Đứng tr-ớc một bài toán dựng hình muốn xác định xem có thể giải bằng ph-ơng pháp nào cần biết những dấu hiệu đặc tr-ng nhất của bài toán giải đ-ợc bằng ph-ơng pháp này hay ph-ơng pháp khác.
Mỗi ph-ơng pháp đều có giá trị riêng của nó. Các ph-ơng pháp th-ờng sử dụng là: ph-ơng pháp tịnh tiến, ph-ơng pháp đối xứng trục, ph-ơng pháp quay, ph-ơng pháp quỹ tích, ph-ơng pháp đồng dạng, ph-ơng pháp đại số.
2.1.5.1. Ph-ơng pháp tịnh tiến
Ví dụ: Dựng hình thang biết bốn cạnh: hai cạnh đáy a và b (a > b) và hai cạnh bên c và d (c d)
- Phân tích:
Giả sử ABCD là hình thang phải dựng có AD là đáy lớn, BC là đáy nhỏ, AB và CD là hai cạnh bên
Từ B kẻ BD'//CD. Tam giác ABD' có thể dựng đ-ợc ngay vì biết ba cạnh. Chỉ còn xác định đỉnh thứ t- C của hình thang.
- Cách dựng:
Tr-ớc tiên dựng ABD' biết ba cạnh AB = c; BD' = d và AD' = a - b. Qua B kẻ tia song song với AD', trên tia này dựng điểm C sao cho BC = b. Cuối cùng qua C kẻ CD//BD' cắt AD' kéo dài tại D. ABCD là hình thang phải dựng.
- Chứng minh:
Ta có AB =- c, BC = b theo cách dựng, AD = AD' + D'D = AD' + BC = a - b + b = a.
b d m n a' a a d b b c mc c'
Và CD = BD' và là đoạn chắn giữa hai đ-ờng thẳng song song. Vậy ABCD là hình thang thoả mãn điều kiện của đề bài.
- Biện luận:Điều kiện để dựng đ-ợc hình thang là d - c < a - b < d+ c với điều kiện này bài toán có một nghiệm hình (nếu điều kiện trên không đ-ợc thoả mãn thì bài toán vô nghiệm).
2.1.5.2. Ph-ơng pháp đối xứng trục
Ví dụ: Cho đ-ờng thẳng d cắt đoạn thẳng AB. Tìm trên d một điểm M sao cho đ-ờng thẳng d là phân giác của góc AMB.
Gọi A' là điểm đối xứng của A qua trục d,ta có: AM = A'M và
0
ANM A'NM 90 .
Do đó: MNA = MNA' Suy ra: NMA NMA'
Vậy điểm B phải nằm trên A'M, nói cách khác điểm M phải nằm trên A'B. Do đó ta dựng đ-ợc giao điểm M của đ-ờng thẳng A'B với đ-ờng thẳng d.
Bài toán có một nghiệm hình nếu khoảng cách từ A và B đến d không bằng nhau. Nếu các khoảng cách này bằng nhau nh-ng hai điểm A và B không đối xứng nhau qua d thì bài toán vô nghiệm (vì A'B // d). Cuối cùng nếu A và B đối xứng nhau qua d thì bài toán vô định: Bất cứ điểm nào trên d đều thoả mãn.
2.1.5.3. Ph-ơng pháp quay
Ví dụ: Dựng biết hai cạnh và trung tuyến kẻ tới cạnh thứ ba.
Giả sử ABC là phải dựng có cạnh cho tr-ớc là a và b, có trung tuyến CD = mc.
ab b c d a o1 o2 c b p
Ta quay toàn bộ hình vẽ xung quanh điểm D một góc 1800 sẽ đ-ợc hình bình hành ACBC'.
Trong đó biết các cạnh và một đ-ờng chéo CC' = 2mc. Do đó cách dựng nh- sau:
Dựng tam giác ACC' biết ba cạnh bổ sung nó thành hình bìh hành ACBC'. Nối A với B đ-ợc tam giác ABC phải dựng.
