CHƯƠNG 4. PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC
4.5 Rời rạc hóa bài toán bằng phương pháp IGA
4.5.2 Rời rạc hóa bài toán bằng thuật toán Bézier extraction
Trong bước mô hình bài toán, các thông số knot vector, tọa độ các điểm kiểm soát, ma trận chỉ số IEN được nhập giống với bài toán IGA gốc. Vì các điểm kiểm soát NURBS là các bậc tự do của bài toán chứ không phải các điểm kiểm soát Bézier.
Ngoài các thông số trên ta cần nhập thêm toán tử Bézier. Như ở mục 4.4.3, toán tử Bézier của phần tử Ce của phần tử e được tính trực tiếp từ knot vector dựa vào giải thuật của Borden và các đồng nghiệp [28].
Điều kiện biên được gán giống như bài toán IGA gốc. Tích phân số trong điều kiện biên lực vẫn được tính với giải thuật tính hàm cơ sở NURBS mới.
4.5.2.2 Tính biến dạng trung bình
Hình 4.29 thể hiện sơ đồ tính các hàm cơ sở NURBS từ các hàm cơ sở Bézier bằng thuật toán Bézier extraction với thông số đầu vào là các trọng số NURBS và toán tử Bézier của phần tử Ce. Trong đó, các hàm cơ sở Bézier và các đạo hàm tương ứng được tính theo (4.54) và (4.56); các trọng số Bézier được tính theo (4.80) trước khi tính hàm trọng số Bézier và đạo hàm tương ứng theo (4.76) và (4.78); sau cùng các hàm cơ sở NURBS và các đạo hàm tương ứng được tính theo (4.75) và (4.77).
Hàm cơ sở NURBS và các đạo hàm tương ứng được tính trực tiếp trên từng phần tử Bézier, nên phép ánh xạ từ không gian chuẩn sang không gian tham số trong bài toán IGA gốc đã được thay bằng giải thuật tính hàm cơ sở NURBS. Do đó ta không cần dùng công thức (4.106) trong tính toán. Ma trận Jacobi J được tính tương tự như FEA (với các đạo hàm của NURBS được tính theo Hình 4.29):
2 2
2 2
p 1 p 1
, , I 1 I, I I 1 I, I
p 1 p 1
, ,
I, I I, I
I 1 I 1
x y R , x R , y
x y
R , x R , y
h h
h h
h h
h h
J (4.109)
START
INPUT
Trọng số NURBS Toán tử Bézier của phần tử Ce
for b = 1 : số hàm cơ sở Bézier
STOP OUTPUT
Giải thuật tính hàm cơ sở NURBS
Tính các hàm cơ sở Bézier và các đạo hàm Tính các trọng số Bézier
Tính hàm trọng số Bézier Tính đạo hàm của hàm trọng số Bézier
for a = 1 : số hàm cơ sở NURBS được tính for b = 1 : số hàm cơ sở Bézier
Tính hàm cơ sở NURBS Tính đạo hàm của hàm cơ sở NURBS
Hàm cơ sở NURBS Đạo hàm NURBS
Hình 4.29: Sơ đồ tính hàm cơ cở NURBS bằng thuật toán Bézier extraction Ghi chú
- Giải thuật tính hàm cơ sở NURBS trực tiếp trên phần tử chuẩn Bézier.
- Toán tử Bézier Ce được tính theo Borden et al. [28].
- Hàm cơ sở Bézier và các đạo hàm tương ứng được tính theo (4.54) và (4.56).
- Trọng số Bézier được tính theo (4.80).
- Hàm trọng số Bézier và đạo hàm tương ứng theo (4.76) và (4.78).
- Hàm cơ sở NURBS và các đạo hàm tương ứng được tính theo (4.75) và (4.77).
START Mô hình bài toán
INPUT
for e = 1 : số lượng phần tử nel Cho ma trận Betrungbình = 0
for g = 1 : số điểm Gauss Tọa độ điểm Gauss (i,hj) và trọng số
Wg = Wi×Wj
Tính các hàm cơ sở NURBS RI(i,hj) và các đạo hàm RI,(i,hj), RI,h(i,hj) Tính ma trận Jacobi J, det(J) và ma trận
nghịch đảo J-1 Tính các đạo hàm theo x và y
Ri,x và Ri,y
Tính ma trận Betrungbình bằng tích phân Gauss
STOP
Xây dựng bài toán tối ưu
MOSEK
OUTPUT
Tính biến dạng trung bình
Hình học Knot vector
Tọa độ các điểm kiểm soát Toán tử Bézier Ce
Ma trận chỉ số IEN Điều kiện biên lực Điều kiện biên chuyển vị
Tải trọng phá hủy + Cơ chế phá hủy
Hình 4.30: Sơ đồ xây dựng bài toán phân tích giới hạn bằng thuật toán Bézier extraction (IGA)
Ghi chú
- Hình học được mô tả bằng knot vector, tọa độ các điểm kiểm soát và toán tử Bézier Ce. - Điều kiện biên lực và chuyển vị giống bài toán IGA gốc.
- Vòng lặp for 1: Tính toán qua toàn bộ nel phần tử.
- Vòng lặp for 2: Tính ma trận Betrungbình bằng tích phân Gauss tương tự (3.43) sử dụng một phép ánh xạ trực tiếp từ phần tử chuẩn Bézier sang không gian thực với ma trận Jacobi J theo (4.109).
- Dùng hàm cơ sở NURBS nội suy chuyển vị.
- Hàm cơ sở NURBS được tính trực tiếp trên phần tử chuẩn Bézier theo giải thuật trong Hình 4.29.
Biến dạng trung bình của phần tử e:
e xx e
e yy e e
e xy
ε B d (4.110)
Với:
d
B
2 2
2
2
2 2
T
e 1 2 p 1 1 2 p 1
1,x 2,x p 1 ,x
e 1,y 2,y p 1 ,y
1,y 2,y p 1 ,y 1,x 2,x p 1 ,x
u u u v v v
R R R 0 0 0
0 0 0 R R R
R R R R R R
(4.111)
Hình 4.30 thể hiện sơ đồ xây dựng bài toán phân tích giới hạn bằng thuật toán Bézier extraction. Trong đó quá trình tính toán gồm 2 vòng lặp for giống Hình 3.7 trong CHƯƠNG 3. Thuật toán Bézier extraction đã biến đổi bài toán IGA thành cấu trúc tính toán giống bài toán FEA, sử dụng một phép ánh xạ trực tiếp từ phần tử chuẩn Bézier sang không gian thực (không có phép ánh xạ trung gian từ không gian chuẩn sang không gian tham số) như Hình 4.31. Điều này giúp quá trình tính toán trong IGA đơn giản giống FEA, tuy nhiên giải thuật tính toán hàm cơ sở NURBS bằng thuật toán Bézier extraction phức tạp hơn bài toán IGA gốc.
h
X
Y
-1
-1 1
1
Phần tử chuẩn Bézier
Không gian thực mapping
Hình 4.31: Phép ánh xạ từng phần tử sang không gian thực trong Bézier extraction