CHƯƠNG 2: VẬN DỤNG PPDHKT VÀO MỘT SỐ TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH TRONG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – HÌNH HỌC 10
2.3. Vận dụng phương pháp dạy học kiến tạo vào dạy học bài tập
2.3.2. Cách dạy bài tập tìm tòi lời giải của bài toán theo quan điểm kiến tạo 63 TIỂU KẾT CHƯƠNG 2
Theo quan điểm của lý thuyết kiến tạo, chúng tôi cụ thể hóa quy trình đã nêu ở chương 1(trang 28) vào tình huống dạy học giải một bài tập toán học như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
Bước 2: Dự đoán cách giải.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán.
Bước 4: Củng cố.
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
Trong bước này giáo viên có thể gợi động cơ mở đầu để gây hứng thú cho học sinh khi tiếp cận bài toán.
Bước 2: Dự đoán cách giải.
Trong bước này giáo viên tổ chức cho học sinh các hoạt động tương tự như hoạt động ở phần tìm hướng chứng minh định lý.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán.
Đây chính là quá trình học sinh thích nghi (bằng cách tiến hành con đường giải bài toán đó) để thu được tri thức mới (lời giải bài toán).
Trong bước này giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện các hoạt động sau đây:
- Nêu các bước giải bài toán dưới dạng sơ đồ.
- Dựa vào sơ đồ yêu cầu học sinh tự trình bày lời giải bài toán.
Bước 4: Củng cố
Trong bước này giáo viên tổ chức cho học sinh thực hiện các công việc sau:
- Nhìn lại lời giải bài toán.
- Giải các bài toán có cách giải tương tự với bài toán ban đầu hoặc các bài toán áp dụng ngay kết quả của bài toán ban đầu.
- Khai thác mở rộng bài toán.
- Giải bài toán nâng cao hoặc các bài toán thực tế liên quan đến bài toán ban đầu.
- Tìm hiểu và xác định quan hệ của bài toán vừa học với tri thức khác.
Ví dụ 2.8: Vân dụng PPDH kiến tạo vào giải bài toán tìm điểm đối xứng với một điểm qua đường thẳng:
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x+ − =y 5 0và M(2;5) . Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua d
Bước1: Tìm hiểu nội dung bài toán
GV: Nhận xét điểm M’ đối xứng với M qua d theo hình học phẳng?
HS: M’ đối xứng với M qua d MM' d
H d
⊥
⇔ ∈ với H là hình chiếu của M trên d.
GV:Trong mặt phẳng tọa độ để tìm tọa độ M’
B 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M trên d
B 2 : M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’
Bước 2: Dự đoán cách giải
GV:Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và vuông góc d ? HS: ∆:x−2y+ =8 0
GV: Điểm H là giao điểm của d và ∆?
HS:Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ:
2
2 8 0 5
2 5 0 21
5 x y x
x y
y
=
− + =
⇔
+ − =
=
GV: Sử dụng tích chất trung điểm tìm ra tọa độ M’.
'
'
2 2
M M
H
M M
H
x x
x
y y
y
+
=
+
=
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
Đường thẳng ∆ qua M và vuông góc d có phương trình∆:x−2y+ =8 0
Giả sử H là hình chiếu của M trên d Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ:
2 8 0
2 5 0
x y
x y
− + =
+ − =
2 5 21
5 x y
=
⇔
=
Vậy H 2 21; 5 5
.
Vì M’(x;y) đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’. Ta có
2 2 6
2 5 5
5 21 17
2 5 5
x
x y
y
+ −
= =
⇔
+ = =
Vậy ' 6 17; 5 5 M −
Bước 4: Củng cố
GV: Hãy kiểm tra lập luận và tính đúng sai của bài toán trên?
GV: Ta có thể áp dụng cách giải này đối với một số bài toán tương tự như:
Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M(3;2) qua d biết a. d x: +3y− =1 0
b. : 2 3 ( )
2
x t
d t R
y t
= +
∈
= +
c. y=2x+1
GV có thể chia lớp học thành các nhóm, rồi giao nhiệm vụ cho mỗi nhóm giải một phần, sau một khoảng thời gian nhất định thì kiểm tra kết quả làm việc của từng nhóm đồng thời sửa chữa sai lầm (nếu có).
HS: (HS tự giải)
GV: Qua các ví dụ trên, khái quát các bước tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm cho trước qua một đường thẳng.
HS: Các bước thực hiện
- Viết phương trình đường thẳng qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d cho trước.
- Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M trên d.
- Sử dụng tính chất H là trung điểm của MM’ để suy ra tọa độ M’.
