Dự án học tập số 1

Chương 2. TỔ CHỨC MỘT SỐ DỰ ÁN HỌC TẬP GẮN VỚI THỰC TIỄN

2.3. Tổ chức thực hiện một số dự án

2.3.1. Dự án học tập số 1

 Tên dự án : Vận dụng kiến thức về bất đẳng thức Cô si trong giải quyết các vấn đề thực tiễn.

 Nhóm kiến thức: Đại số lớp 10.

 Thời gian: 10 ngày.

 Yêu cầu về sản phẩm dự án

Sản phẩm của 2 dự án phải đảm bảo các yêu cầu sau:

* Tài liệu lý thuyết:

- Hình thức trình bày: Gồm các phần giới thiệu về dự án, mục lục, phần nội dung và phần kết luận. Sử dụng font chữ Times New Roman hoặc Arial, cỡ chữa 13, có minh họa hình ảnh.

60

- Nội dung: Trình bày những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Cô-si; xác định những dấu hiệu thường gặp của bài toán để sử dụng bất đẳng thức Cô-si;

những dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có sử dụng bất đẳng thức Cô-si; quy trình giải một bài toán bằng bất đẳng thức Cô-si trong chương trình Đại số lớp 10 THPT.

 Phân tích diễn biến các tiết học thực nghiệm sƣ phạm

- Quá trình triển khai và dạy học dự án diễn ra trong 4 tiết học tự chọn.

HS học 4 tiết tự chọn này vào 4 buổi chiều.

* Tiết học tự chọn 1:

- GV giới thiệu cho HS là tiết học này sẽ tìm hiểu về một phương pháp học mới mà với phương pháp này các em được phát huy tối đa năng lực chủ động, sáng tạo của mình đó là phương pháp DHTDA. GV cho HS quan sát một số dự án mẫu.

Sau khi xem xong các em đều rất hào hứng, sôi nổi muốn đƣợc nghiên cứu nhƣ các bạn. Nhiều HS đã đƣa ra các câu hỏi về DHTDA nhƣ: Dự án là gì? Làm các dự án nhƣ thế nào? Thế nào là DHTDA?...

- GV giới thiệu PPDH dự án cho HS. GV giới thiệu khái niệm DHTDA, các bước tiến hành học theo dự án. HS đặt câu hỏi: “Làm thế nào để nghĩ ra được dự án? Thiết kế dự án nhƣ thế nào?”.

- Do hầu hết HS đều chƣa sử dụng thành thạo máy tính và chƣa biết sử dụng phần mềm PowerPoint nên GV hướng dẫn HS một vài kỹ năng sử dụng phần mềm Word và PowerPoint. Hướng dẫn HS cách khai thác thông tin trên mạng Internet.

- Để thuận lợi cho DHTDA, GV cho HS chia nhóm học tập, do HS cũng đã từng học theo nhóm nên phân nhóm theo tổ đã chia, mỗi nhóm là một tổ, lớp chia ra làm 4 nhóm. HS trong các nhóm tự bầu ra nhóm trưởng, thư kí để phụ trách nhóm.

* Tiết học tự chọn 2:

GV giới thiệu về dự án “Ứng dụng của bất đẳng thức Cô-si trong đời sống và sản xuất”. Từ bộ câu hỏi định hướng, GV giao nhiệm vụ cho các nhóm.

Sau khi các nhóm nhận nhiệm vụ, các nhóm tiến hành phân công công việc cho từng thành viên.

Kết thúc tiết học tự chọn 2, GV phát sổ theo dõi dự án cho thƣ kí, thƣ kí sẽ chịu trách nhiệm hoàn thành sổ theo dõi dự án.

61

GV cho HS số điện thoại di động và nhà riêng để tiện liên lạc. Các nhóm sẽ họp nhóm và trong quá trình làm việc nhóm có gì khó khăn thì liên hệ trực tiếp với GV để nhận đƣợc sự giúp đỡ kịp thời.

Sau khi học xong tiết tự chọn 2, HS tiến hành làm việc nhóm vào những ngày sau đó. GV yêu cầu các nhóm thông báo cho GV buổi họp nhóm hoàn thành sản phẩm dự án để GV tiện đến giúp đỡ, kiểm tra.

* Tiết học tự chọn 3:

Các nhóm hoàn thiện sản phẩm.

* Tiết học tự chọn 4:

GV giới thiệu các nhóm lên trình bày các sản phẩm dự án.

