7. Cấu trúc của khóa luận
2.2.2. Không gian vectơ
a. Định nghĩa không gian vectơ
Giả sử V là một tập hợp mà các phần tử được kí hiệu bởi , , , ...,α β γur ur r K là một trường số. Trên V có một phép toán gọi là phép cộng hai phần tử của V , và phép toán thứ hai gọi là phép nhân một phần tử của V với một số thuộc trường K.
Tập hợp V cùng với hai phép toán này được gọi là một không gian vectơ trên trường K (hay một K- không gian vectơ) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn đối với mọi , ,α β γ ∈ur ur r V và mọi , ,r s l K∈ :
* (α βur ur+ ) + = +γ αr ur (β γur r+ )
* α β β αur ur ur ur+ = +
* Có một phần tử 0r∈V thỏa mãn điều kiện: αur r ur+ =0 α ;
* Với mỗi α ∈ur V có một phần tử, kí hiệu bởi (−αur), cũng thuộc V thỏa mãn điều kiện: αur+ − =( )αur 0r * r(α βur ur+ ) =rαur+rβur * (r s+ )αur=rαur+sαur * ( )rs αur=r s( )αur * 1.α αur ur= V
α ∈ur được gọi là một vectơ, 0r được gọi là vectơ không, (−αur) được gọi là vectơ đối của αur.
b. Định nghĩa vectơ
+ Vectơ là một đoạn thẳng đã định hướng, nghĩa là đã chỉ rõ điểm mút nào là điểm đầu và điểm mút nào là điểm cuối.
+ Vectơ 0r là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
+ Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của vectơ uuurAB (hay là mođul của vectơ uuurAB). Viết là uuurAB.
+ Hai vectơ gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
- Phép cộng
+ Định nghĩa: Tổng của hai vectơ ar và br là một vectơ được xác định như sau: Từ một điểm O tùy ý trong mặt phẳng dựng vectơ OA auuur r= . Rồi từ điểm A dựng vectơ uuur rAB b= . Vectơ c OBr uuur= gọi là vectơ tổng của hai vectơ ar và br. Kí hiệu
c a br r r= + . + Tính chất: g Tính chất giao hoán: a b b ar r r r+ = + g Tính chất kết hợp: ( )a br r+ + = + +c ar r ( )b cr r g Tính chất cộng với 0r : ar r r r+ = +0 0 a + Quy tắc thực hiện phép cộng : * Quy tắc ba điểm: uuur uuur uuurAB AC CB= +
AB AC CB− = uuur uuur uuur
(hiệu hai véctơ chung gốc) * Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD ta luôn có
AC = AB AD+ uuur uuur uuur
* Quy tắc trung điểm: Điểm M tùy ý, I là trung điểm của AB thì ta luôn có:
( )
1 2
MI = MA MB+ uuur uuur uuur
uur uur rIA IB+ =0
* Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta có: GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0 * Nếu G là trọng tâm của hệ n điểm A A1, , ...,2 An thì ta có:
1 2 ... n 0
GAuuur uuuur+GA + +GAuuuur r=
* Công thức hình hộp: Nếu ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ là hình hộp thì
AC′= AB AD AA+ + ′ uuuur uuur uuur uuur
* Điểm M nằm trên AB chia AB theo tỉ số k ≠1 khi đó ta có: MA k MBuuur= uuur. - Phép trừ :
+ Định nghĩa : Hiệu của hai vectơ ar và br là một vectơ xr sao cho: b x ar r r+ =
d. Phép nhân vectơ với một số.
+ Định nghĩa : Tích của một véc tơ ar với một số thực k là một vectơ kí hiệu là kar được xác định như sau :
g Vectơ kar cùng hướng với vectơ ar nếu k >0 và ngược hướng với vectơ ar nếu k <0.
g Độ dài của kar bằng k nhân với độ dài của vectơ ar. Nghĩa là . kar = k ar. + Tính chất : g 1.a ar r= ; 1.− ar= −ar gm na( )r =( )mn ar gm a b( )r r+ =ma nbr+ r g(m n a ma na+ ) r= r+ r gar r= ⇒0 kar r=0 g 0 0 0 a ka k = = ⇒ = r r r r gma na ar= r r r( )≠ ⇒ =0 m n gma mb mr= r( ≠ ⇒ =0) a br r