bài toán hình học phẳng.
Hình học không gian đối với học sinh lớp 11 THPT là môn học có cấu trúc chặt chẽ, có nội dung phong phú hơn so với hình học phẳng. Trong quá trình dạy học ở tr-ờng THPT, chúng tôi nhận thấy hoạt động dạy học chuyển việc nhìn nhận một vấn đề hình học không gian sang hình học phẳng, hay việc giải bài toán hình học không gian về việc giải một hoặc nhiều bài toán phẳng là một việc làm đúng đắn. Vì đó cũng là một trong những hoạt động góp phần rèn luyện năng lực lập luận, sự sáng tạo, tính linh hoạt và khả năng liên t-ởng từ không gian sang phẳng nói riêng và trong bộ môn hình học nói chung của học sinh.
Trong mối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian, trên cơ sở coi mặt phẳng là một bộ phận của không gian chúng ta cần đặc biệt chú trọng "tách" bộ phận phẳng ra khỏi không gian (vẽ hình, xét trên chi tiết của bài toán). Các bộ phận đ-ợc tách ở đây có thể là mặt (mặt của khối đa diện), mặt cắt (thiết diện) hay đ-ờng giao tuyến. Vấn đề ở chỗ các bộ phận đ-ợc tách thể hiện giữa các yếu tố đã cho và các yếu tố cần tìm, giúp học sinh tự giải quyết đ-ợc các yêu cầu của bài toán đặt ra.
Thông qua dạy học các chủ điểm kiến thức về khoảng cách, góc, mặt cầu hoặc thẳng hàng, vuông góc, song song, giáo viên cần chú ý rèn luyện cho
học sinh năng lực quy lạ về quen, chuyển các bài toán không gian về bài toán phẳng quen thuộc, chẳng hạn: xét tiếp tuyến của mặt cầu quy về xét tiếp tuyến của đ-ờng tròn lớn, tạo bởi mặt phẳng qua tiếp tuyến và tâm mặt cầu. Tính khoảng cách giữa các yếu tố quy về tính cạnh góc vuông của tam giác vuông hoặc tính đ-ờng cao của tam giác vuông.
Khi giải các bài toán hình học không gian giáo viên và học sinh th-ờng gặp khó khăn do một số nguyên nhân sau:
- Học sinh phải có trí t-ởng t-ợng không gian cao khi đứng tr-ớc các bài toán hình học không gian.
- Vì hình học không gian có tính trừu t-ợng cao nên việc lĩnh hội và sử dụng các tri thức hình học không gian là một vấn đề khó khăn th-ờng gặp đối với học sinh cũng nh- các giáo viên.
- Học sinh quen với hình học phẳng nên khi chuyển sang hình học không gian thì học sinh khó tìm thấy các tính chất phẳng của hình phẳng. Và do sử dụng hình học phẳng từ tr-ớc nên khi chuyển sang nghiên cứu của hình học không gian ch-a biết vận dụng những tính chất riêng của hình học phẳng cho hình học không gian.
Một số bài toán không gian sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho và kết luận còn ch-a rõ ràng nên học sinh ch-a làm quen dần với các định h-ớng đ-ợc. Chính vì những lý do trên, chúng tôi đ-a ra một số bài toán hình học không gian nh-ng có thể chuyển về bài toán phẳng đề giải.
Ví dụ 1: Cho hình lập ph-ơng ABCDA1B1C1D1. Gọi G là trọng tâm A1BD. Chứng minh rằng A, G, G1 thẳng hàng.
Đây là bài toán thuộc dạng chứng minh ba điểm thẳng hàng. Nên ta có thể dùng phép chiếu song song để giải bài toán trên bằng cách chỉ ra một phép chiếu song song mà 3 điểm đó là ảnh trùng nhau hoặc chứng minh 3 điểm đó có ảnh qua phép chiếu song song là các bộ 3 điểm thẳng hàng.
b c d a A1 o B1 D1 C1 G + Xác định các hình chiếu cần thiết trên mặt phẳng chiếu. Phát biểu bài toán phẳng t-ơng ứng.
Ta có phép chiếu song song (A1B1C1D1), AC1) biến 1 1 (A B C D ) 1 1 1 1 A,C C .
A1C1//AO với O là tâm của ABCD. Do đó nếu lấy điểm O1 trên A1C1 kéo dài về phía C1 sao cho: C1O1 = AO thì OO1//AC1
Từ đó suy ra O (A B C D )1 1 1 1 O1 A1O A1O1 Từ giả thiết G là trọng tâm BDA1
G A1O sao cho A1 G = 2GO
G G1 A1O1 sao cho G1A1 = 2G1O1
Khi đó bài toán đã cho chuyển về bài toán phẳng đó là chứng minh G1 C1 A1C1 = 2C1O1.
+ Giải bài toán phẳng đồng thời chuyển kết quả về kết luận của bài toán ban đầu. Thật vậy ta có: C1O1 = AO = 1 2.AC = 1 2A1C1 C1O1 = 1 2 A1C1 G1 = C1 Vậy 3 điểm A, G, C1 thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N lần l-ợt là trung điểm các cạnh AB, CD, và O là trung điểm đoạn MN. Chứng minh rằng đ-ờng chéo AO đi qua trọng tâm G của BCD.
