Tán sắc vận tốc nhóm

1.3. Một số tín c ất của sợi quan

1.3.1.1. Tán sắc vận tốc nhóm

Mặc dù trong sợi quang đơn mode không c tán sắc mode, nhƣng sự dãn xung vẫn xảy ra. Nguyên nhân là do vận tốc nhóm của mode cơ bản phụ thuộc vào bước sóng. Hay nói cách khác, các thành phần phổ khác nhau của xung quang lan truyền ở vận tốc nhóm khác nhau, gây ra tán sắc vận tốc nhóm (GVD). Vận tốc nhóm là vận tốc t i đ năng lƣợng trong một xung quang lan truyền dọc theo chiều dài của sợi.

Khái niệm vận tốc nhóm đƣợc phân biệt với khái niệm vận tốc pha.

Vận tốc pha là vận tốc t i đ pha của sóng quang lan truyền qua môi trường sợi quang và đƣợc xác định bởi:

0 p

v dz

dt k

  (1.4)

ở đây dz, dt là sự thay đổi về khoảng cách và thời gian lan truyền tương ứng, ω là tần số góc của sóng quang với số sóng k0 = ω/c = 2π/λ.

Mỗi thành phần phổ xác định t i tần số ω lan truyền t i vận tốc nhóm vg nhƣ sau:

g

v d d



  (1.5)

trong đ : β là hằng số lan truyền dọc theo trục của sợi. Nhƣ vậy, thành phần phổ đ sẽ truyền tới đầu cuối của sợi quang sau một thời gian trễ, tính trên một đơn vị chiều dài là:

1 .

g

d

v d

 

   (1.6)

Bằng việc sử dụng nk0 n c

   vào phương trình (1.5), ta có thể chứng

minh rằng g

g

v c

 n , vớingọi là chiết suất nh m đƣợc xác định bởi:

( / ).

ng  n  dn d (1.7)

Sự phụ thuộc của vận tốc nhóm vào thành phần tần số dẫn đến sự dãn xung trong quá trình lan truyền bên trong sợi quang. Nếu gọi Δω là độ rộng phổ của xung quang, thì độ dãn xung trên một đơn vị chiều dài đƣợc xác định bằng biểu thức [6]:

2 2 2

1 .

g

T d d d

L d d v d

      

  

 

          (1.8)

Tham số

2

2 2

d d

 

  đƣợc gọi là hệ số tán sắc vận tốc nhóm, nó xác định mức độ dãn xung khi lan truyền trong sợi quang.

Trong thông tin quang, độ rộng phổ của tần số đƣợc xác định bởi dải bước s ng Δλ phát x từ nguồn quang được điều biến. Bằng cách thay 2c

  và  22c 



 

    vào phương trình (1.8) ta c được:

1

g

T d

L d v  D 



 

      (1.9)

trong đ :

2 2

1 2

g

d c

D d v  

 

 

    (1.10)

Với D là tham số tán sắc, c đơn vị là ps/(nm.km). D cho biết mức độ dãn xung ánh sáng khi lan truyền trên một đơn vị độ rộng phổ và trên một đơn vị chiều dài sợi. Tương tự như vậy, giới h n về băng tần hay tốc độ truyền dẫn có thể xác định bằng công thức [1, 6]:

1

BL D  (1.11)

trong đ , B là tốc độ bit (bit rate), L là chiều dài truyền lan [51].

Biểu thức (1.11) đã đƣa ra một sự ƣớc lƣợng cấp biên độ của tích BL cho các sợi quang đơn mode. Đối với các sợi thuỷ tinh tiêu chuẩn, giá trị của D là tương đối nhỏ trong vùng gần bước sóng 1310 nm (có thể đ t tới xấp xỉ 1

ps/km.nm). Với các laser bán dẫn, độ rộng phổ Δλ là 2÷4 nm ngay cả khi laser ho t động trong một vài mode dọc. Tích BL của các hệ thống thông tin quang có thể vƣợt 10 Gbit.s.km [51]. Thật vậy, các hệ thống truyền dẫn thường ho t động t i tốc độ 2 Gbit/s với khoảng 40 ÷ 50 km. Tích BL của các sợi quang đơn mode c thể vƣợt giá trị 1 Tbit.skm [51] khi sử dụng các laser bán dẫn đơn mode c biến thiên bước sóng dưới 1nm.

