a
m
b p c
n p
- Phân tích: Giả sử ABC là tam giác cho tr-ớc và O là tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác đó, tiếp xúc cạnh AB tại M.
Ta có OM AB , vì O cách đều ba cạnh của tam giác nên OA, OB, OC là các tia phân giác trong của các góc của ABC.
- Cách dựng: - Tr-ớc hết dựng các tia phân giác của hai góc bất kỳ của đã cho rồi lấy giao điểm O của chúng.
- Qua O dựng đ-ờng vuông góc với đ-ờng thẳng AB. đ-ợc điểm M là chân đ-ờng vuông góc này.
- Dựng đ-ờng tròn tâm O bán kính OM.
Chứng minh: Đ-ờng thẳng AB tiếp xúc với đ-ờng tròn (.) vì nó vuông
góc bán kính OM. Tâm O lại cách đều ba cạnh của , (Vì O là giao điểm của các tam giác trong của nên OM = ON = OP). Do đó các đ-ờng thẳng AC và BC theo thứ tự vuông góc với các bán kính của ON và OP tại đầu mút của chúng; suy ra mỗi đ-ờng thẳng trên tiếp xúc với đ-ờng tròn (O).
Vậy (O, OM) là đ-ờng tròn phải dựng. - Biện luận; Bài toán có một nghiệm hình.
Chú ý: Có thể giải bài toán t-ơng nh- sau: "Dựng đ-ờng tròn ngoại tiếp 1 tam giác cho tr-ớc".
Tâm M của đ-ờng tròn ngoại tiếp phải cách đều 3 đỉnh của . nên M là giao điểm ba đ-ờng trung trực của đã cho.
Nếu là : "Dựng đ-ờng tròn bàng tiếp của 1 tam giác cho tr-ớc" thì ta có thể tìm tâm là giao điểm của phân giác trong 1góc và phân giác ngoài của hai góc còn lại. Ta dựng đ-ợc ba đ-ờng tròn bàng tiếp của .
p q o m i t
Bài toán 2: Dựng một đ-ờng tròn tiếp xúc với một đ-ờng tròn cho tr-ớc tại một điểm cho tr-ớc thuộc đ-ờng tròn đó và tiếp xúc với một đ-ờng thẳng cho tr-ớc.
- Phân tích: Giả sử đ-ờng tròn (O) đã dựng đ-ợc qua điểm M trên đ-ờng tròn (I) cho tr-ớc và đồng thời tiếp xúc với (I) và với đ-ờng thẳng d cho tr-ớc.
Tâm O phải nằm trên đ-ờng thẳng IM. Hai đ-ờng tròn tâm (O) và (I) phải có chung một tiếp tuyến MT qua M nên O lại phải nằm trên phân giác đi qua giao điểm P của d và Mt.
+ Cách dựng: - Dựng tia IM.
- Qua M dựng tiếp tuyến MT của (I) cắt tại P. - Dựng phân giác của góc dpt cắt tia IM tại O. - Dựng đ-ờng tròn tâm O bán kính OM.
Đó chính là đ-ờng tròn phải dựng.
+ Chứng minh: - Ta có OQ d. Vì OQ = OM (O nằm trên phân giác góc dpt ) nên đ-ờng tròn (O) tiếp xúc với d.
Đ-ờng tròn (O) lại tiếp xúc với (I) vì điểm M nằm trên đ-ờng thẳng OI nối tâm của chúng.
+ Biện luận: - Vì Ph-ơng trình và d cắt nhau tạo thành hai góc của góc tpx cắt MI kéo dài tại một điểm O', đ-ờng tròn tâm O' này tiếp xúc với d đồng thời tiếp xúc trong với (I). Do đó bài toán có hai nghiệm hình.
- Nếu IM d thì chỉ có một nghiệm hình. Chú ý; Ta có các bài toán t-ơng tự sau đây.
m p p x y m O I y B y n 1) Dựng đ-ờng tròn tiếp xúc với
1 cạnh của góc cho tr-ớc và tiếp xúc với cạnh kia tại một điểm cho tr-ớc.
