Giải một bài toán dựng hình là tìm đ-ợc 1 hình thoả mãn những điều kiện trong bài toán.
Nói nh- thế ch-a đủ, vì điều kiện quan trọng là dùng những dụng cụ gì để dựng hình. Bởi vì trong thực tiễn cuộc sống đòi hỏi tính hiệu quả của công việc. Hiệu quả càng cao thì công việc có giá trị. Làm sao khi dựng hình, số l-ợng dụng cụ sử dụng là ít nhất.
Ví dụ với bài toán "dựng một góc bằng 200, lấy 1 tia cho tr-ớc làm cạnh", nếu dùng th-ớc đo góc thì bài toán rất đơn giản, nh-ng nếu chỉ dùng th-ớc và compa thì bài toán này không giải đ-ợc! (ng-ời ta đã chứng minh rằng chỉ dùng th-ớc và compa thì không thể dựng đ-ợc 1 góc = 200).
2.1.2.1. Tại sao chỉ dùng th-ớc và compa?
Các nhà toán học cổ HiLạp chỉ xem phép dựng dùng th-ớc và compa là hợp pháp, có tính chất hình học chân chính và không công nhận việc sử dụng các dụng cụ khác để dựng hình.
Quan điểm đó vẫn tồn tại cho đến ngày nay. Họ cũng đã thành công trong việc giải những bài toán dựng hình rất khó bằng th-ớc và compa. Họ coi th-ớc kẻ là vô hạn vì chỉ có một cạnh , coi compa có tính chất dùng để vẽ những đ-ờng tròn có bán kính tuỳ ý.
* Tiên đề chung:
a) Tất cả những dữ kiện trong đề bài toán dựng hình (điểm, đ-ờng thẳng, đ-ờng tròn…) đều coi là dựng được.
b) Những điểm lấy tuỳ ý trong mặt phẳng (để bổ sung các dữ kiện đều coi nh- là dựng đ-ợc).
c) Nếu hai đ-ờng thẳng dựng đ-ợc mà cắt nhau thì giao điểm của chúng coi nh- là dựng đ-ợc.
* Tiên đề về cái th-ớc:
d) Một đ-ờng thẳng xác định bởi hai điểm dựng đ-ợc thì coi nh- dựng đ-ợc.
* Tiên đề về cái compa:
đ) Một đ-ờng tròn xác định bởi một tâm dựng đ-ợc, một bán kính dựng đ-ợc thì coi nh- dựng đ-ợc.
Hai tiên đề d và đ biểu thị d-ới hình thức trừu t-ợng về cái th-ớc và compa. Theo hai tiên đề này thì muốn thực hiện một phép dựng hình bằng th-ớc và compa thì phải có ít nhất hai điểm. Nh-ng nhiều khi trong đề bài chỉ có một điểm hoặc không có điểm nào cả.
Chẳng hạn:
+) Cho một đ-ờng thẳng và một điểm trên đó, dựng tại điểm đó đ-ờng vuông góc với đ-ờng thẳng. ở đây chỉ có một điểm cho tr-ớc tức là dựng đ-ợc.
+) Cho hai đ-ờng thẳng giao nhau. Dựng phân giác của góc tạo thành. ở đây chỉ có một điểm dựng đ-ợc. (Theo tiên đề c).
+) Cho một đ-ờng tròn. Dựng tâm của nó. ở đây không có điểm dựng đ-ợc nào cả.
2.1.2.2. Giải một bài toán dựng hình bằng th-ớc và compa là chỉ rõ thứ tự áp
dụng các tiên đề a, b, c, d, đ ở trên để đ-a những tiên đề ch-a biết về những yếu tố dựng đ-ợc.
Ví dụ bài toán dựng hình sau:
Qua một điểm A ở ngoài một đ-ờng thẳng d dựng đ-ờng thẳng song song với d.
Cách giải nh- sau:
a) Chọn một điểm M tuỳ ý trên d (tiên đề b) và dựng đ-ờng tròn tâm M bán kính MA (phép dựng t-ơng ứng với tiên đề đ).
b) Dựng đ-ờng tròn tâm A bán kính AM (tiên đề đ).
c) Lấy giao điểm B của đ-ờng tròn thứ nhất với đ-ờng thẳng d (tiên đề c). d) Dựng đ-ờng tròn tâm M bán kính BA (tiên đề đ).
e) Kẻ đ-ờng thẳng qua A và P (tiên đề d).
