7. Cấu trúc của khóa luận
2.5.1. Hệ thống các bài toán
* Dạng 1: Dạng toán chứng minh
+ Các bài toán chứng minh các đẳng thức vectơ.
Bài 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng G là trọng tâm tam giác ABC khi và
chỉ khi GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0.
Bài 2: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm, M là một điểm bất kì. Chứng minh rằng:
3
MA MB MC+ + = MG
uuur uuur uuur uuuur
.
Bài 3: Trong không gian cho n điểm: A A1, , ...,2 An. Chứng minh rằng: Tồn tại duy
nhất điểm G sao cho:
1 0 n i i GA = = ∑uuur r
Điểm G được gọi là trọng tâm của hệ điểm: A A1, , ...,2 An. Với điểm M bất kì
trong không gian. Chứng minh rằng:
1 n i i MA nMG = = ∑uuuur uuuur
Bài 4: Cho tứ giác ABCD, với M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi G
là trung điểm của MN.
a. Chứng minh rằng: G là trọng tâm của tứ giác ABCD.
b. Gọi G’ là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng: 1 4
GGuuuur′= MGuuuur′.
Bài 5: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:
. . . 0
BC AD CD AB DB AC+ + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur
+ Các bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
Bài 6: Cho hai điểm phân biệt A, B và điểm O tùy ý.
a. Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm trên dường thẳng AB là: MO mOA nOBuuuur= uuur+ uuur, trong đó: m n+ =1.
b. Với điều kiện nào của m và n thì điểm M thuộc đoạn AB ? M là trung điểm đoạn AB ?
Bài 7: Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P thỏa mãn điều kiện:
; ;
AM = pMB BN qNC= CP rPA= uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
Chứng minh rằng: Nếu . .p q r= −1 thì M, N, P thẳng hàng.
Bài 8: Cho tam giác ABC. Gọi D, N, I là các điểm xác định bởi các hệ thức:
3uuurDB−2uuur r uuurDC =0; AN =3uuur uurNB CI; =2CNuuur. Chứng minh: A, D, I thẳng hàng.
Bài 9: Trên các cạnh của tam giác ABC lấy các điểm M, N, P sao cho
3 6 2 0
MA+ MB= NB NC PC− = + PA= uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
. Hãy biểu thị uuurAN qua uuuur uuurAM AP, . Từ đó suy ra M, N, P thẳng hàng.
+ Chứng minh hai đường thẳng song song.
Bài 10: Cho ngũ giác lồi ABCDE, cạnh BC song song với đường chéo AD,
/ /
CD BE, DE / /AC, AE/ /BD. Chứng minh rằng: AB CE/ / .
Bài 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′. Giả sử E là tâm của mặt ABB A1 1;
N, I lần lượt là trung điểm của CC CD′, . Chứng minh rằng: EN / /AI.
Bài 12: Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′. Điểm M, N thỏa mãn:
1 2
,
3 3
CMuuuur= CAuuur C Nuuuur′ = C Duuuur′ . Chứng minh rằng; MN / /BD′.
+ Các bài toán chứng minh vuông góc.
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, I và J lần lượt là trung
điểm của AH, HC. Chứng minh rằng: BI ⊥ AJ .
Bài 14: Cho hình vuông ABCD. Các điểm M, N thuộc BA, BC sao cho BM =BN. Gọi H là hình chiếu của B trên CM. Chứng minh rằng DH ⊥HN
Bài 15: Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung
điểm của AB, E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng OE⊥CD.
Bài 16: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AD và BB’. Chứng minh rằng: MN ⊥ A C' .
+ Các bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy.
Bài 17. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý trong tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ lần
lượt là các điểm đối xứng với M qua các trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: AA’, BB’, CC’ đồng quy tại O.
Bài 19: Cho hình bình hành ABCD, các điểm A’, B’, C’, D’ là các điểm thuộc cạnh
AB, BC, CD, DA sao cho AA BB CC DD AB BC CD DA
′ = ′ = ′ = ′
. Chứng minh rằng: Giao điểm các đường chéo của tứ giác A’B’C’D’ trùng với giao điểm các đường chéo hình bình hành ABCD.
* Dạng 2: Các bài toán quỹ tích, dựng hình.
+ Các bài toán quỹ tích.
