Trên kênh fading chậm, các hệ số fading trong mỗi khung không đổi. Vì vậy ta có thể giả sử các hệ số fading:
Định nghĩa ma trận sai từ mã B(X, Xˆ ) nh- sau:
Xây dựng ma trận khảng cách từ mã A(X, Xˆ ) kích th-ớc nTnT nh-
sau:
Trong đó H là Hermitian (chuyển vị liên hợp) của ma trận. Rõ ràng
A(X, Xˆ ) là Hermitian không âm, do A(X, Xˆ ) =AH(X, Xˆ ) và các trị riêng của A(X, Xˆ ) là các số thực không âm. Hơn nữa tồn tại ma trận unitary V
và ma trận đ-ờng chéo sao cho:
Hàng của V, {v1 , v2,..., vnT} là véc tơ riêng của A(X, Xˆ ), tạo ra cơ sơ trực chuẩn của không gian véctơ N chiều. Các phần tử chéo của là giá trị riêng i 0, i=1,2...nT của A(X, Xˆ ). Ma trận chéo có thể d-ợc biểu diễn nh- sau:
Để đơn giản ta giả sử rằng 1 2 ...nT 0. Đặt:
Ph-ơng trình (2.35) có thể đ-ợc viết nh- sau:
trong đó:
Với “.” Là tích trong của véctơ phức. Thay (2.46) vào (2.39) ta có:
Bất ph-ơng trình (2.48) là giới hạn trên của xác suất lỗi cặp có điều kiện, đ-ợc biểu diễn bằng một hàm của j,i , phụ thuộc vào hi,j . Tiếp theo ta định nghĩa sự phân bố của j,i theo thông tin của hi,j .
Chú ý hi,j là biến ngẫu nhiên Gaussian phức với trung bình hj,ivà
ph-ơng sai 1/2 trên thứ nguyên, {v1, v2,..., vnT} là cơ sở trực chuẩn của
không gian véctơ N chiều. Rõ ràng j,itrong (2.47) là biến số ngẫu nhiên Gaussian phức độc lập với ph-ơng sai 1/2 trên thứ nguyên và trung bình
i j B
,
trong đó E[.] là kì vọng. Đặt Kj,i = 2 ,j i B , i j,
có phân bố Rician với hàm mật độ xác suất:
với Io(.) là hàm Bessel bậc 0 loại 1. Để đ-a ra giới hạn trên của xác suất lỗi cặp không điều kiện, ta cần lấy trung bình (2,45) theo biến ngẫu nhiên
j i,
. Đặt r là hạng của ma trận A(X, Xˆ ). Trong phân tích ta chia ra hai tr-ờng hợp dựa trên giá trị r.nR
2.5.1.1 Giới hạn trên xác suất lỗi cặp với r.nR lớn
Do i,j có phân bố Rician , i,j 2 có phân bố chi-bình ph-ơng phân
kỳ với 2 bậc tự do và hệ số phân kỳ S= 2 ,j i B =Kj,i. Trị trung bình và ph-ơng sai của biến ngẫu nhiên phân bố chi-bình ph-ơng phân ly i,j 2 cho bởi:
Tại vế phải của bất đẳng thức (2.48) có r.nR biến ngẫu nhiên phân bố
chi-bình ph-ơng độc lập. Với giá trị r.nR lớn (r.nR4), t-ơng ứng với có nhiều kênh con độc lập, theo định lý giới hạn tập trung thì biểu thức:
Xác suất lỗi cặp có giới hạn trên là:
trong đó p(D) là pdf của biến ngẫu nhiên Gaussian D, sử dụng ph-ơng trình:
Giới hạn trên trong (2.56) có thể đ-ợc mô tả thành:
Xét tr-ờng hợp đặc biệt của kênh fading với aji
,
=0 và Ki,j =0. Trị trung bình và ph-ơng sai của D là:
Thay (2.59) và (2.60) vào (2.58) ta có giới hạn trên của xác suất lỗi cặp trên kênh fading Rayleigh là:
2.5.1.2 Giới hạn trên của xác suất lỗi với r.nR nhỏ
Khi số kênh con độc lập r.nR nhỏ (r.nR4) thì giả sử phân bố Gaussian không còn phù hợp và xác suất lỗi có thể đ-ợc mô tả bằng:
Trong đó i,j là biến ngẫu nhiên phân bố Rician độc lập với pdf nh- trong (2.50). Thay (2.50) vào (2.62) ta có giới hạn trên của xác suất lỗi cặp là:
Trong tr-ờng hợp fading Rayligh, giới hạn trên của xác suất lỗi cặp cặp trở thành:
Với SNR lớn, giới hạn trên có thể đơn giản thành:
trong đó r là hạng của ma trận A(X, Xˆ ) và 1,2...,r là trị số riêng khác không của ma trận A(X, Xˆ ).
