Tính biến dạng trung bình

CHƯƠNG 4. PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC

4.5 Rời rạc hóa bài toán bằng phương pháp IGA

4.5.1 Rời rạc hóa bài toán bằng phương pháp IGA gốc

4.5.1.2 Tính biến dạng trung bình

IGA cũng sử dụng phần tử đẳng tham số giống FEA, tuy nhiên ý tưởng được đảo ngược bằng cách dùng hàm cơ sở NURBS trong xây dựng hình học để làm hàm dạng nội suy trường chuyển vị.

Hình 4.27 là các không gian được dùng trong IGA: Phần tử e trong không gian thực được ký hiệu là e, trong không gian tham số được ký hiệu là e, trong không gian chuẩn được ký hiệu là . Phần tử e trong không gian tham số có kích thước

 i, i 1  h hj, j 1 .

4

1 2

3 6 5

Y X

1 2 3

4 5 6

Không gian thực (Physical space)

Không gian tham số (Parameter space)

Phần tử chuẩn (Parent element)

i i+1

hj hj+1

 h

mapping

mapping

-1 1

1

-1

Hình 4.27: Các không gian được sử dụng trong IGA

e

e



Ghi chú

- Các hàm cơ sở NURBS được tính trong không gian tham số nên cần phép ánh xạ từ không gian thực sang không gian tham số.

- Phần tử e trong không gian tham số là e có kích thước [i,i+1]×[hj,hj+1].

- Tích phân số được tính trên phần tử chuẩn [-1,1]×[-1,1]

nên cần phép ánh xạ từ không gian tham số sang không gian chuẩn.

 h

Theo mục 4.2.5 ta có phép ánh xạ hình học từ không gian tham số sang không gian thực như sau:

   

n m p,q i , j ncp I

I

i , j I 1

i 1 j 1 i , j I

x x

x R , R , ; ncp n m

y

y  h y   h

 

   

       

          (4.94)

Với RI  h, Ri, jp,q  h, là hàm cơ sở NURBS của điềm kiểm soát PI Pi, j và được tính theo công thức (4.44); (xI,yI) là tọa độ của điểm kiểm soát PI; ncp n m  là tổng số điểm kiểm soát của bài toán.

Hàm RI h,  được dùng làm hàm dạng nội suy trường chuyển vị như sau:

  I

ncp I 1 I

I

u u

R , ; I 1,2,...,ncp v   h  v

    

      (4.95)

Với (uI,vI) là chuyển vị của điểm kiểm soát PI . Ta có vector chuyển vị của các điểm kiểm soát:

d u1 u2 uncp v1 v2 vncpT (4.96) Biến dạng của một điểm có tọa độ  h , :  i, i 1 ,h h hj, j 1  thuộc phần tử e như sau:

  e e e T  

e  h, xx yy xy  e  h,

ε B d (4.97)

Với:  

1,x 2,x ncp,x

e 1,y 2,y ncp,y

1,y 2,y ncp,y 1,x 2,x ncp,x

R R R 0 0 0

, 0 0 0 R R R

R R R R R R

 h

 

 

  

 

 

 

B (4.98)

Các đạo hàm RI,x và RI,y được tính theo công thức (3.13) trong CHƯƠNG 3:

 

 

J I,

I,x 1

I,y I,

R ,

R

R R ,

 h

 h

 h

  

 

  

 

 

   

(4.99) Với ma trận Jacobi J được tính theo phép ánh xạ hình học trong công thức (4.94).

   

   

J

ncp ncp

, , I 1 I, I I 1 I, I

ncp ncp

, , I 1 I, I I 1 I, I

x y R , x R , y

x y R , x R , y

   

h h h h

 h  h

 h  h

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

  (4.100)

Trong đó:

 

           

  

   

         

  

i ,p

j ,q i ,p j ,q

2 j,q

i,p i ,p j ,q

2

N W ,

M W , N M

I , ij

W ,

M W ,

N W , N M

I , ij

W ,

R , w

R , w

  h

h  h  h

 

  h

h  h

  h  h

h h

h  h

 h

 h

 

  

 

  

 



 



(4.101)

Với Ni,p  và Mj ,q h là các hàm cơ sở B-Spline, W h,  là hàm trọng số được tính theo công thức (4.44).

Ta có:

     

     

i ,p

j,q

W , n m N

j ,q ij i 1 j 1

W , n m M

i, p ij

i 1 j 1

M w

N w

 h 

 

 h h

h h

h



 

 

 

 

 

 

 



 

 

  (4.102)

Tương tự như phần tử Q4 và Q9 trong FEA, ma trận biến dạng chuyển vị có dạng

 

e  h,

B . Trước khi xây dựng bài toán tối ưu, ta cần một ma trận Betrungbình (hay

e= const

B ) để tính biến dạng trung bình của phần tử:

e e e T

e xx yy xy  e (Do const )

ε B d d (4.103)

Với: B

1,x 2,x ncp,x

e 1,y 2,y ncp,y

1,y 2,y ncp,y 1,x 2,x ncp,x

R R R 0 0 0

const 0 0 0 R R R

R R R R R R

 

 

   

 

 

 

(4.104)

Ta có:

e

e

e

I,x I,x e

e

I,y I,y e

e

e e

R 1 R d

A

R 1 R d

A

A d

























(4.105)

Trong đó Ri,x, Ri,y tương ứng là đạo hàm của hàm RI  h,  theo x và y trung bình trên phần tử e và Ae là diện tích của phần tử e.