Bài 20: Cho đoạn thẳng AB. Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn:
( ) ( )
2 2 2 2
) 0 ) 0
a MA +MB =k k > b MA −MB =k k >
Bài 21: Cho ∆ ABC đều, cạnh bằng 2a. Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho: MA2 +MB2 +MC2 =8a2.
Bài 22: Cho tứ diện S.ABCD có góc tam diện dỉnh S là tam diện vuông. Tìm Tập
hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn điều kiện: MA2 +MB2 +MC2 =3MS2.
Bài 23: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho:
2 2 2
. .
MA MB MA MC NC− = −MC +BC
uuur uuur uuur uuur
+ Các bài toán dựng hình.
Bài 24: Cho hai đường thẳng , '∆ ∆ cắt nhau tại O và hai đường thẳng d (/ /∆) và
( )
' / / '
d ∆ cắt nhau tại O’. Đường thẳng a cắt , ', , '∆ ∆ d d lần lượt tại A, A’, B, B’.
Hãy dựng đường thẳng a sao cho: uuur uuur rAA′+ BB′=0.
Bài 25: Cho tứ diện S.ABC cạnh a. Kẻ trung tuyến CN của tam giác CSB. Dựng
đoạn PQ sao cho: P SA Q CN PQ∈ ; ∈ ; / /BM .
Bài 26: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, M là trung điểm của DC; N là trung điểm
của DD’. Qua M hãy dựng đường thẳng cắt BN ở I và AB’ ở J.
Bài 27: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a. M và N lần lượt là
trung điểm của CD và CC’. Dựng đường vuông góc chung của AN và D’M.
* Dạng 3: Các bài toán tính toán.
+ Các bài toán tính góc.
Bài 28: Cho ∆ ABC cân tại A. Tính góc giữa 2 trung tuyến BE, CF.
Bài 29: Cho ∆ ABC, hai trung tuyến BB’, CC’ vuông góc với nhau. Tính góc tạo bởi các cạnh bên của tam giác.
Bài 30: Cho tứ diện ABCD; gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CB,
Bài 31: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giac đều, cạnh là 4 2 . Cho
( )
SC ⊥ ABC và E, F lần lượt là trung điểm AB và CB, biết SC =2. Tính góc tạo bởi hai đường thẳng SF và CE.
+ Các bài toán tính độ dài đoạn thẳng.
Bài 32: Cho ∆ ABC vuông, cạnh huyền BC, BC a= 3, M là trung điểm của BC.
Biết rằng 2 . 2 a AM BC= uuuur uuur . Tính độ dài AB và AC.
Bài 33: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB. Biết rằng:
. 4; . 9; . 6;
AB AC = CA CB= CB CD= uuur uuur uuur uuur uuur uuur
a. Tính độ dài các cạnh của hình thang.
b. Gọi EF là đường trung bình của hình thang. Tính độ dài hình chiếu vuông góc của EF trên BD.
Bài 34: Cho tứ diện đều ABCD; I, J là trung điểm của AB, CD, các cạnh tứ diện
bằng a. Tính độ dài đoạn IJ.
+ Các bài toán tính diện tích.
Bài 35: Chứng minh rằng: Diện tích ∆ ABC có thể tính theo công thức:
( )2
2 2
1
. .
2
S = uuur uuurAB AC − uuur uuurAB AC
Bài 36: Tính diện tích ∆ ABC theo: AB c BC a CA b= ; = ; = .
Bài 37: Cho hình thang ABCD; các đường AC, BD cắt nhau tại M. Gọi S1, S2, S3, S4
lần lượt là diện tích của các tam giác: MAD, MBC, MAB, MDC. Chứng minh rằng: S1S2=S3S4.
* Dạng 4: Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị
Bài 38: Cho tứ giác ABCD, có các cạnh là a a a a1, , ,2 3 4 và các đường chéo là ,m n.
Chứng minh rằng: a. 2 2 2 2 1 2 3 4 1 3 a +a +a > a b. 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 a +a +a +a ≥m +n
Bài 39: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC và một diểm M bất kì ta luôn có:
2 2 2
. . . . .
AB MC +BC MA +CA MB ≥ AB BC CA
Bài 40: Cho tứ diện ABCD với tam diện vuông đỉnh A. Xác định vị trí điểm M để
2.5.2. Bồi dưỡng và phát triển tư duy thuật giải thông qua dạy giải một số dạng bài toán.
2.5.2.1. Dạng toán chứng minh
a. Chứng minh các đẳng thức vectơ.