Gc c n b m d a
(Đào Tam (2005), Ph-ơng pháp dạy học hình học ở tr-ờng THPT, NXB HĐSP Huế).
Việc chứng minh G là trọng tâm O BCD quy về chứng minh
1 GM GB 2 (1). m a n a' g b h
Việc chứng minh G là trọng tâm BCD. Quy về chứng minh GN = 1
2 GB (1).
Việc chứng minh hệ thức (1) đ-ợc tiến hành nhờ tách bộ phân phẳng (ABN) ra ngoài. Từ đó dẫn tới bài toán phẳng sau:
"Cho tam giác ABN. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, O là trung điểm đoạn MN. Đ-ờng thẳng AO cắt BN tại G. Chứng minh rằng GN 1GB
2
Việc giải bài toán này thuộc về kiến thức ở cuối cấp II. Vẽ MK//AG, sử dụng tính chất đ-ờng trung bình của ABG và MKN BK = KG = GM.
Từ đó GN 1GB
2 .
Ví dụ trên đ-ợc giải thông qua việc giáo viên tách bộ phận không gian ra khỏi tứ diện và đ-a bài toán cần giải về bài toán phẳng quen thuộc mà học sinh đã biết.
a
A1
o c
C1
G
Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 có các cạnh bên là AA1,BB1, CC1, DD1. Xác định giao điểm G của đ-ờng chéo AC1 và mặt phẳng (A1BD).
Chứng minh G là trọng tâm A1BD?
Giải:
Ta có: AC1 mp(ACC1 A1), A1O//AC1 nên gọi G = AC1 A1O
G C1 C1 D1 B1 o A1 a d c b O1 Do A1O mp(A1BD) G mp(A1BD)
Vậy G là giao điểm của đ-ờng thẳng AC1 và mp (A1BD).
Để chứng minh F là trọng tâm A1BD ta cần chứng minh A1G = 2GO (O là trung điểm BD). Khi đó chuyển bài toán trong không gian về bài toán phẳng sau:
"Cho hình bình hành ACC1A1. Gọi O là trung điểm AC, G là giáo điểm của cạnh AC1 và đoạn thẳng A1O. Chứng minh A1G = 2GO"
Thật vậy: Do AO//A1C1 áp dụng định lý Talet ta có:
1 1 1
AO AO 1
A C A G 2 (vì 2AO = AC = A1C1) A1G = 2GO
Vậy G là trọng tâm A1BD.
Chú ý: Ta cũng có thể chứng minh G là trọng tâm A1BD bằng cách sau:
Cách 2: Gọi G là trọng tâm A1BD. Để chứng minh AC1 đi qua G ta chứng minh AC1, A1O, DO1 đồng quy (Trong đó O1 là trung điểm AB)
a j d n b i a1 p g q m
Ta có: AC1 làgiao tuyến của mp(ACC1A1) và mp(ADC1B1) A1O là giao tuyến của mp(A1BD) và mp(ACC1A1) DO1 là giao tuyến của mp(A1BD) và mp(ADC1B1) Mặt khác: A1O DO1 = G
Vậy AC1, A1O, DO1 đồng quy tại G.
Hay giao điểm của AC1 và mp(A1BD) là trọng tâm A1BD.
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD.
a) Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối trung điểm cặp cạnh đối của tứ diện cắt nhau tại một điểm.
b) Gọi A1, B1, C1 lần l-ợt là trọng tâm của các mặt của tứ diện t-ơng ứng đối diện với các điểm A, B, C, D. Chứng tỏ rằng AA1, BB1, CC1, DD1
đồng quy tại G và 1 1 1
1 1 1
GA GB GD
AA BB DD 4
a) Gọi M, N, I, J, P, Q lần l-ợt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD.
Ta có: MJ // = 1
i a j d k a1 g IN // = 1 2 BD
Suy ra tứ giác MJNI là hình bình hành
MN, IJ cắt nhau tại trung điểm G của chúng
Chứng minh t-ơng tự ta có: Tứ giác MPNQ là hình bình hành. Vậy MN, IJ, PQ đồng quy tại G.
b) ta có IJ mp(AID) G mp(AID) Gọi A1 là giao điểm AG và ID
Ta cần chứng minh: A1 là trọng tâm BCD và 1 1 GA 1 AA 4. ta đ-a về bài toán phẳng nh- sau:
"Cho AID. Gọi J là trung điểm AD, G là trung điểm IJ.
Gọi A1 là giao điểm của cạnh ID và AG. Chứng minh rằng A1D = 2A1I và 1
1
GA 1
AA 4"
Thật vậy: Kẻ IK // AA1 ( k ID)
Khi đó: JK là đ-ờng trung bình DAA:
1 1 JK KD 1 AA A D 2 (1) GA1 là đ-ờng trung bình IJK: GA1 IA1 1 JK IK 2 (2) Từ (1) và (2) ta có: 1 1 1 1 A D 2KD A D 2IA IK 2IA 1 1 1 1 AA 2JK AA 4GA JK 2GA 1 1 GA 1 AA 4 . 2.5. Kết luận ch-ơng 2.
Trong ch-ơng này luận văn đã nêu ra một số vấn đề nhằm bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập Hình học. Qua đây chúng tôi muốn nói rằng chúng ta hoàn toàn có khả năng bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập Toán.
Ch-ơng 3
Thực nghiệm s- phạm