CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.7. Một số yêu cầu về dạy học nội dung PPTĐ trong mặt phẳng
1.7.3. Khả năng sử dụng PPDHKT vào phần PPTĐ trong mặt phẳng
- Thiết kế các tình huống kiến tạo các khái niệm phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, phương trình đường Elip.
- Áp dụng PPDHKT vào dạy các công thức tính khoảng cách, công thức tính góc giữa hai đường thẳng và một số bài toán điển hình trong chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Như đã nói ở trên, PPDHKT đã được các tác giả, nhóm tác giả nước ngoài cũng như các tác giả, nhóm tác giả trong nước đã nghiên cứu một cách khoa học. Trên cơ sở các nghiên cứu và yêu cầu dạy học phần PPTĐ trong
mặt phẳng chúng tôi xây dựng quy trình dạy học kiến tạo một số bài toán điển hình trong chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng như sau:
Bước 1: Tiếp cận kiến thức mới.
Bước 2: Trải nghiệm.
Bước 3: Hình thành kiến thức mới.
Bước 4: Củng cố.
TIỂU KẾT CHƯƠNG 1
Chương 1 của luận văn này đã trình bày cơ sở khoa học về lý thuyết kiến tạo và quá trình vận dụng nó vào dạy học toán. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng cố gắng đưa ra những phân tích cần thiết về thực trạng dạy học hiện nay, cũng như những yếu tố ảnh hưởng đến quá trình vận dụng thuyết kiến tạo vào dạy học. Đây là một phương pháp dạy học mang tính hiện đại, nó đáp ứng được những nhu cầu của xã hội hiện nay về đào tạo con người. Tuy nhiên, việc áp dụng thuyết kiến tạo vào dạy học đòi hỏi những điều kiện nhất định về mặt sư phạm, thời gian, sự chuẩn bị của người thầy… Để đáp ứng được những yêu cầu này, GV cần có những tìm hiểu, nghiên cứu về thuyết kiến tạo và việc ứng dụng nó vào dạy học.
Nhằm bổ sung vào nguồn tài liệu tham khảo trong việc ứng dụng thuyết kiến tạo vào dạy học, chúng tôi mong muốn đưa ra được những biện pháp thật cụ thể, chi tiết và việc làm này sẽ được trình bày ở chương sau.
CHƯƠNG 2: VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC KIẾN TẠO VÀO DẠY HỌC MỘT SỐ TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH TRONG
CHƯƠNG PPTĐ TRONG MẶT PHẲNG – HÌNH HỌC 10 2.1. Vận dụng phương PPDHKT vào dạy học khái niệm 2.1.1. Vị trí của khái niệm và yêu cầu của dạy học khái niệm
"Dạy học khái niệm toán học" là một trong các tình huống điển hình trong dạy học môn Toán. Việc dạy học các khái niệm toán học có vị trí quan trọng hàng đầu, một hệ thống các khái niệm toán học là nền tảng của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng cho người học.
Việc dạy học các khái niệm toán học ở trường THPT phải dần dần làm cho học sinh đạt được các yêu cầu sau:
- Nắm vữngcác nội hàm của khái niệm.
- Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc ngoại diên một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc ngoại diên một khái niệm cho trước.
- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm.
- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn.
- Nắm được mối quan hệ của khái niệm này với khái niệm khác trong hệ thống khái niệm.
Đây là các yêu cầu cơ bản của dạy học khái niệm. Tuy nhiên, với mỗi khái niệm, mức độ của các yêu cầu khác nhau. Chẳng hạn, khái niệm về
"hướng của vectơ" không được nêu thành định nghĩa một cách tường minh mà chỉ được diễn tả một cách trực quan dựa vào kinh nghiệm sống của học sinh. Nhưng với các khái niệm "véctơ pháp tuyến", "véctơ chỉ phương",
"phương trình tổng quát" của đường thẳng ,... thì lại yêu cầu học sinh phải phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận dụng được khi giải toán.