Bài 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi
0
GA GB GCuuur uuur uuur r+ + = .
1. Phân tích:
- Giả sử G là một điểm trong tam giác ABC.
- Theo quy tắc hình bình hành ta tính được GB GCuuur uuur+ . Giả sử GB GC GAuuur uuur uuuur+ = ′′. - Gọi A’ là trung điểm của BC thì GAuuuur′′=2GAuuur′. Ta cần chứng minh G là trọng tâm
2 3
GA GA′′ GA GA′ AA′ GA′ ⇔ uuur= −uuuur⇔uuur= − uuur⇔uuur= uuur
⇔ A, G, A’ thẳng hàng theo thứ tự và G chia AA’ theo tỉ số 1
3 kể từ đáy A’.
2. Thuật giải:
- Bước 1: Xác định trung điểm A’ của BC.
- Bước 2: Chứng minh GB GCuuur uuur+ =2GAuuur′, với G nằm trong tam giác ABC. - Bước 3: Chứng minh G là trọng tâm
3 2 0
AA′ GA′ GA GA′ GA GB GC
⇔ uuur= uuur⇔uuur= − uuur⇔uuur uuur uuur r+ + =
Bài 2: Cho tam giác ABC, trọng tâm G, M là một điểm bất kỳ. Chứng minh rằng :
3
MA MB MC+ + = MG
uuur uuur uuur uuuur
1. Phân tích:
Ta có : MA MB MCuuur uuur uuur+ + =3uuuurMG ⇔(GMuuuur uuur+MA) (+ GMuuuur uuur+MB) (+ GMuuuur uuur+MC) =0r ⇔GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0( Kết quả bài 1)
2. Thuật giải:
- Bước 1: Phân tích các vectơ MA MB MCuuur uuuur uuuur, , tương ứng thành tổng các vectơ sau:
(GMuuuur uuur+MA) (, GMuuuur uuur+MB) (, GMuuuur uuur+MC) ( )∗ .
- Bước 2: Thay các tổng ở ( )∗ vào vế trái của đẳng thức cần chứng minh. - Bước 3: Thay tổng GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0 vào tổng vừa tìm được.
Bài 3: Trong không gian cho n điểm : A A1, 2,..., An. Chứng minh rằng: Tồn tại duy
nhất điểm sao cho:
1 0 n i i GA = = ∑uuur r.
Điểm G được gọi là trọng tâm của hệ điểm: A A1, 2,..., An. Với điểm M bất kì trong
không gian. Chứng minh rằng:
1 n i i MA nMG = = ∑uuuur uuuur 1. Phân tích:
- Để chứng minh G tồn tại là duy nhất, ta lấy một điểm O cố định rồi chứng minh
rằng vectơ OGuuur là xác định cụ thể biểu thị tuyến tính duy nhất vectơ OGuuur qua các vectơ hoàn toàn xác định OAuuuri .
- Để biểu thị OGuuur qua các OAuuuri ta phân tích GA OA OGuuur uuur uuuri = i −
+ Ta có 1 1 1 1 0 0 n n n i i i i i i GA OA nOG OG OA n = = ⇔ = − = ⇔ = =
∑uuur r ∑uuur uuur r uuur ∑uuur
2. Thuật giải:
- Bước 1: Lấy một điểm O cố định tùy ý khác với các A ii ( =1,n). - Bước 2: Phân tích GAuuuri qua OGuuur và OAuuuri:
1 1 1( ) 0 0 ( ) 0 0 n n n i i i i i i GA OA OG OA nOG = = = − = ⇔ = − =
∑uuur ∑ uuur uuur r ∑uuur uuur r
- Bước 3: Biểu thị tuyến tính OGuuur qua các vectơ OA iuuuri ( =1,n) . Khi
1 0 n i i GA = = ∑uuur r. - Bước 4: Kết luận: Từ (3) xác định tính duy nhất thỏa mãn
1 0 n i i GA = = ∑uuur r.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD với M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi G là
trung điểm của MN.
a. Chứng minh rằng: G là trọng tâm của tứ giác ABCD.
b. Gọi G’ là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng 1 4
GGuuuur′= uuuurAG′.
