Chương II: TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
4.2. Quan điểm về biểu diễn toán
Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo dục toán. Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài, trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ… và biểu diễn trong là các mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ.
Biểu diễn bội là những biểu hiện bên ngoài của các ý tưởng và khái niệm toán học nhằm cung cấp cùng một thông tin ở những dạng khác nhau (Minh Phúc, 2013). (Ozgun Koca, 2009) đã đề xuất vai trò của các biểu diễn trong dạy học toán như sau:
- Các biểu diễn là một phần không tách rời của toán học.
- Biểu diễn là những cụ thể hóa khác nhau của một khái niệm nào đó.
- Các biểu diễn được sử dụng để giảm bớt độ khó của vấn đề.
- Các biểu diễn nhằm làm cho toán học hấp dẫn và thú vị hơn.
Biểu diễn như là một công cụ của tư duy. Chúng ta biểu diễn một vấn đề hoặc khái niệm và dùng biểu diễn đó để tư duy. Hơn nữa biểu diễn còn được xem như một phương pháp ghi nhớ và là một phương pháp để thông tin .
18
Bruner (trong Tadao Nakahara, 2007) chỉ ra rằng có thể chia biểu diễn thành 3 phạm trù theo các giai đoạn phát triển của biểu diễn là: Biểu diễn thực tế →Biểu diễn biểu tượng → Biểu diễn ký hiệu. Phân loại, mô tả của các biểu diễn được trình bày ở bảng 2.1, trong đó các biểu diễn được xếp từ dưới lên trên theo thứ tự từ cụ thể đến trừu tượng.
Bảng 2.1: Phân loại, mô tả các loại biểu diễn Giai đoạn
phát triển Phân loại Mô tả
Biểu diễn ký hiệu
Biểu diễn kí hiệu Sử dụng số, chữ cái và các kí hiệu toán Biểu diễn ngôn ngữ Sử dụng ngôn ngữ nói và viết
Biểu diễn biểu tượng
Biểu diễn minh họa, trực quan
Sử dụng các minh họa như hình vẽ, sơ đồ, đồ thị trên mặt phẳng hai chiều hoặc giả lập ba chiều trên máy tính.
Biểu diễn thực tế
Biểu diễn thực thao tác được
Thực hiện các thao tác lên các mô hình ba chiều thực hoặc mô hình cho phép thao tác.
Biểu diễn thực Dựa trên các trạng thái thực của đối tượng.
Tấm lợp đại số là một hình thức biểu diễn bội. Ở đây, mỗi đa thức được xem như diện tích của một hình chữ nhật được tính bằng cách lấy tổng của tất cả các hình chữ nhật, các ý tưởng về giải phương trình bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử được thể hiện thông qua việc lắp ghép các tấm lợp đại số sao cho tạo thành một hình chữ nhật đầy đủ. Khi đó, diện tích hình chữ nhật được tính theo hai cách, đó là tính theo tổng và tính theo tích hai cạnh. Ý tưởng về đồng nhất tích hai biểu thức bậc nhất với diện tích hình chữ nhật đã được thể hiện rõ ràng và rất trực quan.
Điều này làm cho học sinh tiếp cận với các phương pháp giải phương trình bằng mắt thường và bằng thao tác chứ không phải bằng các công thức và các quy tắc tính toán.
Ví dụ: Cho đa thức 𝐴 = 2𝑥2+ 𝑦 + 1. Để mô tả đa thức A, ta có thể sử dụng các loại biểu diễn như sau:
Biểu diễn kí hiệu: các số 2, 1; các chữ 𝑥, 𝑦.
Biểu diễn ngôn ngữ: lời nói.
19
Biểu diễn minh họa trực quan: ta có thể biểu diễn đa thức A thành một tổ hợp gồm 2 hình vuông cạnh 𝑥, 1 hình chữ nhật (𝑦, 1), 1 hình vuông cạnh 1. Các hình được vẽ ra trên giấy gọi là biểu diễn minh họa trực quan của đa thức A.
Biểu diễn thực thao tác được: để minh họa đa thức A, ta có thể tạo ra các mô hình thực là các hình chữ nhật và hình vuông như đã nêu trong biểu diễn minh họa trực quan, các mô hình này có thể bằng chất liệu mica màu, xốp, nhựa….
Chúng ta có thể thao tác bằng tay trên các mô hình đó.
Việc sử dụng biểu diễn bội có hoặc không có công nghệ thông tin là một trong những chủ đề chính của giáo dục trong những năm gần đây. Biểu diễn bội cung cấp một môi trường hiệu quả cho học sinh nhận biết và hiểu những khái niệm, định lý, hệ quả được học. Biểu diễn trực quan động với thế mạnh của mình được thể hiện đồng thời dưới nhiều loại biểu diễn khác nhau và hỗ trợ tốt cho học sinh khám phá kiến thức.
4.2.2. Những tiếp cận dạy học khái niệm theo biểu diễn bội
Lý thuyết kiến tạo đề xuất rằng học sinh phải kiến tạo tri thức cho bản thân bởi chính sự chủ động của các em. Von Glasersfeld (1996) nhận thấy các kiến thức có được nhờ vào thế giới thực nghiệm được xây dựng bởi chính bản thân người học và không có kiến thức nào mang tính đơn trị. Do đó, chúng ta không nên cho rằng mọi người sẽ lĩnh hội như nhau cùng một kiến thức toán từ một biểu diễn.
