CHƯƠNG 2. PHÂN TÍCH GIỚI HẠN THEO ĐỊNH LÝ CẬN TRÊN VÀ CHƯƠNG TRÌNH HÌNH NÓN
2.2 Lý thuyết phân tích giới hạn
Một khuynh hướng mạnh nhất của lý thuyết dẻo trong việc xác định giá trị gần đúng của tải phá hủy Pult là phân tích giới hạn. Điều này xuất phát từ hai định lý cận do Drucker đề xuất năm 1952 [14]: “Một vật thể đàn hồi – dẻo thuần túy hoặc chịu phân bố ứng suất tránh bị phá hủy hoặc sẽ bị phá hủy nếu điều kiện khả dĩ động xuất hiện”. Định lý cận dưới và định lý cận trên được sử dụng để phân tích bài toán tải giới hạn.
(a) Đất không thoát nước (b) Đất thoát nước cu
tg c
c
cu
p
dij p
dij
Phân tích giới hạn nhằm xác định trạng thái của cấu kiện khi phá hủy và cơ chế phá hủy ứng với trạng thái đó. Để giải một bài toán phân tích giới hạn ta có thể tiếp cận từ 2 trường: trường ứng suất (áp dụng định lý cận dưới) và trường biến dạng (áp dụng định lý cận trên) và nghiệm cho như Hình 2.6. Bài toán phân tích giới hạn được chuyển thành bài toán tối ưu. Nếu tiếp cận từ cận dưới ta cần tìm cực đại và ngược lại nếu tiếp cận từ cận trên ta cần tìm cực tiểu .
Hình 2.6: Nghiệm của định lý cận trên và định lý cận dưới 2.2.1 Định lý cận dưới
Phân tích giới hạn theo định lý cận dưới được phát biểu như sau:
“Sự phá hủy sẽ không xảy ra khi tất cả các điểm trong vật thể và trên biên đều không vượt ngưỡng dẻo” (trong điều kiện đàn hồi – dẻo thuần túy). Hiểu một cách đơn giản là tất cả các điểm trong vật thể chưa vượt điều kiện cân bằng Mohr – Coulomb.
2.2.2 Định lý cận trên
Trong luận văn này, trường biến dạng (chuyển vị) sẽ được áp dụng để giải quyết một số vần đề trong địa xây dựng liên quan đến tải phá hủy của nền móng băng, mặt trượt và độ ổn định của bài toán mái dốc, Tunel. Do vậy, định lý cận trên sẽ được trình bày kỹ trong phần này.
Xét một vật thể đàn hồi - dẻo lý tưởng trong miền R2 như Hình 2.7. Miền này bị giới hạn bởi biên Γ Γ uΓt, trong đó Γu là biên chuyển vị và Γt là biên lực.
Pult
Định lý cận trên sử dụng trường biến dạng
Định lý cận dưới sử dụng trường ứng suất
Hình 2.7: Các điều kiện biên của vật thể
Theo định lý cận trên, vật thể bị sụp đổ khi và chỉ khi tồn tại trường chuyển vị khả dĩ động uU sao cho:
ij ij ext
i, j
( u )d W ( u )
(2.7)
Hay: D ( ( u )) W ( u )p ext (2.8)
Trong đó: D ( ( u ))p là năng lượng tiêu tán dẻo của miền W ( u )ext là công của ngoại lực tác dụng lên miền
Ta có: D ( ( u ))p d ( ( u ))dp (2.9)
Wext( )u g uT dtt uT dt (2.10) xx
yy
xy
x 0
; 0
y
y x
ε u (2.11)
U { :u uu uo, u,Wext( )u 0} (2.12) Để xác định tải trọng phá hủy ta xét công của ngoại lực W ( u )ext gồm hai thành phần:
- Công của lực đã biết tác dụng vào vật thể W ( u )exto . Ví dụ như công của phần phụ tải hông trong móng băng.
g : lực phân bố trong miền Γt : Biên lực
t: lực phân bố trên biên Γt Γu : Biên chuyển vị
o
u u : chuyển vị trên biên Γu Γt
Γu
t
g
o
u u
- Công của lực trực tiếp gây phá hủy vật thể. Thành phần này được tính bằng tải phá hủy nhân với công ngoại của lực đơn vị Wextunit( u ).
Vậy ta có: D ( ( u ))p Wextunit( u ) W oext( u ) (2.13) Việc xét riêng hai thành phần công ngoại giúp ta đưa định lý cận trên về bài toán tối ưu cực tiểu năng lượng tiêu tán dẻo như sau:
min D ( ( u )) Wp oext( u ) (2.14)
Với các ràng buộc: u
, ( ) u uo u
unit
Wext u 1
(2.15)
Như vậy, phân tích giới hạn theo định lý cận trên được phát biểu như sau: “Với bất kỳ trường biến dạng dẻo, sự phá hủy xảy ra khi công ngoại lực tác động lên vật thể bằng hoặc lớn hơn năng lượng tiêu tán dẻo của vật thể ấy”.
Về ý nghĩa vật lý ta hiểu như sau: Vật thể bị sụp đổ khi và chỉ khi bên trong vật thể không còn khả năng hấp thu năng lượng do công của ngoại lực sinh ra. Ứng với mỗi trường biến dạng dẻo sẽ thiết lập được năng lượng tiêu tán dẻo cho toàn miền.
Thông qua bài toán tối ưu, trường biến dạng dẻo ứng với cơ chế phá hủy sẽ được tìm.
Bài toán tối ưu được hiểu là cho cả miền vật thể bị phá hoại dẻo – tương ứng với công ngoại của tải trọng rất lớn, sau đó dùng thuật toán tối ưu để tìm ra vùng phá hoại dẻo nhỏ nhất trong vật thể – tương ứng với công ngoại của tải trọng phá hủy .
Do phân tích giới hạn theo định lý cận trên tiếp cận từ trường biến dạng, sử dụng năng lượng và công để đưa về bài toán tối ưu nên cách xây dựng bài toán khác với phương pháp phân tích từng bước nghiên cứu quá trình phát triển biến dạng theo tải trọng tác dụng. Ở đây, ta không tính ứng suất và biến dạng ở một trạng thái bất kỳ trên lộ trình ứng suất, mà ta xác định được trạng thái phá hủy của vật thể thông qua bài toán tối ưu. Lúc này, trạng thái ứng suất của vật thể đã chạm đường bao chống cắt Mohr – Coulomb.