Chương IV: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
2. Phân tích nội dung phiếu học tập của học sinh
2.2. Phiếu học tập số 2
Phân tích đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 5𝑥 + 4 thành nhân tử bằng tấm lợp đại số Tình huống này được thiết kế nhằm giúp học sinh lớp 8 khám phá ra phương pháp phân tích đa thức bậc hai một ẩn thành nhân tử bằng hình học, đa thức cho có các hệ số đều dương. Mục đích của chúng tôi là tất cả các em đều phải làm được bằng phương pháp hình học. Tuy nhiên, chúng tôi đưa ra đa thức này còn với mục đích là phân loại học sinh thành hai nhóm, đó là: nhóm các em có hứng thú (kĩ năng phân tích bằng các phép biến đổi truyền thống của các em này không tốt) và nhóm các em không có hứng thú khi áp dụng tấm lợp đại số (kĩ năng phân tích bằng các phép biến đổi truyền thống của các em này khá tốt)
Đối với hướng dẫn thứ nhất: Em hãy tìm ra số các hình chữ nhật và hình vuông đơn vị tạo nên đa thức
Kết quả: Vì đã hiểu rõ cách xác định số hình trong mỗi hạng tử của đa thức nên các em thực hiện bước này rất tốt. Một số kết quả như sau:
Bằng ngôn ngữ, các em mô tả được để tạo nên đa thức 𝑓(𝑥), cần một hình vuông cạnh 𝑥, năm hình chữ nhật cạnh 𝑥 và 1, bốn hình vuông cạnh 1.
Sau đó, các em biểu diễn các mô tả trên thành các kí hiệu toán học (hình 4.6)
47
Hình 4.6: Biểu diễn kí hiệu số và ngôn ngữ viết các hình tạo nên đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 5𝑥 + 4
Các em cũng mô tả đa thức trên bằng các biểu diễn minh họa hình vẽ trực quan trên giấy như sau:
Hình 4.7: Biểu diễn minh họa trực quan đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 5𝑥 + 4
Đối với hướng dẫn thứ 2 và 3: Em hãy sắp xếp các hình đã tìm ra thành một hình chữ nhật hoàn chỉnh và dựa vào kết quả sắp xếp hày viết kết quả phân tích đa thức thành nhân tử
Kết quả của nhóm 1:
Nhóm 1 gồm những học sinh có kĩ năng phân tích bằng các phương pháp truyền thống khá tốt. Các em đã thao tác trên mô hình các hình vuông đơn vị và hình chữ nhật (biểu diễn thực thao tác được), các em cũng sử dụng biểu diễn ngôn ngữ để trao đổi trong quá trình sắp xếp. Chúng tôi đã ghi lại quá trình như sau:
Đầu tiên, các em sắp xếp các hình đã chọn thành một hình như hình 4.8
48
Hình 4.8: Quá trình ghép hình phân tích đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 5𝑥 + 4 GV: “Hình như vậy có phải là một hình chữ nhật đầy đủ hay không?”
HS: “Không”.
Các em nhận ra rằng cách ghép hình của mình là không hợp lý. Các em liền di chuyển các miếng ghép để tìm cách ghép mới. Lần này các em lại ghép được một hình chữ nhật nhưng lại thừa một miếng ghép màu xanh (hình 4.9)
Hình 4.9: Quá trình ghép hình phân tích đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 5𝑥 + 4
Sau đó các em loay hoay một thời gian khá lâu mà vẫn không tìm ra được cách sắp xếp hợp lý. Nhưng vì có kĩ năng phân tích khá tốt nên các em biết được biểu thức này phân tích được nên chắc chắn sẽ ghép được thành một hình chữ nhật hoàn chỉnh. Vì thế các em lại cố mày mò.
HSA: “Muốn sắp xếp thành một hình chữ nhật hoàn chỉnh thì các miếng ghép phải đặt như thế nào cho hợp lý ?”.
49
HSB: “Các miếng ghép có cùng độ dài phải được ghép với nhau thì mới khớp”.
Sau đó, các em quyết định sắp xếp lại từ đầu.
Các em đặt hình vuông cạnh 𝑥 và 4 hình chữ nhật cạnh 𝑥 và 1 như hình 4.10
Hình 4.10: Quá trình ghép hình phân tích đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 5𝑥 + 4 Các em đặt tiếp 4 hình vuông cạnh 1 khớp với 4 hình chữ nhật (hình 4.11)
Hình 4.11: Quá trình ghép hình phân tích đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 5𝑥 + 4 Cuối cùng các em đặt miếng ghép hình chữ nhật còn lại vào và được kết quả (hình 4.12)
Hình 4.12: Kết quả ghép hình phân tích đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 5𝑥 + 4
50
Biểu diễn biểu tượng: các em đã biểu diễn mô hình thực tế thành các mô hình hình vẽ vào giấy (hình 4.13)
Hình 4.13: Hình vẽ kết quả phân tích đa thức 𝑓(𝑥)vào giấy
Biểu diễn kí hiệu: các em đã dựa vào hình chữ nhật hoàn chỉnh để đưa ra kết quả phân tích đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 5𝑥 + 4 thành nhân tử (hình 4.14)
Hình 4.14: Kết quả phân tích 𝑓(𝑥) bằng kí hiệu và chữ viết
Sau khi hoàn thành bài phân tích thì một em đưa ra ý kiến rằng: “Em thấy phương pháp này làm phức tạp và rườm rà hơn các phép biến đổi truyền thống”.
GV: “Em thấy rườm rà và phức tạp hơn ở điểm nào?”