Tham số tán sắc D có thể được thay đổi đáng kể khi bước sóng ho t động lệch khỏi vùng 1310 nm. Sự phụ thuộc của tham số tán sắc D vào bước s ng đƣợc chi phối bởi sự phụ thuộc của chỉ số mode n vào tần số. Từ biểu thức (1.10) ta có thể biểu diễn D nhƣ sau:

2

2 2 2

2 1 2

2

g

c d dn d n

D d v d d

  

    

   

       

(1.12) Trong biểu thức này có sử dụng đến công thức (1.8). Nếu sử dụng điều kiện ngưỡng của tần số chuẩn thì tham số D có thể được viết dưới d ng tổng sau:

W

DDM D (1.13)

Với DM và DW lần lƣợt là tán sắc vật liệu và tán sắc dẫn sóng.

a. Tán sắc vật li u

Nguyên nhân gây ra tán sắc vật liệu trong sợi quang là do chiết suất của thủy tinh thay đổi theo tần số quang ω, nó là lo i vật liệu sử dụng để chế t o sợi. Về cơ bản, nguyên nhân gây ra tán sắc vật liệu liên quan đến các tần số cộng hưởng đặc trưng, mà t i đ vật liệu hấp thụ bức x điện từ. Khi tần số ánh sáng truyền lan cách xa các tần số cộng hưởng của môi trường, chiết suất n(ω) được xác định gần đúng bởi phương trình Sellmeier [1]:

2 2

2 2

1

( ) 1

M j j

j j

n B

   

   (1.14)

trong đ ωj là tần số cộng hưởng và Bj là cường độ dao động. Phương trình (1.14) có thể được sử dụng quan hệ λj = 2πc/ωj để biểu diễn theo bước sóng.

Đối với sợi thủy tinh tinh khiết M = 3 với các hệ số B10,6961663,

2 0, 4079426

B  , B3 0,8974794 và 1 0, 0684043 àm, 2 0,1162414 àm và

3 9,896161 àm

  . Hình 1.9 cho ta thấy sự phụ thuộc của n, ng vào bước sóng của sợi thủy tinh tinh khiết.

Hình 1.9. Đồ thị biểu diễn chiết suất, chiết suất nhóm của thủy tinh [3]

Để tính tán sắc vật liệu, chúng ta sử dụng phương trình (1.6) để t nh độ trễ vận tốc nhóm phụ thuộc vào bước sóng:

d d d

d d d

  

      (1.15)

Sử dụng phương trình quan hệ d

d

 

  ta có:

2

2

d d d

d d c d

     

      

 

      (1.16)

Chiết suất

Bước sóng λ (μm)

Độ trễ của các thành phần bước sóng trong tán sắc vật liệu liên quan đến chiết suất vật liệu, phụ thuộc vào bước sóng có thể thấy được khi thay 2 n 

  vào phương trình (1.16):

 

2 2

2

2 2 ' 1 1 ( )

' ( )

2 2

ng

d n n dn

n n n

c d c c c d c

     

   

     

   

              (1.17)

Từ phương trình (1.17), mức độ dãn xung quang do tán sắc vật liệu gây ra, hay hệ số tán sắc vật liệu có thể đƣợc xác định bằng biểu thức:

2 2

2 2

1

M

d dn d n dn d n

D d c d d d c d

  

    

 

      

 

(1.18) Biểu thức thực nghiệm xác định gần đúng hệ số tán sắc vật liệu trong dải bước súng 1,25 - 1,66 àm cú thể sử dụng theo:

122 1 ZD

DM 



 

    (1.19)

trong đ ZD là bước sóng t i đ DM = 0, gọi là bước sóng tán sắc không, nó phụ thuộc vào lo i vật liệu cụ thể, có thể biến đổi trong dải từ 1,27 đến 1,29 àm. Cũn đối với sợi thủy tinh tinh khiết thỡZD 1, 276àm.

b. Tán sắc ống dẫn sóng

Tán sắc ống dẫn sóng sinh ra do sự phụ thuộc của hằng số lan truyền vào cấu trúc sợi, đƣợc đặc trƣng bởi tham số V. Sự dãn xung sinh ra do tán sắc ống dẫn sóng có thể đƣợc hiểu do mỗi mode lan truyền trong sợi có một phần công suất trong lõi chiết suất cao hơn và một phần ngoài vỏ chiết suất thấp hơn. Tỉ số công suất giữa lõi và vỏ cũng phụ thuộc vào bước sóng. Vì vậy, mỗi thành phần bước sóng sẽ lan truyền với vận tốc nhóm khác nhau, gây ra tán sắc ống dẫn s ng. Đối với sợi đơn mode, tỉ số công suất giữa lõi và vỏ thể hiện qua đường k nh trường mode. T i các thành phần bước sóng dài

hơn, phần công suất ngoài vỏ nhiều hơn hay c đường k nh trường mode lớn hơn, nên lan truyền với vận tốc nh m nhanh hơn so với các thành phần có bước sóng ngắn hơn. Để xác định tán sắc ống dẫn sóng, ta biểu thị độ trễ vận tốc nhóm theo hằng số lan truyền chuẩn hóa b bằng việc sử dụng  nkvà phương trình:

2 ( 1 2) 2(1 )

n n b n n n  b (1.20)

Trong đ :

2 2

1 2 1 2

2

1 1

2

n n n n

n n

 

  

Từ phương trình (1.6), ta có:

1 n2 n2 d kb( )

c dk

      (1.21) Ở đây không xét tán sắc vật liệu, hay n2 không phụ thuộc vào bước sóng. Vì tán sắc ống dẫn sóng phụ thuộc vào cấu trúc sợi quang, nên một cách thuận tiện ta biểu diễn độ trễ theo tham số V thay cho k bằng sử dụng gần đúng

1 2

V kan  để c đƣợc:

2 2

1 d Vb( )

n n

c dV

      (1.22)

Trong biểu thức (1.22) có số h ng thứ hai phụ thuộc vào tham số V. Nhƣ vậy độ trễ phụ thuộc vào bước sóng qua tham số V gần đúng là:

2 ( )

( ) n d Vb c dV

    (1.23)

Theo (1.12) thì hệ số tán sắc ống dẫn s ng đƣợc xác định [53]:

2 2

w 2

( ) n

d V d d Vb

D V

d dV c dV

 

  

 

     

  (1.24)

C nghĩa là tán sắc ống dẫn sóng phụ thuộc vào tham số Vd2(Vb)/dV2. Hình 1.10 cho thấy sự phụ thuộc b, các tham số đ o hàm số d(Vb)/dV và số

Vd2(Vb)/dV2 vào tham số V của mode cơ bản. Hàm gần đúng của b phụ thuộc vào V cho bởi phương trình [1]:

( ) (1,1428 0,9960 / )2

b V   V (1.25)

cho mode cơ bản trong sợi đơn mode.

Từ hình 1.10 ta có thể thấy các đ o hàm đều dương trong dải bước sóng từ 0 đến 1,6 àm, nờn hệ số tỏn sắc Dw cú giỏ trị õm.

Tần số chuẩn hoá V

Hình 1.10. Sự biến đổi của b và các đ o hàm số d(Vb)/dV và số Vd2(Vb)/dV2 vào tham số V [3]