2.1.2. Những con đường tiếp cận khái niệm toán học 2.1.2.1. Con đường quy nạp
Theo con đường này, xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (như mô hình, hình vẽ, thí dụ cụ thể,...) giáo viên hướng dẫn học sinh bằng cách trừu tượng hóa và khái quát hóa tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở những trường hợp cụ thể, từ đó đi đến định nghĩa của khái niệm. Sau đó GV cho HS thực hiện các hoạt động củng cố khái niệm.
Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường diễn ra như sau:
- Giáo viên đưa ra một số ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại của một loạt đối tượng nào đó.
- Giáo viên dẫn dẫn học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tượng đang được xem xét.
- Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu định nghĩa khái niệm bằng cách nêu các tính chất đặc trưng của khái niệm.
Con đường này nên thực hiện khi:
- Trình độ nhận thức học sinh còn thấp.
- Vốn kiến thức còn chưa nhiều và thường được sử dụng trong điều kiện:
chưa phát hiện được một khái niệm nào làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn.
- Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm cần hình thành, do đó đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp.
Quá trình hình thành khái niệm theo con đường quy nạp có tác dụng phát triển những năng lực trí tuệ như trừu tượng hóa, khái quá hóa, so sánh thuận lợi cho hoạt động tích cực của học sinh. Tuy nhiên, con đường này đòi hỏi phải tốn nhiều thời gian và cần có các điều kiện đã nói trên.
2.1.2.2. Con đường suy diễn
Con đường thứ hai là con đường suy diễn, trong đó định nghĩa khái niệm mới xuất phát từ định nghĩa của khái niệm mà học sinh đã biết.
Giáo viên đưa ra các ví dụ, phản ví dụ, các bài tập củng cố, các vấn đề trong đó khái niệm được sử dụng như là công cụ giải quyết hay thực hiện nghiên cứu các tính chất khác của khái niệm,...
Theo con đường này, ngay từ đầu khái niệm đã xuất hiện với cơ chế đối tượng và dưới hình thức khái niệm “ toán học ”.
Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường diễn ra như sau:
- Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một số đặc điểm mà ta quan tâm.
- Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó.
- Đưa ra ví dụ đơn giản minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa Con đường này nên thực hiện khi:
- Trình độ nhận thức của học sinh đã khá hơn.
- Vốn kiến thức đã nhiều lên.
- Phát hiện ra một khái niệm làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn.
Con đường hình thành khái niệm này có tác dụng tốt để phát huy tính chủ động và sáng tạo cho học sinh, tiết kiệm thời gian. Tuy nhiên con đường này hạn chế phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh...
2.1.2.3. Con đường kiến thiết
Là con đường mà ta nêu lên những đặc điểm bản chất của đối tượng thông qua phương thức tạo thành khái niệm.
Tiếp cận khái niệm theo con đường kiến thiết:
- Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được hình thành hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ toán học hay từ thực tiễn.
- Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện đi tới đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành.
- Phát biểu định nghĩa được gợi ý do kết quả bước trên.
Ưu điểm: Thuận lợi cho việc khơi dậy hoạt động tự giác, tích cực của học sinh và rèn luyện cho họ khả năng giải quyết vấn đề trong quá trình tiếp cận khái niệm.
Hạn chế: Dài, tốn nhiều thời gian.
Con đường kiến thiết được sử dụng trong các điều kiện học sinh chưa định hình được các đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm Do đó con đường quy nạp không thích hợp hoặc học sinh chưa phát hiện được một khái niệm loại nào phù hợp với khái niệm cần định nghĩa làm xuất phát cho con đường suy diễn.
2.1.3. Vận dụng PPDH kiến tạo vào dạy học một số khái niệm chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
- Trong dạy học toán ở trường THPT, việc nắm vững các khái niệm toán học là một yêu cầu quan trọng. Các khái niệm toán học chỉ được hình thành một cách vững chắc nếu học sinh tích cực và chủ động tham gia vào quá trình xây dựng nên chúng. Chúng tôi cụ thể hóa quy trình đã nêu ở chương 1(trang 28) vào tình huống dạy học khái niệm như sau:
Bước 1: Tiếp cận khái niệm mới.