Dùng kĩ thuật giới hạn kết hợp, ta tính giới hạn trên của xác suất lỗi khung, là tổng các thành phần của xác suất cặp lỗi trên tất cả các khả năng lỗi. Chú ý rằng xác suất lỗi cặp trong (2.65) giảm theo hàm mũ khi tăng SNR. Xác suất lỗi khung với SNR lớn bị ảnh h-ởng lớn bởi xác suất lỗi cặp với tích r.nR nhỏ nhất, luỹ thừa của SNR (r.nR) , đ-ợc gọi là tăng ích phân
tập và:
Gc d-ợc gọi là tăng ích mã hoá, trong đó du2 là bình ph-ơng khoảng cách Eculidean của hệ thống không mã. Chú ý là cả tăng ích phân tập và mã hoá đều thu đ-ợc khi tối thiểu r.nR và (1,2...,r)1/r trên tất cả các cặp từ mã riêng. Tăng ích phân tập là phép đo xấp xỉ của tăng ích công suất của hệ thống phân tập không gian trên hệ thống không phân tập ở cùng một xác suất lỗi. Tăng ích mã hoá là tăng ích công suất của hệ thông đ-ợc mã trên hệ thống không mã với cùng mức tăng ích phân tập và xác suất lỗi. Tăng ích phân tập quyết định độ rốc của đ-ờng cong xác suất lỗi, trong khi đó tăng ích mã hoá quyết định độ dịch ngang đ-ờng cong tỉ lệ lỗi của hệ thống không mã so với đ-ờng cong tỉ lệ lỗi của hệ thống mã không gian -thời gian với cùng một mức phân tập.
Tóm lại, để tối thiểu xác suất lỗi thì phải tạo ra tăng ích phân tập và tăng ích mã hoá lớn nhất có thể. Do tăng ích phân tập là số mũ trong giới hạn trên xác suất lỗi (2.56) nên rõ ràng là thực hiện tăng ích phân tập quan trọng hơn tăng ích mã hoá với hệ thống có r.nR nhỏ.
* Ví dụ 2.2 Mã không gian –thời gian chuyển mạch thời gian
Trong sơ đồ này, chỉ có 1 anten hoạt động trong mỗi khe thời gian và symbol điều chế xt đ-ợc phát từ anten 1 và 2 ở các thời điểm 2t và 2t+1. Vì mỗi symbol điều chế đ-ợc phát trong 2 khe thời gian nên tỷ lệ mã là 1/2 .Đặt :
Là từ mã khác, với xt xˆt. Ma trận sai mã giữa các từ mã là:
Do xt xˆt, nên hạng của B(X, Xˆ ) là r=2. Chú ý các ma trận A(X,
Xˆ ) và B(X, Xˆ ) có cùng hạng vì A(X, Xˆ ) =B(X, Xˆ ) BH(X, Xˆ ). Sơ đồ này thực hiện tăng ích phân tập bậc 2 khi số l-ợng anten thu là 1.
Với 1 anten thu, tín hiệu thu ở các thời điểm 2t và 2t t-ơng ứng là:
trong đó ht1 và ht2 là hệ số fading kênh giữa anten phát 1 và 2 tới anten thu t-ơng ứng, còn nt1 và nt2 là tạp âm ở các thời điểm 2tvà 2t+1 t-ơng ứng. Giả sử hệ số fading đ-ợc biết hoàn hảo ở máy thu. Bộ giải mã khả hợp lẽ cực đại chọn một tín hiệu xt… từ tập tín hiệu điều chế sao cho khoảng cách Eculidean bình ph-ơng nhỏ nhất:
Trên cơ sở ph-ơng pháp MRC, máy thu xây dựng tín hiệu thống kê
t
x
Quy tắc giải mã hợp lẽ cực đại có thể đ-ợc viết:
Mã không gian -thời gian chuyển mạch thời gian với 1 anten thu có thể thực hiện cùng mức tăng ích phân tập bậc 2 nh- sơ đồ phân tập thu MRC 2 nhánh. Tuy nhiên mã không gian –thời gian chuyển mạch thời gian có tỷ lệ một nửa và hiệu suất thiệt hại 3dB so với sơ đồ phân tập thu t-ơng ứng.
* Ví dụ 2.3 Mã lặp
Xét mã không gian –thời gian khi phát cùng một symbol điều chế từ hai anten. Ma trận từ mã không gian –thời gian cho bởi:
Tỷ lệ mã là 1. Với mỗi từ mã riêng với xt xˆt ma trận sai mã là:
Quan sát thấy hạng của ma trận là 1, do vậy mà lặp có cùng một hiệu suất nh- sơ đồ không phân tập (nT=nR=1).