Các tích phân trên miền e (trong không gian thực) trong công thức (4.105) được chuyển về tích phân trên miền e (trong không gian tham số) qua phép ánh xạ hình học như công thức (4.94). Vì tích phân số chỉ tính toán được trong phần tử chuẩn như Hình 4.27, nên tích phân trên miền e được tính bằng cách chuyển về tích phân trên

miền  (đây là điểm khác biệt của IGA so với FEA). Phép ánh xạ của điểm  h, 

trong miền  thành điểm  h , :  i, i 1 ,h h hj, j 1  trong miền e như sau:

   

   

     

i 1 i i 1 i

j 1 j j 1 j

i 1 i j 1 j

1 2 1 2 det 1

4

     

h h h h h h

  h h

 

 

 

 

     

 

     

   

J J

(4.106)

Vậy tích phân trong công thức (4.105) được tính như sau:

J J J

e e

I,x I,x e I,x e I,x

e e e

1 1 1

R R d R d R d

A   A   A

     

J J J

e e

I,y I,y e I,y e I,y

e e e

1 1 1

R R d R d R d

A   A   A

      (4.107)

e e

e e e

A  d  J d  J J d

Tích phân trên miền  được tính bằng tích phân Gauss tương tự như công thức (3.43) trong CHƯƠNG 3. Sử dụng p 1 q1 điểm Gauss để tính, với p và q là bậc của hàm cơ sở B-Spline tương ứng theo phương  và h.

Ví dụ với p = q = 1 thì tích phân trên miền  được tính bằng ninj   2 2 4 điểm Gauss, trọng số của các điểm Gauss  hi, jlà Wg WiWj, các điểm Gauss này giống với các điểm Gauss của phần tử Q4 trong FEA. Tương tự với p = q = 2, ta cần ninj   3 3 9 điểm Gauss, và các điểm Gauss này giống với các điểm Gauss của phần tử Q9 trong FEA.

Ta có tích phân của một hàm f  h,  trên miển  sử dụng g  ni nj điểm Gauss như sau:

  ini njj  i j i j

f  h , d    f  h , WW

 (4.108)

START Mô hình bài toán

INPUT

Hình học Knot vector

Tọa độ các điểm kiểm soát Ma trận chỉ số IEN Điều kiện biên lực Điều kiện biên chuyển vị

for r = 1 : nx (số phần tử theo phương 

Cho ma trận Betrungbình = 0

for g = 1 : số điểm Gauss Tọa độ điểm Gauss và trọng số

Wg = Wi×Wj

Tính các hàm B-Spline Ni,p(), Mj,q(h) và các đạo hàm RI,(,h), RI,h(,h) Tính ma trận Jacobi J, det(J) và ma trận

nghịch đảo J-1 Tính các đạo hàm theo x và y

RI,x và RI,y

Tính ma trận Betrungbình bằng tích phân Gauss

STOP

Xây dựng bài toán tối ưu

MOSEK

Tải trọng phá hủy + Cơ chế phá hủy OUTPUT

Tính biến dạng trung bình for s = 1 : ny (số phần tử theo phương h

Tính tọa độ (,h) theo và tính det( )

Hình 4.28: Sơ đồ xây dựng bài toán phân tích giới hạn bằng phương pháp IGA gốc Ghi chú

- Hình học được mô tả bằng knot vector và tọa độ các điểm kiểm soát.

- Điều kiện biên lực được gán cho các điểm kiểm soát bằng tích phân số (4.91) và (4.92).

- Điều kiện biên chuyển vị được gán cho các điểm kiểm soát trên biên.

- Vòng lặp for 1: Tính toán qua ny phần tử theo phương h.

- Vòng lặp for 2: Tính toán qua nx phần tử theo phương .

- Vòng lặp for 3: Tính ma trận Betrungbình bằng tích phân Gauss (4.108) sử dụng hai phép ánh xạ:

+ Từ không gian tham số sang không gian thực với ma trận Jacobi J theo (4.100).

+ Từ không gian chuẩn sang không gian tham số với det J

theo (4.106).

- Dùng hàm cơ sở NURBS nội suy chuyển vị.

Hình 4.28 thể hiện sơ đồ xây dựng bài toán phân tích giới hạn bằng phương pháp IGA gốc. Ta thấy có 3 vòng lặp for chính trong sơ đồ này: Trong đó vòng lặp for qua các phần tử trong FEA được thay bằng 2 vòng lặp for qua các phần tử theo từng phương. Nguyên nhân do ta có trực tiếp hàm dạng trong FEA là các đa thức Lagrange hai biến, trong khi hàm cơ sở B-Spline Ni,p  và Mj ,q h được định nghĩa riêng lẻ theo từng phương, sau đó hàm cơ sở NURBS được tính theo các hàm B-Spline;

Vòng lặp for thứ 3 nhằm thực hiện tích phân Gauss (4.108) để tính ma trận Be trung bình của mỗi phần tử. Trong vòng lặp for này ngoài phép ánh xạ từ không gian tham số sang không gian thực còn có thêm phép ánh xạ từ không gian chuẩn sang không gian tham số. Qua đó cho thấy việc tính toán phân tích trong IGA phức tạp hơn so với FEA. Tuy nhiên thuật toán Bézier extraction sẽ giúp đưa bài toán IGA về cấu trúc tính toán đơn giản hơn giống bài toán FEA.