7. Cấu trúc của khóa luận
2.2.3. Hệ các vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
a. Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính
Hệ n vectơ a aur uur1, , ...,2 auurn được gọi là phụ thuộc tuyến tính (PTTT) nếu tìm được các số k k1, , ...,2 kn không đồng thời bằng 0 sao cho: k a1 1ur+k a2uur2 + +... k anuur rn =0
(k a1 1ur+k a2uur2 + +... k anuurn được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ a aur uur1, , ...,2 auurn
)
Nếu hệ vectơ a aur uur1, , ...,2 auurn là PTTT thì ta còn nói: Các vectơ a aur uur1, , ...,2 auurn là PTTT.
b. Hệ vectơ độc lập tuyến tính
Hệ n vectơ a aur uur1, , ...,2 auurn được gọi là độc lập tuyến tính (ĐLTT) nếu đó là một hệ không PTTT tức là không tìm được các số k k1, , ...,2 kn không đồng thời
bằng 0 sao cho k a1 1ur+k a2uur2 + +... k anuur rn =0
Nói khác đi, hệ n vectơ a aur uur1, , ...,2 auurn là ĐLTT khi và chỉ khi: nếu
1 1 2 2 ... n n 0
k aur+k auur+ +k auur r= thì k1 = = = =k2 ... kn 0
Chẳng hạn theo định nghĩa, hệ ba vectơ , ,a b cr r r được gọi là PTTT nếu tìm được ba số thực , ,k l m không đồng thời bằng không sao cho ka lb mcr+ +r r r=0
Hệ ba vectơ , ,a b cr r r là ĐLTT khi và chỉ khi nếu có ka lb mcr+ +r r r=0 thì suy ra k l m= = =0
c. Điều kiện để hai vectơ PTTT hay ĐLTT
+ Định lí: Hai vectơ ,a br r PTTT khi và chỉ khi chúng cùng phương (hay còn nói là chúng cộng tuyến).
Thật vậy hai vectơ ,a br r PTTT khi và chỉ khi có hai số kvà l không đồng thời bằng 0 sao cho ka lbr+ =r r0. Giả sử k ≠0 thì a l b
k
= − r r
nên hai vectơ ,a br r cộng tuyến.
+ Hệ quả: Hai vectơ ,a br r ĐTTT khi và chỉ khi chúng không cộng tuyến.
d. Điều kiện để ba vectơ PTTT hay ĐLTT
Ba vectơ trong không gian được gọi là đồng phẳng nếu chúng nằm trên những mặt phẳng song song hoặc trùng nhau, nói cách khác nếu các đường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng hay nếu chúng lần lượt bằng ba vectơ nào đó cùng nằm trong một mặt phẳng.
+ Định lí: Ba vectơ PTTT khi và chỉ khi chúng đồng phẳng. * Chứng minh:
Giả sử , ,a b cr r r là ba vectơ ĐLTT tức là có ba số , ,k l m không đồng thời bằng 0 sao cho ka lb mcr+ +r r r=0.
Giả sử k ≠0, ta có a l b mc k k
= − − r r r
. Nếu vẽ các vectơ ,b cr r nằm trong mặt phẳng ( )P nào đó thì hiển nhiên vectơ ar cũng nằm trong mặt phẳng ( )P . Vậy ba
vectơ , ,a b cr r r đồng phẳng.
Ngược lại, nếu ba vectơ , ,a b cr r r đồng phẳng tức là có thể xem chúng trong một mặt phẳng. Khi đó:
- Nếu ,a br r PTTT thì hiển nhiên ba vectơ , ,a b cr r r cũng PTTT vì: Khi đó ta có hai số k và l không đồng thời bằng 0 sao cho ka lbr+ =r r0, hay ka lbr+ +r 0cr r=0
- Nếu ,a br r ĐLTT thì ta biết rằng vectơ cr có thể biểu thị qua nó tức là có các số ,k l sao cho c ka lbr= r+ r ⇔ka lb cr+ − =r r r0
e. Phân tích một vectơ theo hai hoặc ba vectơ
+ Định lí: Cho hai vectơ ĐLTT ar và br. Nếu cr là vectơ sao cho ; ;a b cr r r PTTT thì
cr có thể viết một cách duy nhất dưới dạng: c ka lbr= r+ r. * Chứng minh:
Vì ; ;a b cr r r PTTT nên có ba số , ,p q r không đồng thời bằng 0 sao cho 0
pa qb rcr+ r+ r r= . Ta thấy r ≠0, vì nếu r =0 thì pa qbr+ r r=0 trong đó p và q không đồng thời bằng 0, suy ra ar và br PTTT, trái giả thiết. Vì vậy ta có:
p q c a b ka lb r r = − − = + r r r r r với k p ;l q r r = − = −
Nếu có ,k l′ ′ không đồng thời bằng không sao cho: c k a l b= ′r+ ′r. Khi đó
( ) ( ) 0
ka lb k a l br+ =r ′r+ ′r ⇒ k k a− ′ r+ −l l b′ r r= Nhưng ;a br r ĐLTT nên k k= ′ và
Như vậy cách viết c ka lbr= r+ r là duy nhất. Khi đó ta nói rằng vectơ cr được phân tích một cách duy nhất theo hai vectơ ĐLTT ar và br.
+ Định lí: Nếu ba vectơ ; ;a b cr r r ĐLTT thì mọi vectơ dur đều viết được một cách duy nhất dưới dạng: d ka lb mcur= r+ +r r và nói rằng vectơ dur được phân tích một cách duy nhất theo ba vectơ ; ;a b cr r r.