Trình tự thuyết trình dự án bằng PowerPoint đƣợc tổ chức nhƣ sau: các nhóm đƣợc phân công thuyết trình theo thứ tự từ nhóm 1 rồi lần lƣợt đến nhóm 4. Yêu cầu trình bày rõ những kiến thức trọng tâm, trình bày nhanh những vấn đề gắn với thực tế nhƣng đã đƣợc thể hiện rõ trong tài liệu Word. Thời gian báo cáo và trình bày sản phẩm minh họa của mỗi nhóm là 15 phút, sau bài báo cáo, các thành viên của các nhóm còn lại tiến hành đặt câu hỏi hay nêu ra những vấn đề còn khúc mắc trong quá trình báo cáo, các thành viên trong nhóm báo cáo có nhiệm vụ giải thích hoặc trả lời trực tiếp trước tập thể. Nếu có quá nhiều câu hỏi đặt ra, nhóm báo cáo phải tiến hành ghi nhận trên giấy và thể hiện các câu trả lời bằng văn bản, gởi đến các nhóm sau buổi thuyết trình.

+ Nhóm 1: Thành viên đại diện cho nhóm lên trình bày là bạn Nguyễn Thị Thảo, bạn giới thiệu dự án, phân công công việc của nhóm cũng nhƣ quá trình làm việc để hoàn thành dự án.

Nhìn chung bài báo cáo của các bạn có tính thẩm mĩ, nội dung đầy đủ, chi tiết và phong phú, bài báo cáo có tính thu hút và thuyết phục người đọc.

Sau khi các bạn trình bày dự án của mình, các nhóm sôi nổi đƣa ra các câu chất vấn quanh dự án. Nhóm 3 đƣa ra câu hỏi: “Nhóm bạn đã tìm các thông tin, tƣ liệu, hình ảnh để hoàn thành dự án ở đâu và các bạn bố trí thời gian nhƣ thế nào để hoàn thành dự án này?”.

62

Bạn Nguyễn Thị Thảo trả lời rằng các bạn đã tìm kiếm thông tin trên SGK, sách tham khảo, sách nâng cao và mạng Internet, sau khi phân công nhiệm vụ cho các thành viên cụ thể thì đến chiều chủ nhật các bạn đã họp nhóm để cùng thảo luận thêm về dự án và hoàn thành sản phẩm.

Bạn Hoàng Anh, nhóm trưởng nhóm 2 đứng dậy xin hỏi: “Khi làm dự án, mỗi thành viên sẽ đƣa ra một ý kiến, có thể là trái ngƣợc, vậy nhóm bạn làm thế nào để thống nhất đƣợc các ý kiến?”.

Việc thống nhất ý kiến có vai trò quan trọng của nhóm trưởng, vì vậy bạn Nguyễn Thị Thảo, nhóm trưởng nhóm 1 đã trả lời: “Khi chúng tôi thảo luận nhóm, mỗi người sẽ đưa ra một ý kiến, chúng tôi không chê trách ai cả mà ghi các ý kiến đó lại, cuối cùng khi tất cả các thành viên đã đƣa ra ý kiến của mình, chúng tôi sẽ thảo luận để đƣa ra ý kiến thống nhất, và cuối cùng chúng tôi đã thành công và làm đƣợc sản phẩm dự án nhƣ ngày hôm nay”.

Sau khi nhóm 1 trả lời xong các câu hỏi chất vấn, nhóm 2 cử bạn Dương Ngọc Ánh thay mặt nhóm lên báo cáo sản phẩm của nhóm mình.

Các nhóm khác cũng thay nhau đƣa ra câu hỏi chất vấn về bài báo cáo của nhóm 2. Lần lƣợt nhƣ vậy cho đến hết bài báo cáo của nhóm 4.

Như vậy, sau một thời gian tương đối dài, các nhóm đã trình bày xong các sản phẩm của dự án. Dựa trên các tiêu chí đánh giá, GV phát phiếu đánh giá cho các nhóm để đánh giá dự án của nhóm mình và đánh giá nhóm bạn. Sau đó GV phát các phiếu đánh giá cá nhân. Mỗi thành viên tự cho điểm mình và cho điểm thành viên trong nhóm mình.

Cuối cùng GV cho HS nghỉ và mời 4 nhóm trưởng ở lại cùng GV đánh giá sổ theo dõi dự án của 4 nhóm. Nhƣ vậy buổi báo cáo sản phẩm dự án đã thành công tốt đẹp.