Bước 2: Trải nghiệm.
Bước 3: Định nghĩa khái niệm mới.
Bước 4: Củng cố.
- Tiếp cận khái niệm mới: Là cho học sinh giải các bài toán hoặc tham gia vào các tình huống học tập để tiếp cận các khái niệm cần định nghĩa.
- Trải nghiệm là giúp học sinh xác định tính đúng đắn của các phán đoán của họ về những thuộc tính đặc trưng của khái niệm. Trong bước này ta có thể sử dụng đưa các tình huống thông qua các ví dụ. Sau khi học sinh đã chỉ ra được dấu hiệu bản chất của bài toán giáo viên có thể cho học sinh giải các bài toán.
- Định nghĩa khái niệm mới: Sau khi đã cho học sinh tham gia vào các tình huống học tập để tìm hiểu các dấu hiệu đặc trưng của khái niệm thì giáo viên cần hướng dẫn học sinh định nghĩa khái niệm. Việc quan trọng trong định nghĩa khái niệm là việc dùng các thuật ngữ toán học một cách chính xác để diễn tả những dấu hiệu đặc trưng nhất của khái niệm đó.
- Củng cố khái niệm là hoạt động giúp học sinh nắm được khái niệm một cách sâu sắc từ đó giúp học sinh vận dụng làm tốt các bài tập mà giáo viên đề ra. Để cũng cố khái niệm giáo viên có thể tiếp tục cho học sinh tham gia vào các tình huống học tập. Giáo viên tạo điều kiện để học sinh trao đổi, thảo luận, đánh giá từ đó giúp học sinh vận dụng khái niệm giải quyết các tình huống đặt ra một cách linh hoạt.
Ta thấy quy trình này có phần tương tự cách tiếp cận khái niệm theo con đường quy nạp. Nhưng thực tế có nhiều khác biệt bởi quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường quy nạp là giáo viên phải hướng dẫn học sinh phân tích so sánh để nêu những đặc điểm chung của đối tượng được xem xét.
Giáo viên gợi mở để học sinh định nghĩa khái niệm và thường được sử dụng khi nhận thức của học sinh còn thấp. Ngược lại khi dạy khái niệm theo PPDHKT thì quá trình tiếp cận khái niệm được học sinh tự tìm ra dưới sự hướng dẫn của giáo viên, đồng thời xây dựng khái niệm mới từ những kiến thức đã có. Đặc biệt khi đó học sinh phải có một trình độ nhận thức tương đối tốt về khái niệm có liên quan đến khái niệm cần định nghĩa.
Sau đây chúng tôi trình bày một số ví dụ cụ thể:
2.1.4.1. Vận dụng PPDHKT vào dạy học khái niệm phương trình đường thẳng
Ví dụ 2.1: Vận dụng PPDHKT vào dạy học khái niệm phương trình tham số của đường thẳng.
Bước 1: Tiếp cận khái niệm phương trình tham số của đường thẳng.
Cho đường thẳng ∆ qua điểm A(1;1) ; B(-2 ;3) học sinh trả lời các câu hỏi sau:
- Hãy tính vectơAB ?
- Vectơ AB đóng vai trò gì đối với đường thẳng ∆ ? - Khi nào điểm M thuộc đường thẳng AB?
- Hãy tìm điều kiện của điểm M(x;y) bất kì để vectơ AB và vectơAM cùng phương?
Bước 2: Trải nghiệm.
HS: - AB(−3; 2)
- Vectơ AB là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
- M thuộc đường thẳng AB ⇔Vectơ AB và VectơAM cùng phương
( )
1 3 1 2
x t
t R
y t
− = −
⇔ ∈
− =
Hay 1 3 ( )
1 2
x t
t R
y t
= −
∈
= +
GV:- 1 3 ( )
1 2
x t
t R
y t
= −
∈
= + là phương trình tham số của đường thẳng ∆ . - Vectơ AB(−3; 2)
là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
- A( )1;1 ∈ ∆
Bước 3: Định nghĩa phương trình tham số của đường thẳng.
