Ngay từ thế kỷ thứ t- TCN, các nhà hình học cổ HiLạp đã tìm ra đ-ờng lối chung để giải 1 bài toán dựng hình gồm bốn b-ớc; Phân tích, dựng hình, chứng minh và biện luận.
2.1.4.1. B-ớc phân tích.
Phân tích là phần quan trọng nhất giúp lập ph-ơng án dựng để tìm ra lời giải của một bài toán làm cơ sở xác định đ-ợc mối quan hệ giữa các yếu tố phải tìm (giống nh- khi giải bài toán đại số ta chọn ẩn biểu thị bằng chữ x chẳng hạn rồi lập mối liên hệ giữa x với các đại l-ợng đã cho của bài toán từ đó mà lập đ-ợc ph-ơng trình).
Nh- thế tr-ớc hết phải vẽ một hình t-ơng ứng với hình phải dựng (tức là giả sử hình vẽ đã dựng đ-ợc thoả mãn điều kiện của bài toán). Qua hình vẽ phát hiện những yếu tố cho tr-ớc và những yếu tố phải dựng.
Ví dụ bài toán sau đây:
Dựng tam giác ABC biết cạnh đáy AC = b; góc A = kề với đáy và tổng của hai cạnh kia AB + BC = S".
Tr-ớc hết ta giả sử ABC đã dựng đ-ợc (hình vẽ). Nh- thế trên hình vẽ ta đã biết cạnh đáy AC, góc A còn tổng hai cạnh kia không có. Để thể hiện tổng S ta kéo dài cạnh AB và đặt trên đ-ờng kéo dài cạnh BC' = BC, thế là ta có AC' = S đã cho.
Nếu nối C với C' thì AC'C có thể dựng đ-ợc ngay (Dựng biết 2 cạnh và góc xen giữa).
Dựng đ-ợc AC'C này chỉ còn phải dựng điểm B trên cạnh AC' để có đ-ợc ABC cần dựng.
L-u ý rằng nếu ta thể hiện tổng S bằng cách kéo dài cạnh CB trên đó đặt đoạn BA' = BA để có CA' = S thì việc dựng AA"C không dễ dàng.
Vậy b-ớc phân tích liên quan tới hình vẽ ban đầu, do đó hình vẽ để phân tích phải đ-ợc vẽ cẩn thận và chính xác. 2.1.4.2. B-ớc cách dựng B-ớc này gồm 2 phần: b s a b c c'
a) Kể theo một thứ tự nhất định tất cả các phép dựng cơ bản cần thực hiện đ-ợc suy ra từ b-ớc phân tích.
b) Thực hiện các phép dựng đó bằng các dụng cụ th-ớc và compa, không phải chỉ thực hiện cách dựng mà còn phải mô tả cách dựng đó.
Với bài toán trên, cách dựng sẽ nh- sau:
- Trên đ-ờng thẳng bất kỳ xy dựng đoạn AC = b - Lấy AC làm cạnh A = .
- Kéo dài AB, trên đ-ờng kéo dài dựng đoạn BC' = BC; - Dựng AC'C (biết góc A và hai cạnh AC', AC).
- Dựng trung trực của CC'.
- Lấy giao điểm B của trung trực này với AC'. Ta đ-ợc ABC phải dựng.
Sở dĩ phải nêu cách thực hiện phép dựng vì cùng một phép dựng có thể có những ph-ơng pháp khác nhau. Ta hãy xét ví vụ sau:
"Dựng hình bình hành ABCD biết một góc nhọn BAD = và hai
đ-ờng chéo AC = d và BD = e".
Giả sử đã dựng đ-ợc hình bình hành. Vì các đ-ờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đ-ờng nên có thể dựng đ-ợc ngay ABD biết đáy BD=e, góc ở đỉnh BAD và trung tuyến AO 1d
2 .
Dựng đ-ợc ABD này ta bổ sung nó thành hình bình hành ABCD. Suy ra cách dựng sau:
- Trên đ-ờng thẳng bất kỳ xy dựng đoạn BD bằng đ-ờng chéo nhỏ e ứng với góc nhọn cho tr-ớc .
- Dựng cung chứa góc vẽ trên đoạn BD.
b c
d a
- Dựng đ-ờng tròn có tâm là trung điểm của BD và có bán kính d
2.
- Lấy giao điểm của cung chứa góc và đ-ờng tròn (có 2 giao điểm).
- Nối các giao điểm này với B và D, ta đ-ợc BAD (và BA'D).