 Thể chế hóa kiến thức (GV trình chiếu các kiến thức và lời giải chính xác cho các câu hỏi lý thuyết và thực hành của dự án)

Bất đẳng thức Cô-si đƣợc phát biểu nhƣ sau: Cho n số không âm

1 2 n

a ,a ,...,a khi đó ta có bất đẳng thức: n n aa an n

a a

a ... ...

2 1 2

1   

, dấu bằng xảy ra khi a1 a2 ...an.

Một số dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Cô-si thường gặp:

- Dấu hiệu 1 (Sử dụng hệ quả 1): Nếu tích của n số không âm

63

1 2 n

x , x ,..., x không đổi thì tổng S  x1 x2  ... xnđạt giá trị nhỏ nhất khi:

1 2 n

x  x   ... x

- Dấu hiệu 2 (Sử dụng hệ quả 2): Nếu tổng của n số không âm

x , x ,..., x1 2 nkhông đổi thì tích P  x x ...x1 2 n đạt giá trị lớn nhất khi:

- Dấu hiệu 3 (Sử dụng hệ quả 3): Nếu tổng của n số dương x , x ,..., x1 2 n đạt giá trị lớn nhất khi: x1  x2   ... xnthì tổng các nghịch đảo:

Q =

1 2

1 1 1

...

x  x  xn đạt giá trị nhỏ nhất khi: x1  x2   ... xn

Những dạng bài toán sử dụng bất đẳng thức Cô-si tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nhƣ:

- Dạng toán 1 (Sử dụng dấu hiệu 1): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x).

Trong đó, f(x) cho dưới dạng: f(x) là tổng của các số hạng không âm mà tích của chúng không đổi, hoặc sau một số bước biến đổi ta có thể đưa f(x) về được dạng tổng của các số hạng không âm mà tích của chúng không đổi.

- Dạng toán 2 (Sử dụng dấu hiệu 2): Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x).

Trong đó f(x) cho dưới dạng tích của các số không âm mà tổng của chúng không đổi, hoặc sau một số bước biến đổi ta có thể đưa f(x) về dạng tích của các số không âm mà tổng của chúng không đổi.

- Dạng toán 3 (Sử dụng dấu hiệu 3): Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dạng: Q =

1 2

1 1 1

...

x x   xn . Trong đó, các mẫu thức có giá trị dương.

Lưu ý khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số: Có nhiều bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất nếu sử dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ đem lại lời giải hay, ngắn gọn, dễ hiểu. Khi học phần này HS cần chú ý các kỹ năng: phân tích số hạng, phân tích thừa số để sử dụng các dấu hiệu của bất đẳng thức Cô-si. Một số dấu hiệu thường gặp là: Trong bài toán có chứa các đại lƣợng mà tổng (hoặc tích) của chúng không đổi; các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất cho dưới dạng phân thức mà tổng các mẫu thức có giá trị lớn nhất. Từ đó giúp xây dựng đƣợc những thuật giải và vận dụng chúng một cách linh hoạt trong giải toán. Một trong những việc quan trọng khi sử dụng bất đẳng thức

64

Cô-si là dự đoán dấu “ = ” xảy ra khi nào. Thông qua việc dự đoán ta mới tìm ra sự phân tích hợp lí.

Trong bất đẳng thức Cô-si có hai ý quan trọng là các số không âm, và dấu bằng xảy ra, và cũng có hai hệ quả quan trọng: nếu có khả năng xuất hiện tổng không đổi của các số không âm, thì có thể tìm đƣợc tích lớn nhất; nếu xuất hiện tích không đổi của các số không âm thì có thể tìm đƣợc tổng nhỏ nhất. Qui trình có tính chất thuật giải sau khi gặp bài toán bất đẳng thức là:

Bước 1: Bài toán yêu cầu tìm cái gì, có xuất hiện các số không âm không, có thể đánh giá để thấy đƣợc điều đó không;

Bước 2: Đã biết cách đánh giá biểu thức theo chiều nào chưa ?;

Bước 3: Có thể dự đoán được dấu bằng xảy ra không;

Bước 4: Có cần biến đổi các dữ kiện bài toán theo hướng phù hợp không?

(nhƣ cần tách nhƣ thế nào, nâng hệ số ra sao hay cần thêm bớt số hạng gì).

