CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
3.5 Rời rạc hóa bài toán bằng phương pháp FEA
3.5.2 Tính biến dạng trung bình
Ở phần trước ta đã thấy ma trận biến dạng chuyển vị của phần tử Q4 và phần tử Q9 đều là hàm có dạng Be(,h). Tuy nhiên để xây dựng bài toán tối ưu, ta cần một ma trận Betrungbình (hayBe= const) để tính biến dạng trung bình của phần tử:
e e e T
e xx yy xy e e (Do e const )
ε B d d (3.38)
Với: B
1,x 2,x 3,x 4,x
Q4 1,y 2,y 3,y 4,y
1,y 2,y 3,y 4,y 1,x 2,x 3,x 4,x
N N N N 0 0 0 0
0 0 0 0 N N N N
N N N N N N N N
(3.39)
Và B
1,x 2,x 9,x
Q9 1,y 2,y 9,y
1,y 2,y 9,y 1,x 2,x 9,x
N N N 0 0 0
0 0 0 N N N
N N N N N N
(3.40)
Ta có:
e
e
e
i,x i,x e
e
i ,y i,y e
e
e e
N 1 N d
A
N 1 N d
A
A d
(3.41)
Trong đó Ni,x và Ni,y tương ứng là đạo hàm của hàm nội suy Ni theo x và y trung bình trên toàn phần tử e và Ae là diện tích của phần tử e. Thay Ni,x và Ni,y từ công thức (3.13) và de dxdydet( )d dJ h vào công thức (3.41) ta có:
1 1 * *
i,x 1 1 11 i, 12 i,
e
1 1 * *
i,y 1 1 21 i, 22 i,
e 1 1
e 1 1
N 1 ( J N J N )det( )d d
A
N 1 ( J N J N )det( )d d
A
A det( )d d
h
h
h
h
h
J
J J
(3.42)
Sự biến đổi các ma trận Be(,h) của phần tử e về dạng ma trận Betrungbình (hay
e= const
B ) được minh họa trong Hình 3.6: Nguyên tắc biến đổi là đảm bảo tổng ma trận biến dạng chuyển vị trên toàn phần tử 11 11B h, không đổi (hay thể tích của Hình 3.6(a) bằng thể tích của Hình 3.6(b)).
Be( ,h
h
h
1 1
1 Phần tử e 1 Phần tử e
Betrungbình 1
1 1
1
(a) Ma trận Be(,h const (b) Ma trận Betrungbình = const
V(a) = V(b)
Hình 3.6: Ma trận biến dạng chuyển vị Be= const trung bình của phần tử e
Ta thấy các tích phân trong (3.42) đều có chung dạng 1 1
1 1
I f ( , )d d h h. Các tích phân này có thể dễ dàng tính được bằng cách áp dụng tích phân Gauss (tương tự công thức (3.17)) cho miền 2D với số điểm Gauss theo từng phương là ( n ,n )i j có tọa độ ( , hi j ) và các trọng số (W Wi, j ) như sau:
1 1 ini njj i j i j
1 1
I f ( , )d d h h f ( h, )W W (3.43) Đối với phần tử Q4, số điểm Gauss theo từng phương là ni = nj = 2 có tọa độ
1
± 3 và các trọng số là 1 (Bảng 3.1). Vậy tổng số điểm Gauss của phần tử Q4 là g
= ni×nj = 4 (Hình 3.3), trọng số của từng điểm là Wg = Wi×Wj.
Đối với phần tử Q9, số điểm Gauss theo từng phương là ni = nj = 3 có các tọa độ 0 và ±√6 và các trọng số tương ứng là 8/9 và 5/9 (Bảng 3.1). Vậy tổng số điểm Gauss của phần tử Q9 là g = ni×nj = 9 (Hình 3.4), trọng số của từng điểm là Wg = Wi×Wj.
Hình 3.7 thể hiện sơ đồ xây dựng bài toán phân tích giới hạn theo định lý cận trên.
Trong đó bước chính là rời rạc hóa bài toán được thực hiện bằng phương pháp FEA.
Ta thấy có 2 vòng lặp for chính trong sơ đồ này: Vòng lặp for đầu tiên nhằm thực hiện tính toán trên toàn bộ phần tử trong miền - các phần tử này là phần tử Q4 hoặc phần tử Q9 ; Vòng lặp for thứ hai nhằm thực hiện tích phân Gauss (3.43) để tính ma trận Be trung bình của mỗi phần tử e, trong đó sử dụng một phép ánh xạ trực tiếp từng phần tử chuẩn sang phần tử thực với ma trận Jacobi J theo công thức (3.20) (phần tử Q4) và (3.26) (phần tử Q9). Việc lắp ghép ma trận Be và vector tải phần tử re vào ma trận tổng thể được thực hiện dựa vào chỉ số các nút của phần tử e trong ma trận chỉ số IEN.
CHƯƠNG 3 đã trình bày nội dung cơ bản về phương pháp FEA. Những nội dung này rất hữu ích cho việc nghiên cứu phương pháp đẳng hình học (IGA) trong CHƯƠNG 4. Vì phương pháp IGA cũng sử dụng phần tử đẳng tham số giống phương pháp FEA, tuy nhiên ý tưởng tiếp cận lại khác phương pháp FEA.
START Mô hình bài toán
INPUT
Hình học Tọa độ các nút Ma trận chỉ số IEN Điều kiện biên lực Điều kiện biên chuyển vị
for e = 1 : số lượng phần tử nel Cho ma trận Betrungbình = 0
for g = 1 : số điểm Gauss Tọa độ điểm Gauss (i,hj) và trọng số
Wg = Wi×Wj
Tính các hàm nội suy Lagrange Ni(i,hj) và các đạo hàm Ni,(i,hj), Ni,h(i,hj) Tính ma trận Jacobi J, det(J) và ma trận
nghịch đảo J-1
Tính các đạo hàm theo x và y Ni,x và Ni,y
Tính ma trận Betrungbình bằng tích phân Gauss
STOP
Xây dựng bài toán tối ưu
MOSEK
Tải trọng phá hủy + Cơ chế phá hủy OUTPUT
Tính biến dạng trung bình
Hình 3.7: Sơ đồ xây dựng bài toán phân tích giới hạn bằng phương pháp FEA Ghi chú
- Hình học được mô tả bằng tọa độ các nút.
- Điều kiện biên lực được gán cho các nút theo công thức (3.34) (phần tử Q4) và (3.36) (phần tử Q9).
- Điều kiện biên chuyển vị được gán cho các nút trên biên.
- Vòng lặp for 1: Thực hiện tính toán qua toàn bộ nel phần tử.
- Vòng lặp for 2: Tính ma trận Betrungbình bằng tích phân Gauss (3.43) sử dụng một phép ánh xạ trực tiếp từng phần tử chuẩn sang phần tử thực với ma trận Jacobi J theo công thức (3.20) (phần tử Q4) và (3.26) (phần tử Q9).
- Dùng đa thức Lagrange nội suy chuyển vị.