Một cách tổng quát, hãy phát biểu định nghĩa phương trình tham số của đường thẳng ?
HS: Hệ phương trình 0 1 ( )
0 2
x x u t t R y y u t
= +
∈
= +
được gọi là phương trình tham số
của đường thẳng đi qua M0( ;x y0 0) có vectơ chỉ phương u(u1;u2)( trong đó t là tham số )
Bước 4: Củng cố.
Câu hỏi: Để viết được phương trình tham số của đường thẳng, ta cần những yếu tố gì?
HS: Trả lời
GV chốt lại - Tìm một điểm thuộc đường thẳng.
-TìmVTCP.
Cho HS ví dụ minh họa để củng cố khái niệm phương trình tham số của đường thẳng.
Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ qua điểm A(3;4) ; B(5 ;7)
Lời giải mong muốn:
- Ta có vectơAB(2; 3)
?
- Đường thẳng ∆ qua điểm A(3;4) nhận AB là vectơ chỉ phương có phương trình tham số là 3 ( )
4 3
x t
t R
y t
= +
∈
= +
Bài 2: Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số là 6 ( )
1 3
x t
t R
y t
= −
∈
= − +
a.Tìm một điểm thuộc đường thẳng ∆.
b.Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
HS phải trình bày được:
a. Có M(6;-1) thuộc ∆.
b.vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là u(−1; 3)
Ta thấy ở bước 1 giúp HS tiếp cận khái niệm phương trình tham số của đường thẳng. Tại bước 2 giúp học sinh nhận định rằng muốn viết phương trình tham số của đường thẳng phải tìm được một điểm mà đường thẳng đó đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó . Bước 3 cho thấy khái niệm phương trình tham số của đường thẳng được kiến tạo từ những tình huống cụ
thể. Bước 4 thể hiện HS viết được phương trình tham số của đường thẳng khi biết yếu tố cho trước và ngược lại.
Ví dụ 2.2. Vận dụng PPDH kiến tạo vào dạy học phương trình tổng quát của đường thẳng.
• Tình huống 1
Bước 1: Tiếp cận khái niệmphương trình tổng quát của đường thẳng Cho đường thẳng ∆ qua điểm A(3;2) ; B(-1;4) học sinh trả lời các câu hỏi sau:
- Hãy tính vectơAB ?
- Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ ?
- Tìm điều kiện của vectơ AM và vectơ n để M thuộc đường thẳng AB?
Bước 2: Trải nghiệm.
Hs: - AB(−4; 2)
- Vectơ n ⊥AB nên chọn n(2; 4)
.Vectơ n có là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.
- Vectơ AM x( −3;y−2)
và vectơn vuông góc với nhau ⇔AM n. =0
( ) ( )
2 x 3 4 y 2 0
⇔ − + − = hay ⇔2x+4y−14=0
GV:- 2x+4y−14=0là phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ . - Vectơ n(2; 4)
là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.
- A 3; 2 ( ) ∈ ∆
Bước 3: Định nghĩa phương trình tổng quát của đường thẳng
Một cách tổng quát, hãy phát biểu định nghĩa phương trình tổng quát của đường thẳng ?
HS: Đường thẳng đi qua M x y0( ;0 0) có vectơ pháp tuyến n a b( ; ) có phương trình là a x( −x0)+b y( −y0)=0.
Hay Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0
được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Bước 4: Củng cố.
Câu hỏi: Để xác định phương trình tổng quát của đường thẳng cần biết những yếu tố gì?
HS: Trả lời
GV chốt lại - Tìm một điểm thuộc đường thẳng.
- TìmVTPT.
Cho HS ví dụ minh họa để củng cố khái niệm phương trình tổng quát của đường thẳng
Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ qua điểm A(3;1) và nhận n(2; 5− )
làm vectơ pháp tuyến.