Trước một bài tập toán, sau khi nêu vấn đề, giáo viên cho học sinh thảo luận để tìm hiểu bài toán. Học sinh cần phải phân tích đề bài để hiểu rõ nội dung, phân biệt được cái đã cho, cái phải tìm, điều kiện cho trước có đủ để xác định được cái cần tìm hay không? Tiếp đó giáo viên cho học sinh đề xuất các phán đoán để xây dựng các bước để giải bài tập đó. Trong quá trình học tập giáo viên cho học sinh trao đổi, thảo luận, đánh giá về các phán đoán đã đưa ra. Lựa chọn phán đoán, phương pháp giải thích hợp bằng cách cho phép đại diện học sinh hoặc nhóm học sinh lên trình bày quan điểm, đường lối giải của nhóm mình. Các học sinh khác có thể lắng nghe, theo dõi, so sánh đối với lời giải của mình, bổ sung hoặc bác bỏ nếu cảm thấy cần thiết. Giáo viên lựa chọn phán đoán mà đại đa số học sinh trong lớp đều nhất trí thống nhất và là phán đoán hợp lý nhất.
Tiếp theo, giáo viên tổ chức và điều khiển cho học sinh trong lớp trao đổi kiểm nghiệm lời giải bài toán bằng các lập luận logic, khoa học. Giáo viên có thể gợi ý học sinh bằng cách đặt ra các câu hỏi như:
- Các em có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán không?
- Các em có thể tìm được một cách giải khác không?
- Các em có thể sử dụng một kết quả hay một phương pháp đó cho một lớp các bài toán khác không?
- Từ lời giải toán này các em có thể phân loại được các dạng toán tổng quát không?
Mục đích của việc kiểm nghiệm lời giải để đánh giá mức độ đạt được về năng lực hay đó là kiến thức, kỹ năng, thái độ của học sinh sau khi học lý thuyết vận dụng vào làm bài tập. Từ đó cũng chuẩn bị sẵn tâm thế cho học sinh học tập tốt những phần kiến thức tiếp theo. Tiếp đó giáo viên cho học sinh củng cố kiến thức, những điều lưu ý quan trọng khi giải xong bài tập.
Giáo viên có thể tiến hành sử dụng các bài kiểm tra ngắn để thu thập các thông tin phản hồi từ phía học sinh để có thể đưa ra đánh giá học sinh một cách chính xác. Theo tôi trong quá trình dạy học bài tập toán nói chung, phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nói riêng giáo viên có thể đưa ra các bài toán có lời giải sai sau đó giúp cho học sinh tìm ra nguyên nhân sai lầm và cách khắc phục.
Ví dụ 2.9: Vận dụng PPDH kiến tạo vào bài toán quỹ tích điểm.
Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn
2 2
( ) :C x +y −2(m−1)x−4my+3m+11=0
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
GV: ( ) :C x2+y2−2(m−1)x−4my+3m+11=0 có là phương trình đường tròn không ?
HS: ( ) :C x2+y2−2(m−1)x−4my+3m+11=0chỉ là phương trình đường tròn khi thỏa mãn điều kiện (m−1)2+(2 )m 2−3m−11>0.
Bước 2: Dự đoán cách giải
GV:Trước tiên tìm điều kiện để (C) là phương trình đường tròn?
HS: (m−1)2+(2 )m 2−3m−11>0⇔5m2−5m−10>0.
2 2
2 0
1 m m m
m
>
⇔ − − > ⇔ < −
GV .Có thể tìm được tọa độ tâm đường tròn hay không ? HS:Có thể tìm được I 1
2 x m y m
= −
=
GV: Khử m trong hệ trên để được hàm chứa x và y hay không ?
HS: 1
2 m x y m
= +
= ⇔ y=2x+2
Bước 3: Trình bày lời giải của bài toán.
GV: Em hãy tìm điều kiện để tồn tại tâm của đường tròn?
HS: 2 ( )1 1 m m
>
< −
Giả sử ( C) có tâm I(x y; )khi đó ta có 1
2 x m y m
= −
=
1
2 2 2
m x
y x m y
= +
⇔ ⇔ = +
=
Kết hợp với (1) ta có tập hợp tâm của
2 2
( ) :C x +y −2(m−1)x−4my+3m+11=0 là một phần của d:
2 2 4
2
y x
y y
= +
>
< −
Bước 4: Củng cố
GV: Ta có thể áp dụng cách giải này đối với một số bài toán tương tự như:
Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn a. ( ) :C x2+y2−2mx−4(m+1)y+3m+14=0
b. ( ) :C x2+y2−2mx−2m y2 +2=0
c. ( ) :C x2+y2+mx−m m( +2)y−2m2−4=0
GV có thể chia lớp học thành các nhóm, rồi giao nhiệm vụ cho mỗi nhóm giải một phần, sau một khoảng thời gian nhất định thì kiểm tra kết quả làm việc của từng nhóm đồng thời sửa chữa sai lầm (nếu có).