Có thể bổ sung tam giác thành hình bình hành (Tức là xác định đỉnh thứ t- C của hình bình hành) bằng nhiều ph-ơng pháp, chẳng hạn:
- Qua B dựng BC // AD, qua D dựng DC// AB.
Trên BD dựng biết hai cạnh BC = AD và CD và AB, kéo dài AO về phía O và đặt OC = OA, nối C với các điểm B và D, …
2.1.4.3. B-ớc chứng minh
Sau khi đã dựng đ-ợc hình cần phải xác nhận xem nó có thoả mãn các điều kiện của bài toán hay không, tức là phải chứng minh bằng hình dựng đ-ợc thoả mãn tất cả các điều kiện của đề bài, cách chứng minh này phụ thuộc vào cách dựng. Nói cách khác nếu không biết rõ hai b-ớc phân tích và cách dựng thì không thể nói rằng chứng minh đúng hay sai, vì có thể có những ph-ơng pháp giải bài toán khác nhau và ngay cả khi đã phân tích giống nhau thì cũng có những cách khác nhau để thực hiện, tức là có cách dựng khác nhau.
Cũng cần nói thêm rằng nếu cách dựng đã rõ ràng thì b-ớc chứng minh cũng đơn giản.
Trở lại bài toán dựng tam giác (b-ớc phân tích) cách chứng minh nh- sau: ABC có góc A bằng (theo cách dựng), cạnh đáy, AC = b, tổng AB + BC' = AB + BC = S.
Vậy tam giác này thoả mãn các điều kiện của bài toán nên ABC là tam giác phải dựng.
Hoặc với bài toán dựng hình bình hành, cách chứng minh phụ thuộc vào cách xác định đỉnh C. Nếu xác định đỉnh C bằng cách dựng BC // AD và qua D dựng DC //AB thì b-ớc chứng minh sẽ nh- sau:
- Tứ giác ABCD là hình bình hành về có hai cặp cạnh song song (AD//BC; AB//DC).
- Nó có góc nhọn BAD = , đ-ờng chéo BD = e, đ-ờng chéo
AC = 2; AO = d (theo cách dựng ABD).
Vậy hình bình hành này thoả mãn các điều kiện của bài toán nên ABCD là hình bình hành phải dựng.
2.1.4.4. B-ớc biện luận
Khi giải bài toán đại số có tham số th-ờng đặt ra câu hỏi: Với những yếu tố cho tr-ớc nh- thế nào thì bài toán giải đ-ợc, không giải đ-ợc. Trong giải toán dựng hình cũng phải đặt ra câu hỏi nh- thế, và mỗi bài toán là một yêu cầu về dựng một hình thoả mãn các điều kiện xác định, các điều kiện này th-ờng đ-ợc cho bởi các giá trị và vị trí của một số yếu tố của hình.
Việc giải một bài toán dựng hình chỉ đ-ợc coi là xong nếu đ-ợc các điều kiện để lời giải tìm đ-ợc là đáp án của bài toán. Một bài toán dựng hình có thể có một nghiệm hình, hai hoặc hơn 2 nghiệm hình, có vô số nghiệm hình (vô định) hoặc không có nghiệm hình (vô nghiệm).
Nếu một bài toán mà các giả thiết đối với yếu tố cho tr-ớc thu hẹp thì phạm vi các giá trị thích hợp của các yếu tố đó sẽ hẹp đi và b-ớc biện luận sẽ đơn giản đi. Hãy xét ví dụ sau đây:
"Dựng đ-ờng tròn tiếp xúc với hai đ-ờng thẳng cho tr-ớc và một đ-ờng tròn cho tr-ớc".
Vì đề bài cho hai đ-ờng thẳng bất kỳ nên chúng có thể cắt nhau, hoặc song song với nhau. Nếu chúng cắt nhau thì phần biện luận sẽ phức tạp nh-ng nếu chúng song song thì đơn giản hơn.
Đối với ví dụ sau: "Dựng tam giác biết hai cạnh và góc đối diện với một trong hai cạnh đó", thì góc đã cho có thể là nhọn, vuông hoặc tù, vì thế khi biện luận phải xét đến các tr-ờng hợp ấy. Để đơn giản b-ớc biện luận có thể giới hạn độ lớn của góc, chẳng hạn cho góc nhọn đối diện với một trong hai
d c b a c d' d a-b b
cạnh, hay có thể hạ thấp hơn mức độ bằng cách cho góc nhọn đối diện với cạnh nhỏ.