Lời giải mong muốn:
- Đường thẳng ∆ qua điểm A(3;1) nhậnn(2; 5− )
làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là2(x−3)−5(y−1)=0 hay2x−5y− =1 0 .
Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua A(-2;3) và vuông góc với d: 5 2 ( )
1
x t
t R
y t
= −
∈
= − +
Lời giải mong muốn:
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u(−2;1)
Đường thẳng ∆ đi qua A(-2;3) và vuông góc với d: 5 2 ( )
1
x t
t R
y t
= −
∈
= − +
nên
nhậnu(−2;1)
làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là −2x+ − =y 7 0.
• Tình huống 2
Từ một khái niệm đã biết, dùng phép suy diễn để đi đến một khái niệm mới.
Bước 1: Tiếp cận khái niệm phương trình tổng quát của đường thẳng.
Cho đường thẳng ∆ qua điểm A(1;1); B(-2 ;3) học sinh trả lời các câu hỏi sau:
- Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆.
- Biểu diễn thành một biểu thức đại số chỉ chứa x và y.
Bước 2: Trải nghiệm.
HS : Phương trình tham số của đường thẳng AB 1 3 ( )
1 2
x t
t R
y t
= −
∈
= + (1) GV : Rút t trong hệ (1)
HS :
1 3
1 2 t x
t y
−
= −
−
=
hay 1 1
3 2
x− y−
=
−
Khi đó ta có 2(x−1) 3(+ y−1)=0.
Hay 2x+3y− =5 0.
GV:- 2x+3y− =5 0 là phương trình tham số của đường thẳng ∆.
- Vectơ n(2; 3)
là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.
- A( )1;1 ∈ ∆.
Bước 3: Định nghĩa phương trình tổng quát của đường thẳng.
Một cách tổng quát, hãy phát biểu định nghĩa phương trình tổng quát của đường thẳng ?
HS: Đường thẳng đi qua M x y0( ;0 0) có vectơ pháp tuyến n a b( ; ) có phương trình là a x( −x0)+b y( −y0)=0.
Hay Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Bước 4: Củng cố.
Câu hỏi: Để xác định phương trình tham số của đường thẳng cần biết những yếu tố gì?
HS: Trả lời.
GV chốt lại - Tìm một điểm thuộc đường thẳng.
- TìmVTPT.
Cho HS ví dụ minh họa để củng cố khái niệm phương trình tổng quát của đường thẳng.
Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ qua điểm A(2;0) có vec tơ chỉ phương n(1; 4)
Lời giải mong muốn:
-Đường thẳng ∆ có vec tơ chỉ phương n(1; 4)nên có vectơ pháp tuyến là
(4; 1)
u −
- Đường thẳng ∆ qua điểm A(2;0) nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là2(x−3)−5(y−1)=0 hay 2x−5y− =1 0.
Dù dạy học khái niệm phương trình tổng quát của đường thẳng theo tình huống nào thì PPDH kiến tạo giúp học sinh được xây dựng kiến thức mới từ những kiến thức đã biết.
Sau khi dạy xong khái niệm phương trình tham số của và phương trình tổng quát của đường thẳng nên cho học sinh làm một số bài tập cùng cố các khái niệm trên.
* Mục đích: Kiểm tra xem học sinh đã biết vận dụng khái niệm phương trình đường thẳng hay chưa?
Bài tập 1. Cho đường thẳng d có phương trình 5x + 2y - 7 = 0. Hãy tìm véc tơ chỉ phương của d, tìm tọa độ một điểm thuộc d và chuyển phương trình đường thẳng d về dạng tham số.
* Lời giải mong muốn:
Véc tơ chỉ phương của d là u(2; 5− )
.
Lấy một điểm thuộc d là M(1;1).
Phương trình tham số của đường thẳng d là 1 2 ( )
1 5
x t
t R
y t
= +
∈
= −
Bài tập 2. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M(3;5) và vuông góc với đường thẳng ∆: 2x + y - 8 = 0.