Giả sử đ-ờng tròn (O) đã dựng đ-ợc tiếp xúc với cạnh Px và với cạnh Py tại điểm M của góc xPy. Tia có cách dựng nh- nhau.
- Dựng phân giác của góc xPy.
- Dựng đ-ờng vuông góc với Dy tại M.
Giao điểm O tia phân giác và đ-ờng vuông góc chính là tâm đ-ờng tròn phải dụng.
2) Đ-ờng tròn đi qua một điểm cho tr-ớc và tiếp xúc với 1 đ-ờng tròn cho tr-ớc tại một điểm cho tr-ớc.
Giả sử đ-ờng tròn (I) đã dựng đ-ợc tiếp xúc với 1 đ-ờng tròn (O) đã cho tại điểm A và đi qua điểm B.
Ta thấy rằng tâm I phải nằm trên. - Đ-ờng thẳng OA vì tiếp xúc với đ-ờng tròn đã cho tại A.
- Đ-ờng trung trực xy của AB vì đ-ờng tròn phải đi qua A và B.
Giao điểm của OA và xy là tâm I của đ-ờng tròn phải dựng. Bài toán có một nghiệm hình nếu B không nằm trên tiếp tuyến chung MN và vô nghiệm nếu B nằm trên MN.
Nếu A trùng với B thì mọi đ-ờng tròn có tâm O trên OA đi qua A sẽ thoả mãn bài toán; Có vô số nghiệm hình.
o3
o2
o1
o
3) Dựng đ-ờng tròn tiếp xúc ngoài với 3 đ-ờng tròn bằng nhau cho tr-ớc.
Giả sử đ-ờng tròn (O) đã dựng đ-ợc tiếp xúc với 3 đ-ờng tròn bằng nhau (O1), (O2), (O3). Ta thấy rằng tâm O phải cách đều tâm ba đ-ờng tròn đã cho tức là OO1 = OO2 = OO3 = R + r, trong đó R là bán kính đ-ờng tròn cần tìm và r là bán kính các đ-ờng tròn bằng nhau cho tr-ớc.
Suy ra cách dựng sau: Dựng đ-ờng trung trực của O1O2 và đ-ờng trung trực của O2O3. Chúng cắt nhau tại O là tâm đ-ờng tròn phải dựng.
Rõ ràng nếu ba điểm O1, O2, O3 thẳng hàng thì bài toán vô nghiệm.
Bài tập:
Bài 1: Cho tr-ớc ba điểm M,N,P, dựng ABC sao cho chân ba đ-ờng cao của nó theo thứ tự là M,N,P.
Bài 2: Dựng ABC biết đáy BC, góc A = và trung tuyến AM = m.
Bài 3: Cho đoạn thẳng AB = a. Dựng trên đoạn AB điểm M sao cho AM2 = a (A - AM). (Bài toán về phép phân chia hoàng kim).
Gợi ý:
Bài 1: Giả sử ABC đã dựng đ-ợc và ba đ-ờng cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Vận dụng tính chất "chân ba đ-ờng cao của một tam giác tạo thành ba đỉnh của 1 tam giác mới mà ba đ-ờng cao là phân giác của ba góc của tam giác mới".
Ta có cách dựng sau:
b p a n c m h
- Dựng hai phân giác của MNP cắt nhau tại H.
- Dựng qua M,N,P các đ-ờng vuông góc với HM, HN, HP cắt nhau tại A, B, C.
Tam giác ABC là tam giác cần dựng.
Bài 2: Dựng đ-ợc đáy BC ta chỉ cần xác định vị trí đỉnh A, đỉnh A phải nằm trên cung chứa góc dựng trên BC đồng thời nằm trên đ-ờng tròn tâm là trung điểm của BC bán kính bằng m.
Ta đ-ợc 4 tam giác bằng nhau, nh-ng bài toán chỉ có 1 nghiệm hình.
Bài 3: L-u ý: Biểu thức x2 = a(a - x) có thể viết x x
a a x.
Nh- vậy x là đoạn trung bình nhân giữa a và a - x ta còn nói rằng đây là phép chia AB theo trung và ngoại tỷ. Bài toán dựng hình nổi tiếng này đ-ợc gọi là phép chia hoàng kim.