HS: (HS tự giải)
GV: Qua các ví dụ trên, khái quát các bước tìm tập hợp tâm đường tròn và lưu ý những sai lầm?
HS: Các bước thực hiện
- Tìm giá trị của m để tồn tại tâm I (1)
- Tìm tọa độ tâm I. Giả sử I( ; ): ( )
( ) x f m x y y g m
=
=
- Khử m giữa x và y ta được phương trình F(x;y) = 0
- Giới hạn: dựa vào điều kiện của m ở (1). để giới hạn miền của x hoặc y (2)
- Kết luận phương trình tập hợp điểm là F(x;y) = 0 cùng phần giới hạn (2)
Ví dụ 2.10: Vân dụng PPDH kiến tạo vào giải bài toán viết phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng qua M(2;1) và tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
GV: Hãy liên hệ bài toán với lý thuyết phương trình đường thẳng theo đoạn chắn?
HS: Nếu d cắt Ox tại A(a;0) và cắt Oy tại B(0;b) thì phương trình đường thẳng AB là x y 1;(a b. 0)
a+b = ≠
GV: Hãy tìm VTCP của ∆ ? HS: VTCP của ∆ là u(3;1)
Bước 2:Dự đoán cách giải.
GV: Giả sử d cắt Ox tại A(a;0) và cắt Oy tại B(0;b) thì phương trình đường thẳng d là x y 1;(a b. 0)
a+b = ≠ . M(2;1) thuộc d ta có được điều gì?
HS:M 2;1( ) d 2 1 1 1( )
a b
∈ ⇒ + =
GV: d tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân ta có điều kiện nào ? HS: a = b( )2
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
GV: Nêu sơ đồ các bước giải bài toán trên.
HS:
- B 1: Giả sử d: x y 1;(a b. 0)
a+b = ≠ điểm M x y( 0; 0)∈d⇒ phương trình (1) - B 2: d tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân ⇒ phương trình (2) - B 3: Từ (1)và (2) suy ra kết quả bài toán
Lời giải mong muốn
Giả sử d cắt Ox tại A(a;0) và cắt Oy tại B(0;b) thì phương trình đường thẳng d là x y 1;(a b. 0)
a+b = ≠
( ) 2 1 ( )
M 2;1 d 1 1
a b
∈ ⇒ + =
d tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân⇒ a = b( )2
Từ (1)và (2) ta có
2 1
1 3
2 1 2 1 1
3 1
2 1 1
1
1 a b a
a b b
a b a b
a b a
a b
a b a b b
a b
+ =
=
+ =
+ = = =
⇔ ⇔ ⇔
= =
= + =
= − = −
= −
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán làx+y− =3 0 và
1 0 x−y− =
Bước 4: Củng cố
- Kiểm tra tính chính xác lời giải bài toán trên.
GV: Ta có thể áp dụng cách giải này đối với một số bài toán tương tự như:
Viết phương trình của đường thẳng ∆ trong các trường hợp sau
a.Đi qua A(-1;-7) và cát Ox, Oy lần lượt tai A vầ B sao cho OA= 2OB.
b.Đi qua A(2;-7) và tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 9.
c.Là các cạnh của tam giác ABC biết B(-4 ;-5) và hai đường cao có pt :
5x + 3y – 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0 .
GV có thể chia lớp học thành các nhóm, rồi giao nhiệm vụ cho mỗi nhóm giải một phần, sau một khoảng thời gian nhất định thì kiểm tra kết quả làm việc của từng nhóm đồng thời sửa chữa sai lầm (nếu có).
HS: (HS tự giải)
Với phần củng cố ta thấy phần a. là bài toán có cách giải tương tự với bài toán ban đầu.
- Phần b. là khai thác mở rộng bài toán ban đầu có sử dụng công thức tính diện tích tam giác.
- Phần c. là bài toán mở rộng so với bài toán ban đầu bằng cách không sử dụng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
Ví dụ 2.11: Vân dụng PPDH kiến tạo vào giải bài toán tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Trong mặt phẳng Oxy cho A(3;2) và đường thẳng d x: +3y− =8 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho AM = 1.
