Những phân tích với kênh fading chậm ở phần tr-ớc có thể đ-ợc áp dụng trực tiếp cho kênh fading nhanh.
ở mỗi thời điểm t, định nghĩa véctơ vi sai symbol không gian -thời gian
F(xt,xˆt) nh- sau:
Rõ ràng ma trận C(xt,xˆt) là Hermitian. Do vậy tồn tại ma trận đơn vị Vt và ma trận đ-ờng chéo thực Dt sao cho:
Phần tử chéo của Dt là các giá trị riêng Dti ,i=1,2…,nT và hàng của Vt,
{vt1, vt2,…, vtnT} là véctơ riêng của C(xt,xˆt) tạo ra cơ sở trực chuẩn của
không gian véctơ N chiều.
Trong tr-ờng hợp xt xˆt, C(xt,xˆt) là ma trận toàn 0 và mọi giá trị
riêng Dti= 0 i=1, 2,…, nT. Mặt khác nếu xt xˆt, ma trận C(xt,xˆt) chỉ có
một giá trị riêng khác 0 và nT-1 giá trị riêng còn lại bằng 0. Đặt Dt1 là giá trị riêng khác 0, khi đó nó sẽ bằng bình ph-ơng khoảng cách Eculidean giữa hai symbol xtvà xˆt:
Véctơ riêng của C(xt,xˆt) t-ơng ứng với giá trị riêng khác khác 0 đ-ợc đặt là vt1. Đặt:
Ph-ơng trình (2.35) có thể đ-ợc viết thành:
trong đó:
Mỗi thời điểm t chỉ có duy nhất một giá trị riêng Dt1 khác 0, biểu thức (2.81) có thể viết lại thành:
Trong đó p(xt,xˆt) là tập các thời điểm t=1, 2,…, L mà xt xˆt 0 .Thay (2.83) vào (2.39) ta có:
So sánh (2.82) và (2.47) thấy rằng tj,i cũng là biến ngẫu nhiên
Gaussian phức với ph-ơng sai 1/2 trên thứ nguyên và t j,i có phân bố
Rician với pdf:
trong đó:
Đ-ờng bao trên xác suất có điều kiện (2.84) là trung bình của các biến t j,1 phân bố Rician độc lập. Nếu gọi H là số l-ợng các symbol không gian-thời gian trong hai từ mã khác nhau X và Xˆ , thì vế phải của bất ph-ơng trình (2.84) có H.nR biến ngẫu nhiên độc lập. Sau đó chúng ta tách
ra hai tr-ờng hợp dựa trên giá trị H.nR. Kí hiệu H cũng đ-ợc gọi là khoảng cách Hamming cặp symbol không gian-thời gian giữa hai từ mã.
2.5.2.1 Giới hạn trên xác suất lỗi với H .nR lớn
Miễn là giá trị H.nR của từ mã đã cho lớn (H .nR 4) theo định lí giới hạn trung tâm biểu thức dh2(Xt,Xˆt) trong (2.83) có thể gần đúng bằng biến ngẫu nhiên Gaussian với giá trị trung bình và ph-ơng sai:
Bằng cách lấy trung bình (2.84) trên biến ngẫu nhiên Gaussian và sử dụng ph-ơng trình (2.57), xác suất lỗi cặp có giới hạn trên là:
Với kênh fading Rayleigh, giới hạn trên xác suất lỗi cặp có thể gần đúng bằng:
trong đó dE2 là bình ph-ơng khoảng cách Eculidean tích luỹ giữa các chuỗi symbol không gian -thời gian, đ-ợc cho bởi:
và D4 đ-ợc định nghĩa nh- sau:
2.5.2.2 Giới hạn trên xác suất lỗi với H .nR nhỏ
Khi giá trị H.nR nhỏ (H .nR <4) lý thuyết giới hạn trung tâm không
trong đó t j,1 ,t=1, 2,…, L và j=1, 2,…,nR là các ngẫu nhiên phân bố
Rician độc lập với pdf cho bởi (2.85). Bằng cách tích hợp từng hạng tử (2.93), xác suất lỗi cặp trở thành:
Với tr-ờng hợp đặc biệt, khi tj,1 là phân bố Rayleigh, giới hạn trên
của xác suất lỗi cặp ở SNR cao trở thành:
trong đó dp2 là khoảng cách Eculidean bình ph-ơng giữa hai chuỗi symbol không gian-thời gian, đ-ợc cho bởi:
Bằng cách sử dụng kỹ thuật giới hạn kết hợp, ta có thể tính giới hạn trên của xác suất lỗi khung bằng tổng các thành phần của xác suất lỗi cặp trên tất cả các khả năng lỗi. Khi đó xác suất lỗi trong (2.95) giảm theo hàm mũ khi tăng SNR, xác suất lỗi khung ở SNR cao đ-ợc quyết định bởi xác suất lỗi với tích H.nR nhỏ nhất. Mũ của SNR (H.nR) đ-ợc gọi là tăng ích
đ-ợc gọi là tăng ích mã hoá của kênh fading Rayleigh trong đó d2u là bình
ph-ơng khoảng cách Eculidean của hệ thống không mã. Chú ý rằng cả tăng ích phân tập và tăng ích mã hoá đều thu đ-ợc khi tối thiểu H .nR và
1/ 2
( )d Htrên tất cả các cặp từ mã riêng.
2.6 Kết luận
Ch-ơng 2 đã trình bày một cách t-ơng đối khái quát về mã không gian – thời gian. Bắt đầu đi mô hình truyền dẫn đa đ-ờng, mô hình kênh fading, các ph-ơng pháp phân tập. Đặc biệt đ-ợc phân tích kỹ là phân tập phát, vì đây chính là cơ sở của mã không gian -thời gian.
Khi đề cập tới mã không gian –thời gian đã tập trung phân tích nguyên lý tạo mã, cũng nh- đánh giá năng lực của mã thông qua việc đánh giá lỗi cặp. Tuy nhiên do giới hạn nội dung của đồ án nên một số vấn nh-: Tiêu chuẩn thiêt kế mã, ứng dụng STC cho các hệ thống băng rộng không đ-ợc trình bày trong nội dung của đồ án. Những vấn đề này đ-ợc trình bày chi tiết trong [12].
Ch-ơng 3
ĐáNH GIá CHấT L-ợng mã khối không gian - thời gian
3.1 Giới thiệu
Ch-ơng này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện từ những chứng minh về lý thuyết cho tới mô phỏng để kiểm chứng kết quả lý thuyết. Đồng thời các tr-ờng hợp đ-a ra cũng khá đầy đủ với nhiều khả năng khác nhau.
Mã khối không gian –thời gian là loại mã khá phổ biến trong số các loại mã không gian –thời gian. Ch-ơng này sẽ tập trung nghiên cứu các sơ đồ mã khối không gian –thời gian do Alamouti đề xuất. Đây là một trong những sơ đồ mã không gian –thời gian đầu tiên đ-ợc đ-a ra.
Để tiện cho việc đánh giá chất l-ợng của mã, kênh đơn (SISO) và các tr-ờng hợp phân tập thu kết hợp tỷ số cực đại (MRRC) t-ơng ứng cũng đ-ợc khảo sát. Ch-ơng trình mô phỏng đ-ợc soạn thảo trong M-file của Matlab. Đ-ợc trình bày chi tiết trong phần phụ lục của đồ án.