HSA: “Em thấy làm mất thời gian hơn, trong khi em làm phương pháp kia chỉ mất có mấy phút và nhìn vào là em biết cách giải liền”.
HSA tiếp: “Em không thấy hứng thú với phương pháp này lắm. Em thích làm bằng cách biến đổi hơn”.
HSB trong nhóm lại cho rằng: “Em thấy cách này đúng là mệt thật, nhưng cũng hay vì nó làm cho toán học trở nên trực quan chứ không chỉ là biến đổi những con số”.
GV: “Thế nếu cho em chọn lựa giữa hai cách thì em sẽ chọn cách làm nào cho mình?”
HSB: “Em cũng chưa biết. Có lẽ em sẽ ưu tiên cách biến đổi hơn vì nó tiện lợi hơn”.
HSC: “Làm cách này, nếu kĩ năng ghép hình của chúng em không tốt thì sẽ rất bất lợi khi thực hiện”.
51
GV: “Nhưng em không nghĩ rằng kĩ năng ghép hình thì có thể dễ dàng luyện tập sao?”
HSC: “Em chưa biết”.
Đến ngang đây thì dường như chúng tôi chưa đạt được mục đích của cuộc nghiên cứu. Chúng tôi tiếp tục cho các em nhóm này thực hiện bài phân tích đa thức 𝐴 = 𝑥2+ 3𝑥𝑦 + 2𝑦2+ 2𝑥 + 3𝑦 + 1. Các em hỏi chúng tôi phải làm bằng cách nào thì chúng tôi để các em tự do lựa chọn. Tất nhiên theo quan điểm cá nhân thì các em đã chọn sử dụng phương pháp biến đổi truyền thống. Lúc này cả 4 em trong nhóm đều tự lập tìm cách phân tích của riêng mình. Sau một thời gian khá lâu nhưng hình như chưa có ai trong các em ra được kết quả.
Lúc này chúng tôi hỏi: “Đa thức này phân tích bằng cách biến đổi khó hay dễ?”
Các em trả lời: “Khó”.
Chúng tôi hỏi tiếp: “Vậy tại sao em không thử sử dụng cách ghép hình”.
Một em nói: “Khó nhưng nếu phân tích được thì chắc chắn sẽ có cách”.
Chúng tôi cười và chũng tôi vẫn để các em tiếp tục thực hiện. Sau một thời gian, vẫn không ai trong nhóm ra kết quả. Bây giờ chúng tôi mới yêu cầu các em là hãy thực hiện cách ghép hình để phân tích biểu thức này. Kết quả bài phân tích này của nhóm 1 chúng tôi sẽ trình bày ở phần sau.
Kết quả của nhóm 2: Nhóm 2 là nhóm gồm các học sinh có kĩ năng phân tích bằng các phương pháp truyền thống không tốt lắm. Quá trình ghép hình của các em diễn ra như sau:
Bằng ngôn ngữ và thao tác: Trước tiên, các em ghép hình vuông cạnh x và 5 hình chữ nhật cạnh 1 và x (hình 4.15)
Hình 4.15: Bài làm của nhóm 2
52
Chúng tôi nhận thấy là các em đã thực hiện tốt ý tưởng ngay từ bước đầu tiên.
Sau khi xong bước này, các em nhanh chóng nhận ra là 4 hình vuông cạnh 1 được ghép khớp với 4 vị trí còn lại (hình 4.16)
Hình 4.16: Bài làm của nhóm 2
Để hiểu rõ hơn các em đã thành lập ý tưởng như thế nào, chúng tôi đã thực hiện một cuộc phỏng vấn nhỏ.
GV: “Do đâu các em có thể có ý tưởng ghép tốt ngay từ ban đầu vậy ?”
HSA: “Chúng em không có ý tưởng gì mà chỉ là do may mắn nên đã ghép được đúng hình ngay từ lần ghép đầu tiên”
HSB cho rằng: “Nếu phân tích kiểu này thì kĩ năng ghép hình đóng vai trò quan trọng”.
GV: “Vậy em có thể dựa vào hình đã ghép để đưa ra kết quả phân tích không?”
Lúc này các em bắt đầu đếm và đưa ra kết quả: “Chiều dọc của hình chữ nhật là 𝑥 + 1 và chiều dài là 4𝑥”.
“Ồ, chiều dài là 4x ư?” GV hỏi.
Các em bắt đầu suy ngẫm: “À không, là 𝑥 + 4”
GV: “Vì sao lại là 𝑥 + 4 chứ không phải là 4𝑥?”
HS: “Vì có một hình vuông cạnh x và 4 hình vuông cạnh 1 nên cộng lại bằng 𝑥 + 4”.
GV: “Vậy em có thể đưa ra kết quả phân tích đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 5𝑥 + 4 không?”
53
Biểu diễn kí hiệu và biểu diễn ngôn ngữ: các em đã viết kết quả vào phiếu học tập (hình 4.17)
Hình 4.17: Kết quả phân tích đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 5𝑥 + 4 của nhóm 2
“ Wow, dễ như vậy sao?” – Một học sinh thốt lên.
GV: “Các em cảm thấy thế nào về phương pháp này?”
HSA: “Em cảm thấy làm kiểu này vui và dễ dàng hơn cách biến đổi truyền thống”.
HSB: “Em thấy như trò chơi ghép hình. Hơn nữa cách này cũng làm cho việc phân tích trở nên dễ hiểu chứ không còn khó khăn như trước”.
Tiếp tục đà đó, chúng tôi cho các em thực hiện phiếu học tập số 3 theo quy trình như nhóm 1. Kết quả của bài thực nghiệm thứ 3 này của nhóm 2 sẽ được trình bày lại ở phần tiếp theo.