CHƯƠNG 4. PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC
4.5 Rời rạc hóa bài toán bằng phương pháp IGA
4.5.1 Rời rạc hóa bài toán bằng phương pháp IGA gốc
4.5.1.1 Mô hình bài toán
Khi mô hình bài toán bằng phương pháp IGA, ta cần các thông số đầu vào gồm:
Hình học, knot vector, tọa độ các điểm kiểm soát, ma trận chỉ số, điều kiện biên lực, điều kiện biên chuyển vị.
Vì các hàm cơ sở B-Spline liên quan đến các điểm kiểm soát, không giống như hàm dạng tại nút trong FEA, nên việc nhập tọa độ các nút được thay bằng tọa độ các điểm kiểm soát. Các điểm kiểm soát cũng chính là bậc tự do trong IGA. Do đó, ma trận chỉ số trong IGA chứa các chỉ số của các điểm kiểm soát.
(a) Bài toán IGA bậc p = 1 (b) Bài toán IGA bậc p = 2 4
1 2
3 6 4 5
1 2
3 6 5
Y X
Y X
Hình 4.25: Mô hình bài toán IGA trong hệ tọa độ Descartes
Hình 4.25 là một ví dụ thể hiện cách đánh chỉ số phần tử và chỉ số điểm kiểm soát.
Ví dụ này có hình học và lưới phần tử giống ví dụ Hình 3.5 trong CHƯƠNG 3 với số phần tử là nel nxny 3 2 6.
Xem lại Hình 3.5(a) và Hình 4.25(a) ta thấy bài toán IGA bậc p = 1 giống bái toán Q4 trong FEA, lúc này các điểm kiểm soát trùng với các nút của phần tử Q4. Số điểm kiểm soát theo từng phương là nnx 1 4 m, ny 1 3, tổng số điểm kiểm soát
Bậc p = 1 nel = 6 ncp = 12 SDOF = 24
Bậc p = 2 nel = 6 ncp = 20 SDOF = 40
là ncp n m 4 3 12 và số bậc tự do là SDOF 2 ncp 24 . Tuy nhiên đây chỉ là trường hợp đặc biệt với bài toán IGA bậc p = 1.
Đối với bài toán IGA bậc p = 2 (và bậc cao hơn), điểm kiểm soát và nút hoàn toàn khác nhau như Hình 3.5(b) và Hình 4.25(b). Trong trường hợp này, số điểm kiểm soát theo từng phương là nnx 2 5 m, ny 2 4, tổng số điểm kiểm soát là
ncp n m 5 4 20 (số nút của bài toán Q9 là n = 35) và số bậc tự do là
SDOF 2 ncp 40 (số bậc tự do của bài toán Q9 là SDOF = 70). Vậy với cùng số phần tử thì số điểm kiểm soát được dùng trong IGA ít hơn số nút trong FEA, do đó số bậc tự do trong IGA cũng ít hơn trong FEA. Các điểm kiểm soát không nằm trực tiếp trên phần tử mà là bộ khung giữ cữ cho việc xây dựng hình học. Nguyên nhân do phần tử được xác định bằng knot vector, trong khi điểm kiểm soát được xác định ban đầu theo biên hình học và được làm mịn lưới theo thuật toán knot insertion.
Trong FEA, hình học bài toán được mô tả đơn giản bằng tọa độ nút. Trong IGA thì phức tạp hơn vì hình học được xác định bởi knot vector và điểm kiểm soát, nghĩa là hình học trong IGA được mô tả bằng hai lưới: lưới phần tử và lưới điểm kiểm soát.
Ví dụ để mô tả một tứ giác, trong FEA ta chỉ cần nhập tọa độ của 4 góc nhưng trong IGA ta cần nhập knot vector và điểm kiểm soát ban đầu tùy thuộc vào bậc p của hàm cơ sở như Bảng 4.1.
Bảng 4.1: Knot vectors ban đầu và điểm kiểm soát ban đầu của tứ giác Bậc Knot vectors ban đầu Điểm kiểm soát ban đầu p = 1 0,0,1,1 Phương 2
0,0,1,1
H Phương h: 2
p = 2 0,0,0,1,1,1 Phương 3
0,0,0,1,1,1
H Phương h: 3
p = 3 0,0,0,0,1,1,1,1 Phương 4
0,0,0,0,1,1,1,1
H Phương h: 4
Số điểm kiểm soát ban đầu theo từng phương được xác định bằng chiều dài của knot vector và có khoảng cách đều nhau. Ví dụ, với p = 2 ta có 3 điểm kiểm soát, trong đó 2 điểm nằm ngay góc và 1 điểm là trung điểm của 2 điểm góc.
Tọa độ của các điểm kiểm soát được xác định lại khi lưới phần tử được làm mịn bằng thuật toán knot insertion theo công thức (4.33) và (4.34). Thuật toán knot insertion được thực hiện nhiều lần cho đến khi đạt được số phần tử mong muốn, lúc này chiều dài của knot vector cũng được mở rộng.
Với bài toán nhiều phần tử, ta nên chọn knot vector ban đầu sao cho giá trị knot cuối bằng với số phần tử theo phương tương ứng. Ví dụ bài toán ở Hình 4.25 ta có:
Theo phương , số phần tử nx = 3:
p 1 p 2
0,0,3,3
0,0,0,3,3,3 (4.83)
Theo phương h, số phần tử ny = 2:
H
H
p 1 p 2
0,0,2,2
0,0,0,2,2,2 (4.84)
Quá trình làm mịn lưới được thực hiện bằng cách chèn các knots 1,2 theo
phương và chèn knot h 1 theo phương h. Knot vector được mở rộng như sau:
Theo phương :
p 1 p 2
0,0,1,2,3,3
0,0,0,1,2,3,3,3 (4.85)
Theo phương h:
H
H
p 1 p 2
0,0,1,2,2
0,0,0,1,2,2,2 (4.86)
Kết quả ta có số phần tử theo phương là 3 và số phần tử theo phương h là 2 đúng như mong muốn. Các phần tử này có kích thước trong không gian tham số là [0,1]×[0,1]. Việc chọn knot vector như ví dụ này giúp quá trình tính toán về sau đơn giản. Quá trình xây dựng hình học được minh họa trong Hình 4.26.