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
GV: Hãy chuyển phương trình d về dạng tham số?
HS: : 2 3 ( )
2
x t
d t R
y t
= +
∈
= −
GV: Điều kiện AM = 1 thể hiện bằng biểu thức nào?
HS: Biểu diễn tọa độ điểm M theo tham số t và tính độ dài AM bằng 1.
Bước 2:Dự đoán cách giải.
GV:Giả sử M∈d M, (2+3 ; 2t −t) hãy tìm tọa độ AM và độ dài đoạn AM.
HS: tọa độ véc tơAM(3t−1;−t)
; độ dài đoạn AM = 10t2−6t+1 GV: Giải phương trình AM = 1 tìm được t.
HS: Giải hệ phương trình trên và kết luận.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán.
GV: Nêu sơ đồ các bước giải bài toán trên.
HS:
- B 1: Giả sử lấy tọa độ điểm M thuộc d có tham số t.
- B 2: Từ giả thiết bài toán tìm được phương trình chứa tham số t.
- B 3: Giải phương trình tìm được t rồi suy ra kết quả bài toán Lời giải mong muốn:
Ta có phương trình tham số của : 2 3 ( )
2
x t
d t R
y t
= +
∈
= − Giả sử M∈d M, (2+3 ; 2t −t). Ta cóAM(3t−1;−t)
; AM = 10t2−6t+1
Theo giả thiết 2 2
0
1 10 6 1 1 10 6 0 3
5 t
AM t t t t
t
=
= ⇔ − + = ⇔ − = ⇔
=
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán làM1(2; 2) và 1 19 7; M 5 5
Bước 4: Củng cố.
- Kiểm tra tính chính xác lời giải bài toán trên.
GV: Ta có thể áp dụng cách giải này đối với một số bài toán tương tự như:
Trong mặt phẳng Oxy, tìm tọa độ điểm M trong các trường hợp sau:
a. M ∈d: 2x+5y− =3 0và M cách đều hai điểm A(2;3 ; (4;1)) B .
b. M∈Oxsao cho MA+2MB+3MC đạt giá trị nhỏ nhất với (2; 3 ; ( 4;1); ( 2; 5))
A B − C − .
c. : 1 2 ( )
2
x t
M d t R
y t
= −
∈ ∈
= − −
sao cho MA MB+ đạt giá trị nhỏ nhất với (2;3 ; (1;5))
A B .
GV chia lớp học thành 3 nhóm, rồi giao nhiệm vụ cho mỗi nhóm giải một phần, sau một khoảng thời gian nhất định thì kiểm tra kết quả làm việc của từng nhóm đồng thời sửa chữa sai lầm (nếu có).
HS: (HS tự giải)
Với phần củng cố ta thấy phần a. là bài toán có cách giải tương tự với bài toán ban đầu.
-Phần b. là khai thác mở rộng bài toán tìm tọa độ điểm M quy về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số, tuy nhiên liên quan đến cả bài toán tìm tổng các véc tơ .
- Phần c. là bài toán nâng cao so với bài toán phần b, đối với bài toán này còn có thể mở rộng sang cách giải khác có sử dụng việc so sánh vị trí tương đối của hai điểm A và B so với d rồi sử dụng tính chất trong hình học phẳng MA MB+ ≥AB.
Một bài toán tương tự cũng áp dụng phương pháp dạy học kiến tao.
Bài tập 1. Cho hai điểm A(2; –4), B(–6; 2). Tìm tập hợp các điểm M(x; y) sao cho:AM2+BM2=100
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
GV: Giả sử M(x;y) Tìm biểu thức đại số cho giả thiết AM2+BM2=100? HS: tính AM BM2, 2theo x và y
Bước 2: Dự đoán cách giải.
GV:Giả sử M(x;y) hãy tìm tọa độ AM BM;
và Tính độ dài đoạn AM, BM
HS: Tọa độ véc tơAM x( −2;y+4)
; độ dài đoạn AM = (x−2)2+(y+4)2
Tọa độ véc tơBM x( +6;y−2)
; độ dài đoạn BM = (x+6)2+(y−2)2
GV: Hãy kết nối giả thiết AM2+BM2 =100với AM = (x−2)2+(y+4)2
và BM = (x+6)2+(y−2)2
?
HS: Giải hệ phương trình trên và kết luận tập hợp điểm M.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán.
GV: Nêu sơ đồ các bước giải bài toán trên.
HS:
- Bước 1: giả sử lấy tọa độ điểm M bất kì, M(x;y).