Điều kiện để dựng đ-ợc tam giác ACC' là a b < 2mc< a+b. Bài toán có 1 nghiệm hình.
2.1.5.4. Ph-ơng pháp quỹ tích.
Ví dụ: Dựng đ-ờng tròn tiếp xúc với hai đ-ờng thẳng song song a và b và qua 1 điểm P cho tr-ớc.
- Phân tích: Gọi khoảng cách giữa hai đ-ờng thẳng song song là d. Bán kính đ-ờng tròn phải dựng sẽ là d
2. Bài toán quy về dựng tâm của đ-ờng tròn
thoả mãn 2 điều kiện:
a) Cách đều hai đ-ờng thẳng a và b. b) Cách điểm P một khoảng d
2.
Suy ra cách dựng sau:
- Cách dựng: Từ điểm A tuỳ ý trên đ-ờng thẳng a hạ AH b. Dựng trung điểm C của đoạn AB. Quỹ tích n điểm cách đều a và b là đ-ờng thẳng c đi qua điểm C và song song với a,b cách a,b một đoạn bằng d
2.
Quỹ tích thoả mãn điều kiện thứ 2 là đ-ờng tròn (P, d
a n' n" k' k" l' l" b c m" m'
Lấy giao điểm O1 của đ-ờng tròn này với đ-ờng thẳng C1 dựng đ-ờng tròn (O1; O1P) đó là đ-ờng tròn phải tìm.
- Chứng minh: đ-ờng tròn (O1; O1P) tiếp xúc với 2 đ-ờng thẳng a và b vì khoảng cách từ tâm O1 đến hai đ-ờng thẳng này bằng nhau và bằng 1
2d.
đ-ờng tròn này lại qua điểm P theo cách dựng. Vậy nó thoả mãn bài toán. Biện luận:
a) Nếu P nằm giữa hai đ-ờng thẳng a và b thì thì bì toán ta có hai nghiệm hình là hai đ-ờng tròn (O1; O1P) và (O2; O2P).
b) Nếu P nằm trên a hoặc trên b thì bài toán có 1 nghiệm hình. c) Nếu P nằm ngoài khoảng tạo bởi a và b thì bài toán vô nghiệm.
2.1.5.5. Ph-ơng pháp đồng dạng.
Ví dụ: Trong tam giác ba góc nhọn ABC hãy dựng hình vuông sao cho hai đỉnh của nónằm trên đáy tam giác và hai đỉnh kia nằm trên hai cạnh bên.
Phân tích: Ta phải dựng một
hình vuông đồng thời thoả mãn các điều kiện sau:
a) Hai đỉnh của nó phải nằm trên AB. b) Một đỉnh nằm trên AC.
c) Một đỉnh nằm trên BC.
Ta thấy rằng có thể dựng dễ dàng hình vuông thoả mãn hai điều kiện ban đầu. Giả sử đó là hình vuông K'L'M'N'. Rõ ràng phép đồng dạng tâm A tỷ số đồng dạng bất kỳ sẽ biến đổi hình vuông K'L'M'N' thành hình vuông K"L"M"N" khi đó điểm M'' nằm trên đ-ờng thẳng AM'.
Để giải bài toán phải chọn trong số các hình vuông K"L"M"N"đồng dạng với hình vuông K'L'M'N' hình nào mà điểm M'' nằm trên BC. Trong tr-ờng hợp này điểm M'' sẽ là giao điểm của hai đ-ờng thẳng AM' và BC. Suy ra cách dựng sau:
m m" c b l l' k k' n n' a a b c x y y x z z - Cách dựng: a) Dựng hình vuông ng K'L'M'N' thoả mãn hai điều kiện ban đầu.
b) Dựng đ-ờng thẳng AM' và lấy giao điểm M của nó với cạnh BC.
c) Qua M kẻ đ-ờng thẳng song song với M'N' ta lấy giao điểm M của nó với cạch BC.
d) Từ M và N hạ các đ-ờng vuông góc ML và NK xuống AB. Ta đ-ợc KLMN là hình vuông phải dựng.
