình

HD: (2)

8. Giải hệ phương trình

63 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

2.3.3. Sáng tạo hệ phương trình từ sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1.

+ Xét hàm số đồng biến |

Chứng minh: Có , 1) suy ra là hàm số

đồng biến

Từ đó ta tạo được hệ phương trình sau:

Lời giải: + ĐKXĐ: + Lấy ta có phương trình Xét hàm số với Có , 1) suy ra là hàm số đồng biến | Nên ta có với Suy ra VT(*)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 2.

+ Xét hàm số với là hàm nghịch biến

do

64 Lời giải: + Từ (2) ta có + Xét hàm số với có là hàm số nghịch biến với t . Khi đó (1) Với thay vào (2) ta có

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Ví dụ 3.

+ Có hàm số là hàm số đồng biến / R + Chứng minh: Có

Suy ra hàm số đồng biến / R + Từ đó ta tạo được hệ phương trình

Lời giải:

+ Ta có (1)

Xét hàm số

Suy ra hàm số đồng biến / R Có (*)

65 Vậy hệ phương trình có các nghiệm

Bài tập: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình

1.(HSG Bến Tre 2010) Giải hệ phương trình

HD: Xét hàm số , là hàm số đồng biến với Hệ đã cho được viết lại suy ra

2.(THTT 2010) Giải hệ phương trình

HD:

không thỏa mãn hệ, suy ra . Chia cả hai vế của (1) cho

Hệ đã cho Xét hàm số đồng biến nên (*) 3. Giải hệ phương trình (I) HD: (I) , cộng vế với vế ta có (*) Xét hàm số đồng biến nên (*)

66 4. Giải phương trình HD: (1) ) ) ) (*) Xét hàm số đồng biến suy ra (*) 5. Giải hệ phương trình HD: (1) (*) Xét hàm số đồng biến suy ra (*) 6. Giải hệ phương trình HD: (1) (*) Xét hàm số đồng biến suy ra (*) 2.3.4. Sáng tạo hệ phương trình từ sử dụng các bất đẳng thức +) Sử dụng tính chất Ví dụ 1. Chọn . Khai triển

Từ đó ta tạo được hệ phương trình (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

67 Lời giải :

Lấy ta có phương trình (*)

Nhận xét : do đó VT (*)

Nên (*)

Thay vào hệ (I) thỏa mãn. Vậy hệ (I) có nghiệm

Ví dụ 2.

Chọn . Khai triển

Từ đó ta tạo được hệ phương trình

Lời giải: Lấy (1) - (2) ta có phương trình (*) Nhận xét : . Do đó VT (*) Nên (*)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm +) Mở rộng cho 3 biến

68 Khai triển:

Từ đó ta tạo được hệ phương trình

Lời giải: Lấy (1) + (2) + (3) ta có phương trình

Vậy hệ phương trình có các nghiệm

+) Sử dụng bất đẳng thức Ví dụ 1.

- Bất đẳng thức CôSi : với ta có (I) - Áp dụng (1) ta có dấu đẳng thức xảy ra khi

dấu đẳng thức xảy ra khi

Từ đó ta tạo được hệ phương trình sau

Lời giải:

+ Lấy (1)+(2) ta có phương trình

69 dấu đẳng thức xảy ra khi

Cộng vế với vế ta có VT(*) . Do đó ta có

(*)

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm

Nhận xét : Hệ phương trình trên có thể được giải bằng cách khác

Ví dụ 2.

- BĐT CoSi cho 3 số không âm

Với ta có (II)

dấu đẳng thức xảy ra khi

CM: Bất đẳng thức đã cho tương đương với P = (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Ta có

(đpcm) - Áp dụng (II) ta có

dấu đẳng thức xảy ra khi dấu đẳng thức xảy ra khi Từ đó ta tạo được hệ phương trình

Lời giải:

70 + Áp dụng BĐT CôSi ta có

Dấu đẳng thức xảy ra khi

(***) Dấu đẳng thức xảy ra khi

Từ (**) và (***) suy ra . Do đó (*) tương đương với các dấu

đẳng thức xảy ra hay (*)

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm

Ví dụ 3.

- Sử dụng BĐT (III)

CM:

Ta dễ dàng chứng minh được (*) . Thật vậy

luôn đúng với Từ (*) ta có

Lại có

Nên hay ta có (I) được chứng minh - Áp dụng (III)

71

Với ta có

Từ đó ta tạo được hệ phương trình sau

Lời giải:

+ Lấy ta có phương trình

Ta có

dấu đẳng thức xảy ra khi x=1

Tương tự dấu đẳng thức xảy ra khi y=1

Suy ra

Dấu đẳng thức xảy ra khi

Với thỏa mãn hệ phương trình đã cho Vậy nghiệm của hệ là

Ví dụ 4. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

- BĐT Bunhia-cốpxki đối với bốn số thực

Với bốn số thực a, b, c, d ta có (IV)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi CM: Ta có luôn đúng - Áp dụng (IV) ta có - Áp dụng BĐT CôSi có 1.

72 Từ đó ta tạo được hệ phương trình

Lời giải:

+ Điều kiện xác định :

+ Nhân hai vế phương trình của hệ ta ta nhận được

Ta có bất đẳng thức: và Dấu đẳng thức xảy ra khi

Suy ra

Do đó (*) dấu đẳng thức xảy ra được

Thay vào hệ phương trình thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm

Ví dụ 5.

Từ ví dụ 4 mở rộng cho 3 biến x, y, z ta tạo được hệ phương trình mới

(I)

Lời giải:

+ Điều kiện xác định:

+ Nhận xét là một nghiệm của hệ (I)

Xét với ít nhất một trong các giá trị ; giả sử như ta có

73 Suy ra mâu thuẫn

Vậy hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất +) Các phương trình có thừa số giống nhau

- Xét hệ có dạng

Chọn các giá trị thích hợp ta tạo được hệ phương trình mới

Ví dụ 1: Chọn , lấy Ta có hệ phương trình (I) Lời giải: + Ta có hệ (I)

+ Nhân vế với vế các phương trình (1), (2), (3) ta có

Từ (1), (2), (3), (4) có hay

Từ (1), (2), (3), (5) có

hay

74

Ví dụ 2.

Giải hệ phương trình (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Lời giải:

+ Nhân vế với vế các phương trình (1), (2), (3) ta có

+ Với thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 3.

Giải hệ phương trình

(I)

Lời giải:

+ Ta có (I)

+ Nhân vế với vế các phương trình (1), (2), (3) ta có

+ Với thay vào hệ phương trình thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

75

+) Sử dụng tính chất thứ tự xoay vòng Ví dụ 1.

+ Có phương trình

Sử dụng tính chất thứ tự xoay vòng ta tạo được hệ phương trình

Lời giải: Ta có Giả sử

Suy ra

Với thay vào hệ thỏa mãn Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Ví dụ 2.

+ Xét hàm số là hàm số đồng biến + Phương trình

Từ đó ta tạo được hệ phương trình hoán vị vòng quanh

Lời giải:

+ ĐKXĐ:

+ Với thay vào hệ thỏa mãn + Với

Xét hàm số có

76 + Với tương tự vô lý

+ Với thỏa mãn hệ, thay vào hệ ta có phương trình

Với ,

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm (0; 0), (1; 1), ((1-√5)/2; (1-√5)/2)

Ví dụ 3.

+ Có với (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

+ Xét phương trình

Ta tạo được hệ phương trình sau

Lời giải:

+ Giả sử

suy ra ta có