1. Phân tích:
- Để chứng minh G là trọng tâm của tứ diện ta phải chứng minh:
( )
0
GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r+ + + = ∗
- Theo giả thiết M, N tương ứng là trung điểm của AB và CD. Nên ta áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: GA GBuuur uuur+ =2GM GC GDuuuur uuur uuur, + =2GNuuur
- Vì G là trung điểm của MN nên GM GNuuuur uuur r+ =0
+ Theo định nghĩa G’ là trọng tâm của tam giác BCD khi và chỉ khi 3GGuuuur uuur uuur uuur′ =GB GC GD+ +
Kết hợp với điều kiện ( )∗ ta được: 3 0 1 4
GGuuuur uuur r′+GA= ⇒GGuuuur′= uuuurAG′
2. Thuật giải:
a. - Bước 1: Tính GA GBuuur uuur+ theo quy tắc hình bình hành. - Bước 2: Tính GC GDuuur uuur+ theo quy tắc hình bình hành. - Bước 3: Tính GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur+ + + .
- Bước 4: Tính GM GNuuuur uuur+ . - Bước 5: Kết luận.
b. - Bước 1: Biểu thị GGuuuur′ qua GB GC GDuuur uuur uuur, , (theo định nghĩa trọng tâm). - Bước 2: Biểu thị GAuuur qua GB GC GDuuur uuur uuur, , (áp dụng phần a).
- Bước 3: Biểu thị GGuuuur′ qua GAuuur. - Bước 4: Kết luận.
* Nhận xét: Qua bốn bài toán trên, ta thấy muốn chứng minh các đẳng thức vectơ
ta tiến hành như sau:
- Bước 1: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ vectơ.
- Bước 2: Chứng minh trực tiếp dựa vào định nghĩa hai vectơ bằng nhau (cùng hướng, cùng độ dài). Nếu qua bước 2 mà chưa đi đến đẳng thức cần chứng minh thì ta chuyển sang bước 3.
- Bước 3: Dùng các kỹ năng phân tích sau. + Sử dụng đẳng thức trung điểm
+ Sử dụng định nghĩa điểm chia đoạn thẳng. + Phân tích một vectơ thành tổng, hiệu các vectơ.
- Bước 4: Dùng lập luận toán học và các phép biến đổi hình học để chứng minh như:
+ Biến đổi vế trái bằng vế phải. + Biến đổi tương đương.
+ Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một kết quả đúng đã biết.
* Các bước dùng để chứng minh các đẳng thức vectơ hay quy trình chứng minh các đẳng thức vectơ đã thể hiện mối quan hệ giữa các phép toán về vectơ
(phép cộng, phép trừ hai vectơ, phép nhân vectơ với một số), giữa ngôn ngữ hình học thông thường và ngôn ngữ vectơ và giữa một số kỹ năng cơ bản của hình học vectơ.
b. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
Bài 5: Cho hai điểm phân biệt A, B và điểm O tùy ý.
a. Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để điểm M nằm trên đường thẳng AB là
OMuuuur=mOA nOBuuur+ uuur với m n+ =1.
b. Với điều kiện nào của m, n thì điểm M thuộc đoạn AB ? M là trung điểm của đoạn AB ?
1. Phân tích:
- M nằm trên đường thẳng AB khi và chỉ khi M, A, B thẳng hàng ⇔ uuuur uuurAM AB, cộng tuyến.⇔ ∃k AM: uuuur=k ABuuur⇔OM OA k OB OAuuuur uuur− = (uuur uuur− )
(1 )
OM k OA kOB OM mOA nOB
⇔ uuuur= − uuur+ uuur⇔ uuuur= uuur+ uuur
Với m= −1 k n k n m, = ( + =1)
- Vì uuuurAM =k ABuuur và m= −1 k n k n m, = ( + =1)
M nằm giữa AB ⇔ ≤ < ⇔ <0 k 1 0 m n, <1
M là trung điểm của AB 1
2
m n
⇔ = =
2. Thuật giải:
a. - Bước 1: M ∈AB⇔ ∃k AM:uuuur=k ABuuur.
- Bước 2: Phân tích vectơ uuuurAM qua vectơ OAuuur và OMuuuur. Phân tích vectơ uuurAB qua vectơ OAuuur và OBuuur. - Bước 3: Thay kết quả bước 2 vào bước 1.
- Bước 4: Tính OMuuuurtheo các vectơ OAuuur và OBuuur.