Thật vậy, KLMN là hình vuông theo cách dựng, nó đồng dạng với hình vuông K'L'M'N' và thoả mãn điều kiện của đề bài là hai đỉnh M và N nằm trên 2 cạnh BC và AC. Bài toán có 1 nghiệm hình.
2.1.5.6. Ph-ơng pháp đại số.
Ví dụ: Lấy đỉnh của một tam giác cho tr-ớc làm tâm hãy dựng ba đ-ờng tròn từng đôi tiếp xúc ngoài với nhau.
- Giải: Giả sử ABC là tam giác cho tr-ớc mà ba cạnh là a, b, c, và x, y, z là bán kính các đ-ờng tròn phải dựng. Ta tính độ dài các bán kính x, y, z theo ba cạnh a, b, c ta có: x + y = c; x + z = b; y + z = a. Do đó x = c b a 2 ; a c b y 2 ; a b c z
2 . Bây giờ ta dựng một trong ba
đoạn thẳng chẳng hạn x theo công thức x = c b a
2 ; rồi vẽ đ-ờng tròn (A, x). Sau
đó vẽ tiếp các đ-ờng tròn tâm B và C bán kính t-ơng ứng c - x và b - x.
a b d c k f e A E B M D N G F c P
Để chứng minh chỉ cần nhận xét rằng hai đ-ờng tròn cuối tiếp xúc nhau vì tổng các bán kính của chúng. (c- x) + (b - x) = c + b - 2x = c + b - (c + b - a) = a = BC tức là khoảng cách giữa hai tâm.
Bài toán luôn có một nghiệm hình vì trong ABC thì b + c > a nên x có thể dựng đ-ợc, ngoài ra c - x = c- c b a a c b 0 2 2 . Vì a + c > b nên c>x và b - x = a b c 0 2 . Vì a + b > c nên b > x. 2.1.6. Dựng hình chỉ dùng th-ớc (không dùng compa).
2.1.6.1. Xét hai bài toán sau:
a) "Cho tam giác ABC có E là đ-ờng trung bình . Hãy dựng tam giác mà ba cạnh lại là ba trung tuyến AD, BF, CE của tam giác đã cho".
Kéo dài đ-ờng thẳng đ-ờng thẳng EF rồi từ C kẻ đ-ờng thẳng song song với AB cắt EF kéo dài tại K. Tam giác AKD là tam giác phải dựng.
Thật vậy, do EK = BC nên FK = BD và FB = DK, tứ giác AKCE là hình bình hành. Vậy AK = EC. Suy ra các cạnh của tam giác AKD bằng các trung tuyến của tam giác ABC.
b) " Cho tam giác ABC có EF là đ-ờng trung bình. Hãy tìm trên cạnh đáy BC một điểm M sao cho BM = 1BC
3 .".
Dựng trung điểm D của cạnh đáy BC và giao điểm N của 2 đ-ờng thẳng EB và DE, kẻ đ-ờng thẳng AN cắt BD tại M và EF tại P (hình vẽ).
m b' b h a' a m' a a' h b b' m
Xét ABM có BM = 2EP. Từ hình bình hành BEFD có EM = ND. Xét hai tam giác bằng nhau EPN và DMN suy ra EN = MD. Nh- thế BM = 2MD, tức là 3MD = BD, do đó BM = 1BC
3 . Vậy M là điểm phải dựng.
2.1.6.2. Dựng đ-ờng vuông góc với đ-ờng kính.
"Từ một điểm M ở ngoài hoặc ở trong một đ-ờng tròn đ-ờng kính AB cho tr-ớc hãy dựng đ-ờng vuông góc với AB".
Nối M với hai đầu A và B của đ-ờng kính cắt đ-ờng tròn lần l-ợt tại B' và A'. Hai đ-ờng thẳng AA' và BB' cắt nhau tại H là trực tâm của MAB. ( Vì hai góc nộitiếp A' và B' đều vuông). Do đó MH phải là đ-ờng cao thứ ba, tức là MM' AB.
Có thể đ-ờng vuông góc dựng từ M tới AB không cắt đ-ờng tròn trực tâm H nằm ngoài MAB.