Bước 5: Đã có thể giải bài toán này chưa?

Trong quy trình trên là một cách chung nhất cho nhiều trường hợp, trong đó quan trọng nhất là bước 2, bước 4. Ở bước 2, trong nhiều trường hợp việc đánh giá dấu bằng dựa nhiều vào vai trò bình đẳng của các biến (cụ thể trong trường hợp vai trò của các biến bình đẳng, nếu dấu “=” xảy ra khi biến này thuộc cực trị của miền X nào đó, thì biến kia cũng vậy; vậy nên dẫn tới dấu “=” xảy ra khi các biến bằng nhau), dẫn tới việc dự đoán dấu bằng đƣợc tinh giản hơn. Do vai trò các biến trong biểu thức có thể không bình đẳng, thì việc kiểm tra, dấu bằng, nên căn cứ vào những số đẹp. Ở bước 4, khi dự đoán đƣợc dấu bằng rồi, thì cần phải tách số hạng nhƣ thế nào, nâng hệ số ra làm sao, có cần phải thêm bớt số hạng thích hợp không (đây là kỹ thuật khó nhất khi dùng bất đẳng thức Cô-si) có đảm bảo dấu "=" xảy ra không.

Lời giải các c u hỏi nội dung như sau:

Câu 1: Gọi x là bán kính của hình bán nguyệt. Ta có chu vi của hình bán nguyệt là x, tổng ba cạnh của hình chữ nhật là a   x. Diện tích cửa sổ là:

2

2

1 2

x a x 2x a

S S S 2x ax 2 x 2 x x

2 2 2 2 2

2

 

 

       

              

 

65 S lớn nhất khi a

x x

2 2

 

 

   

  

 

lớn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi

a a

x x x

2 4 2

 

 

      

 

Vậy để diện tích cửa sổ lớn nhất thì các kích thước của nó là: chiều cao bằng a

 4 ; chiều rộng bằng 2a

 4 .

Câu 2: Gọi x là chiều dài cạnh song song với bờ giậu và y là chiều dài cạnh vuông góc với bờ giậu, theo bài ra ta có x + 2y = a. Diện tích của miếng đất là S = y(a - 2y). S cực đại khi và chỉ khi 2y(a - 2y) cực đại. Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có 2S = 2y(a - 2y)

2 2

2y a 2y a

2 4

   

  

 

Dấu "=" xảy ra  2y = a - 2y  y a, x a

4 2

  . Vậy rào khu đất có diện tích cực đại khi a a

y , x

4 2

  .

Câu 3: Gọi x là chiều dài cung tròn của phần đĩa đƣợc xếp làm hình nón.

Như vậy, bán kính R của đĩa sẽ là đường sinh của hình nón và vòng tròn đáy của hình nón sẽ có độ dài là x. Bán kính r của đáy đƣợc xác định bởi đẳng thức

2 r x r x

    2

.

Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago là:

2

2 2 2

2

h R r R x

   4

 Thể tích của khối nón sẽ là:

2 2

2 2

2

1 x x

V r h R

3 3 2 4

  

      

2x S1

S2

x y

66 Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:

2 2 2 3

2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 6

2 2

2 2 2

x x x

8 8 R 4

4 x x x 4 4 R

V . . R .

9 8 8 4 9 3 9 27

    

     

 

     

         

 

2 2 2 3

2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 6

2 2

2 2 2

x x x

8 8 R 4

4 x x x 4 4 R

V . . R .

9 8 8 4 9 3 9 27

   

  

      

 

      

              

 

Do đó V cực đại khi và chỉ khi:

2 2

2

2 2

x x 2

R x R 6 5,15R

8 4 3

  

    

   

Số đo của cung x tính bằng độ xấp xỉ bằng 295o và do đó cung của hình quạt đã cắt đi là 65o.

Câu 4:

Gọi x, y lần lƣợt là chiều dài và chiều rộng của căn phòng thì 0<x<27 và 0<y<27. Khi đó ta có: 2(x+y)=54 nên x+y=27.

Diện tích của căn phòng là S=xy.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm x và y ta đƣợc:

x y 2 729

xy 2 4

  

   (*)

Dấu “=” trong (*) xảy ra khi và chỉ khi x y 27 27

x y

x y 2

  

  

 

Vậy để diện tích của căn phòng lớn nhất thì nên xây mỗi cạnh của căn phòng là 27