Theo Piez và Voxman (1997) (trong Ozgun Koca, 1998), bởi vì mỗi biểu diễn nhấn mạnh và lưu giữ những khía cạnh khác nhau của một khái niệm, chúng ta tin rằng học sinh nhận được nhiều hiểu biết sâu hơn về một hàm số nếu nó được khám phá bằng cách sử dụng các phương pháp số, đồ thị và giải tích (Minh Phúc, 2010).
4.2.3. Biểu diễn trực quan động
4.2.3.1. Biểu diễn trực quan động trên máy tính
Biểu diễn trực quan động trên máy tính là biểu diễn trực quan trong đó cho phép sử dụng các thao tác tác động lên các đối tượng trong biểu diễn. Với sự hỗ trợ của máy tính cùng các phần mềm hình học động, có thể thiết kế được các biểu diễn loại này để hỗ trợ học sinh khám phá tri thức toán. Biểu diễn trực quan động có các đặc điểm sau:
20
Thao tác trực tiếp;
Chuyển động cập nhật liên tục;
Môi trường tối ưu cho các thao tác.
Dựa vào ba đặc điểm trên, việc sử dụng các biểu diễn trực quan động cần tạo cho học sinh có sự chủ động trong việc tìm ra và thực hiện các thao tác động trên biểu diễn. Hơn nữa, trong những điều kiện cho phép, giáo viên có thể cho học sinh tự thiết kế biểu diễn trực quan và dùng nó để khảo sát, khám phá kiến thức cũng như giải quyết vấn đề.
4.2.3.2. Biểu diễn trực quan động- Chiếc cầu nối giữa dạy và học
Mối quan hệ giữa công nghệ thông tin với dạy học toán đã và đang được nhiều nhà giáo dục toán quan tâm nghiên cứu. Ngay cả với những giáo viên có kinh nghiệm dạy học nhất, họ thấy rằng phải mất nhiều thời gian để giải thích một cách rõ ràng cho học sinh nắm bắt và hiểu được một khái niệm toán. Do đó, để cho học sinh nắm bắt và đề xuất được mối quan hệ giữa các khái niệm, không chỉ đơn giản là bằng cách giáo viên nói cho các em biết các mối quan hệ đó.
Vai trò của biểu diễn trực quan được nhấn mạnh với các ví dụ về thống kê, số học, hình học, đại số và giải tích. BDTQĐ được xem như là một công cụ để hiểu toán, để đạt đến sự hiểu biết đó, chúng ta cần xem xét trực quan hóa dưới dạng:
Thường biểu diễn với các biểu diễn có tính đồ thị, thường xảy ra không phải như là một chủ đề cô lập, mà trong một bối cảnh toán học có sự hiện diện của các biểu diễn số và ký hiệu.
Như vậy, BDTQĐ tạo nên một công cụ minh họa hoàn hảo cho những ý tưởng của giáo viên cũng như của học sinh cần diễn đạt, nó kích thích quá trình trao đổi toán, tạo hứng thú học tập, tự đặt câu hỏi và định hướng giải quyết vấn đề.
Nếu việc dạy toán ở một góc độ nào đó được xem như là một quá trình truyền thụ, thì công nghệ thông tin được sử dụng để trình bày, giải thích và làm sáng tỏ các ý tưởng toán học, thuyết phục học sinh (Vĩnh Lợi, 2010).
4.2.3.3. Biểu diễn trực quan động- Công cụ của tư duy
BDTQĐ bao gồm các hình ảnh đồ thị, mô hình toán học được thiết kế bằng những phương tiện công nghệ như máy tính điện tử, nó là công cụ thiết yếu để dạy,
21
học và làm toán. Đặc biệt, những mô hình toán tích cực được thiết kế bằng phần mềm động trên máy tính cung cấp những hình ảnh động, trực quan về các ý tưởng toán học, thúc đẩy việc sắp xếp và phân tích các dữ liệu; đồng thời, thiết lập các phép tính một cách có hiệu quả và chính xác. Chúng có thể hỗ trợ học sinh khảo sát các tình huống toán trong mọi lĩnh vực: hình học, đại số, giải tích, thống kê, đo đạc và số. Với những công cụ và công nghệ phù hợp, học sinh có thể tập trung vào việc đưa ra các quyết định, phản ánh, suy luận và giải quyết các vấn đề toán học.
Các phần mềm xây dựng các mô hình động như GSP hay Cabri cung cấp cho học sinh một công cụ trực quan động hiệu quả để thu thập dữ liệu hình học nhằm lý giải một cách quy nạp và hình thành những giả thuyết, giống với quá trình mà nhà toán học thường sử dụng trong những nghiên cứu của họ.
Có thể nói rằng, việc sử dụng BDTQĐ sẽ tạo ra một môi trường tích cực cho học sinh tự thao tác trên các mô hình biểu diễn, tự khảo sát toán, tự kiểm chứng các kết quả, từ đó phát hiện ra các mối quan hệ giữa các đối tượng, tìm cách chứng minh các mối quan hệ đó bằng toán học, điều này giúp phát huy năng lực tư duy của học sinh (Phan Văn Hoàng, 2014)