- Bước 2: Từ giả thiết bài toán tìm được phương trình chứa x và y.
- Bước 3: Tìm phương trình thể hiện mối quan hệ giữa x và y rồi suy ra kết luận bài toán.
Lời giải mong muốn
Giả sử M(x;y). ta cóAM x( −2;y+4)
; độ dài đoạn ( 2)2 ( 4)2
AM = x− + y+
( 6; 2)
BM x+ y−
; độ dài đoạn BM = (x+6)2+(y−2)2
Theo giả thiết AM2+BM2 =100 nên ta có (x−2)2+(y+4)2+(x+6)2+(y−2)2 =100
( )2 ( )2
2 2 4 2 40 0 2 1 25
x +y + x+ y− = ⇔ x+ + y+ =
Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn có phương trình
(x+2)2+(y+1)2 =25 Bước 4: Củng cố.
- Kiểm tra tính chính xác lời giải bài toán trên.
GV: Ta có thể áp dụng cách giải này đối với một số bài toán tương tự như:
Trong mặt phẳng Oxy, Tìm tập hợp các điểm M(x; y):
a. Biết AM BM.=4với hai điểm A(2; 3), B(–2; 1).
b. Biết M là tâm của đường tròn (C), với (C) tiếp xúc với đường thẳng
d: 6x−8y+15=0 và có bán kính R = 3.
c. Sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ đó đến hai đường thẳng d và d′ bằng 9 với d x: − + =y 3 0,d′:x+ = =y 1 0
GV chia lớp học thành 3 nhóm, rồi giao nhiệm vụ cho mỗi nhóm giải một phần, sau một khoảng thời gian nhất định thì kiểm tra kết quả làm việc của từng nhóm đồng thời sửa chữa sai lầm (nếu có).
HS: (HS tự giải)
Với phần củng cố ta thấy phần a. là bài toán có cách giải tương tự với bài toán ban đầu, sử dụng tích vô hướng 2 véc tơ ta có tập hợp điểm M là đường tròn.
-Phần b. là khai thác mở rộng bài toán tìm tập hợp điểm M có sử dụng công thức tính khoảng cách .
- Phần c. là bài toán tương tự với bài toán phần b.
Ví dụ 2.12: Vân dụng PPDH kiến tạo vào giải bài toán sơ cấp có ứng dụng tọa độ.
Một số bài toán trong hình học phẳng có rất nhiều tính chất đặc biệt chủ yếu là sử dụng quan hệ vuông góc nhưng việc giải bài toán gặp rất nhiều khó khăn. Vì vậy xây dựng hệ tọa độ hợp lý là điều rất cần thiết trong việc giải bài toán đó. Kết hợp với phương pháp dạy học kiến tạo đưa những kiến thức trừu tượng thành kiến thức quen thuộc gần gũi hơn với học sinh.
Cho hai hình vuông ABCD và AB’C’D’cùng chiều. Chứng minh rằng các đường thẳng BB’,CC’, DD’ đồng quy
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán .
GV: Bài toán này nếu sử dụng phương pháp tổng hợp thì khá rắc rối.
Tuy nhiên nếu sử dụng phương pháp tọa độ thì khá đơn giản để áp dụng phương pháp tọa độ đầu tiên ta giúp học sinh xây dựng một hệ tọa độ Oxy cho bài toán.
HS: Ở bài toán này ta có thể chọn hệ trục Oxy sao cho hình vuông ABCD có hai cạnh nằm trên hai trục này.
GV: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh chúng cùng đi qua 1 điểm.
Bước 2: Dự đoán cách giải.
GV: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta làm thế nào ?
HS: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh chúng cùng đi qua 1 điểm.
GV:
Yêu cầu HS vẽ hình và chọn hệ trục tọa độ
HS:Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho A(0;0), B(0;1),D(1;0) suy ra C(1;1) GV:Gọi B’(a;b), hãy tìm tọa độ C’, D’ và phương trình các đường thẳng AA’, BB’, CC’?
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
GV: Nêu sơ đồ các bước giải bài toán trên.
HS:
- B 1: Chọ hệ trục Oxy sao cho các yếu tố trong bài toán dễ dàng xác định
- B 2: Từ giả thiết bài toán ban đầu tìm được các yếu tố tương úng trong hệ tọa độ.
- B 3: Giải bài toán trong hệ Oxy rồi suy ra kết luận bài toán ban đầu.
Lời giải mong muốn:
Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho A(0;0), B(0;1),D(1;0) suy ra C(1;1)
A B(0;1)))00)
C(1;1)
D(1;0) B’
C’
D’