Trong IGA số điểm kiểm soát của một phần tử là p 1 2 (trong trường hợp bậc theo hai phương bằng nhau p = q). Đây là điểm giống với FEA: phần tử Q4 (bậc
p 1 ) có 1 1 2 4 nút và phần tử Q9 (bậc p 2 ) có 2 1 2 9 nút. Vì tổng số điểm kiểm soát trong IGA ít hơn trong FEA (với phần tử có bậc p 1 ) nhưng số điểm kiểm soát của một phần tử lại bằng số nút của phần tử trong FEA nên trong IGA có nhiều hơn 1 điểm kiểm soát (theo từng phương) được sử dụng chung cho 2 phần
tử, khác với trong FEA chỉ có 1 nút biên được sử dụng chung cho 2 phần tử. Tính chất này liên quan đến vùng hỗ trợ của hàm cơ sở B-Spline như ở mục 4.2.5.
Ta có ma trận chỉ số IEN của bài toán IGA với ví dụ Hình 4.25:
1 2 5 6 2 3 6 7 3 4 7 8
IEN ;IEN
5 6 9 10 6 7 10 11 7 8 11 12
p 1 p 2
1 2 3 6 7 8 11 12 13 2 3 4 7 8 9 12 13 14 3 4 5 8 9 10 13 14 15 6 7 8 11 12 13 16 17 18 7 8 9 12 13 14 17 18 19 8 9 10 13 14 15 18 19 20
(4.87)
= {0,0,3,3}
H = {0,0,2,2} = {0,0,0,3,3,3}
H = {0,0,0,2,2,2}
Bài toán IGA bậc 1 Bài toán IGA bậc 2
= {0,0,1,2,3,3}
H = {0,0,2,2} = {0,0,0,1,2,3,3,3}
H = {0,0,0,2,2,2}
= {0,0,1,2,3,3}
H = {0,0,1,2,2} = {0,0,0,1,2,3,3,3}
H = {0,0,0,1,2,2,2}
Phần tử [0,1]×[0,1]
Hình 4.26: Quá trình xây dựng hình học
chèn knot
{1,2}
chèn knot h {1}
chèn knot
{1,2}
chèn knot h {1}
Và ma trận tọa độ của các điểm kiểm soát:
;
1 1
1 1
2 2
2 2
p 1 p 2
20 20
12 12
x y
x y
x y
x y
P P
x y
x y
(4.88)
Bài toán sử dụng knot vector mở với các giá trị knots bên trong không lặp lại. Nên ta có số điểm kiểm soát (số hàm cơ sở) bằng số phần tử cộng với bậc p theo từng phương:
Theo phương : n p 1 nx2 p 1 p 1 nx p (4.89) Theo phương h: m H p 1 ny 2 p 1 p 1 ny p (4.90)
Trong đó n, m là số điểm kiểm soát theo phương và phương h ; n ,nx y là số phần tử theo phương và phương h. Ở đây, ta dùng bậc p bằng nhau cho hai phương.
Vậy lưới phần tử bậc p 2 có số điểm kiểm soát nhiều hơn chỉ 1 điểm so với lưới phần tử bậc p 1 theo từng phương. Trong khi ở FEA, thay lưới phần tử Q4 thành Q9 thì số nút tăng từ nx1 nút lên 2nx 1 theo từng phương. Điều này cho thấy trong FEA ít dùng phần tử bậc cao vì số nút tăng quá nhiều. Trong khi đó IGA là một công cụ rất mạnh mẽ, tiết kiệm chi phí tính toán với những bài toán bậc cao sử dụng ít điểm kiểm soát.
Điều kiện biên lực với các lực phân bố được gán cho các điểm kiểm soát không giống như các công thức (3.34), (3.35) và (3.36). Các lực phân bố được gán cho điểm kiểm soát bằng tích phân số trong tất cả các trường hợp. Với lực phân bố theo biên ngang trong không gian tham số (không cần là biên ngang trong không gian thực) ta có:
Gauss , x
x x
n T n T
e 0 yd i 1 i i i y Wi
r N Nq N N q (4.91)
Tương tự ta có lực phân bố theo biên dọc trong không gian tham số:
Gauss , y
x x
n T n T
e 0 hy d j 1 h j j j hy Wj
h h
h h h h
r N Nq N N q (4.92)
Trong đó N là vector hàng có chiều dài p + 1 chứa các hàm cơ sở tương ứng trên biên, q là vector cột có chiều dài p + 1 chứa giá trị của lực phân bố tại các điểm Gauss của biên. Giá trị Jacobian x s hay
J ; s s
y s h
của biên được trích từ ma trận Jacobi J.
Điều kiện biên chuyển vị được gán tương tự như FEA cho các bậc tự do liên quan với các điểm kiểm soát trên biên. Ví dụ, để gán điều kiện biên bên trái của Hình 4.25(b) cố định thì điều kiện biên chuyển vị được mô tả bằng một vector gồm các bậc tự do DOF như sau:
T
prDof = 1 6 11 16 21 26 31 36 (4.93)