Tóm lại giải bài toán dựng hình trên đòi hỏi phải lần l-ợt áp dụng các tiên đề b, đ, đ, , c, đ, c, d. (Dĩ nhiên tr-ớc hết bao giờ cũng là tiên đề a).
Chú ý: Tuy nhiên nhiều khi ng-ời ta không nêu hai tiên đề a và b mà
phát biểu gọn nh- sau:
Giải một bài toán dựng hình bằng th-ớc và compa là thực hiện 1 số có hạn ba phép dựng cơ bản sau:
a) Kẻ đ-ờng thẳng đi qua 2 điểm đã biết (tiên đề về cái th-ớc).
b) Dựng đ-ờng tròn có tâm đã biết và bán kính đã biết (tiên đề về cái compa).
c) Lấy giao điểm của 2 đ-ờng thẳng đã biết (tiên đề c).
2.1.2.3. Dựng hình bằng các dụng cụ khác.
Nếu không dùng th-ớc và compa mà dùng những dụng cụ khác để dựng nh-: Th-ớc thẳng có 2 biên, Êke, thì ta vẫn dùng 3 tiên đề a, b, c còn hai tiên đề d, đ đ-ợc thay bằng những tiên đề phản ánh tính chất của những dụng cụ mới.
a) Dựng hình bằng th-ớc có hai biên: - Tiên đề về th-ớc th-ờng (dùng 1 biên). a p m b d
- Một đ-ờng thẳng song song với một đ-ờng thẳng dựng đ-ợc và cách nó một khoảng d thì xem nh- dựng đ-ợc (hằng số d ứng với bề rộng của th-ớc 2 biên).
- Nếu có hai điểm dựng đ-ợc A và B và AB > d thì hai cặp đ-ờng thẳng cách nhau một khoảng d và theo thứ tự đi qua A và B đ-ợc xem nh- dựng đ-ợc.
Ví dụ: Dựng phân giác của góc xOy .
Cách dựng:
- Dựng x'//x và cách x một khoảng d (tiên đề). - T-ơng tự dựng y'//y (tiên đề).
- Lấy giao điểm A của x' và y' (tiên đề c). - Vẽ đ-ờng thẳng qua O và A (tiên đề d). b) Dựng hình bằng Êke.
- Đ-ờng thẳng đi qua 1 điểm dựng đ-ợc tạo với một đ-ờng thẳng dựng đ-ợc một góc bằng 900, 600, 300 hoặc 900 và 450, thì xem nh- dựng đ-ợc (**).
- Một điểm của một đ-ờng thẳng dựng đ-ợc mà từ đó ta thấy 2 điểm dựng đ-ợc d-ới một góc thì xem nh- dựng đ-ợc (.).
Eke th-ờng có ba góc 900, 600 và 300 hoặc 900 và 450.
Ví dụ: Gấp đôi một đoạn thẳng AB bằng Eke.
- Qua B dựng đ-ờng thẳng tạo với AB một góc 600 và qua A dựng đ-ờng vuông góc với AB (tiên đề **).
- Lấy giao điểm của hai đ-ờng vừa dựng (tiên đề c).
- Trên BA kéo dài dựng điểm C nhìn BD d-ới góc 600 (tiên đề (.) ) hoặc qua D dựng đ-ờng thẳng tạo với BD một góc 600.
2.1.2.4. Giá trị lý luận và thực tế của các dụng cụ dựng hình.
Bốn dụng cụ; Compa, th-ớc, th-ớc hai biên và eke đều quan trọng nh- nhau về giá trị lý luận chặt chẽ, chính xác và giá trị thực tế của chúng trong đời sống và sản xuất. o a x x' y' y d
Năm 1787 nhà khoa học ý MaxkêRôni đã chứng minh rằng:
Bất kỳ bài toán nào có thể giải đ-ợc bằng th-ớc và compa đều có thể giải đ-ợc bằng một mình compa thôi.
Năm 1890 Ađơle đã chứng minh rằng: Bất kỳ bài toán nào giải đ-ợc bằng th-ớc và compa đều có thể giải đ-ợc bằng một cái th-ớc hai biên hoặc bằng eke.
Trong thực tế kinh nghiệm cho thấy rằng ba dụng cụ: Compa, th-ớc và eke là những dụng cụ cần thiết và tiện lợi nhất cho ng-ời vẽ.