Trích đề HSGQG năm 2019)

Nghiên cứu quang phổ của nguyên tử Hidro đóng vai trò quan trọng trong việc hoàn thiện mô hình về cấu trúc nguyên tử. Trong bài này chúng ta khảo sát các vạch quang phổ phát xạ của nguyên tử Hidro. Theo mẫu Bo về cấu trúc nguyên tử, năng lượng của các trạng

27

thái dừng trong nguyên tử Hidro ứng với quỹ đạo n được tính theo công thức

2 2 0

1 ( , , , )

n 32 e

E F m e

n 

  

Trong đó n là các số nguyên dương, F là một hàm số bằng tích số và/hoặc thương số của hằng số điện 0, điện tích nguyên tố e, khối lượng nghỉ me của electron và hằng số Planck rút gọn được xác định qua hằng số Plang h theo công thức

2 h

  .

a. Công thức xác định sự phụ thuộc của đơn vị đo một đại lượng nào đó vào các đơn vị đo cơ bản được gọi là thứ nguyên của đại lượng đó. Sử dụng phép phân tích thứ nguyên, hãy xác định hàm số F ( , , , ) 0 m ee

b. Tìm biểu thức bước sóng n của vạch quang phổ được tạo thành do nguyên tử Hidro chuyển từ trạng thái kích thích ứng với quỹ đạo n về trạng thái cơ bản theo 0, , , m ee và c (tốc độ ánh sáng trong chân không)

2. Trên thực tế, các vạch quang phổ của nguyên tử hidro có độ rộng nhất định.. Trong mục này chúng ta khảo sát độ rộng n của bước sóng n (ứng với quang phổ tìm được trong ý 1.b) do một số nguyên nhân khác nhau gây ra một cách độc lập.

a. Khi các nguyên tử hidro nằm trong môi trường có nhiệt độ xác định thì các nguyên tử bức xạ tham gia chuyển động nhiệt hỗn loạn với tốc độ trung bình là v. Do hiệu ứng Đốp – ple (Doppler), vạch quang phổ tương ứng với vước sóng n có độ rộng nD. Tìm biểu thức của nD theo n , v và c?

b. Theo nguyên lí bất định Hai – xen – béc, độ bất định năng lượng E và độ bất định thời gian t của nguyên tử thỏa mãn   E t. . Biết thời gian sống của nguyên tử hidro ở trạng thái ứng với quỹ đạo n có giá trị trung bình là  . Do tính bất định nên vạch quang phổ tương ứng với bước sóng n có độ bất định là nH. Tìm độ bất định nhỏ nhất nHmin theo

n ,  và c?

c. Giả sử rằng nguyên tử hidro với khối lượng nghỉ m0 đang đứng yên. Khi nguyên tử phát ra photon thì nó bị giật lùi, khi đó vạch quang phổ tương ứng với bước sóng n có độ rộng nR. Tìm biểu thức của nR theo n , m0 , h và c?

Gợi ý lời giải (Trần Kỳ Vĩ HNUE) 1.a) Theo đề bài nhận thấy

 0  2 2

2 2

[ ] 1 , , , . .

n 32 e

E F m e M L T

n 



  

   

Do 12 2 32 n

 

 

  có thứ nguyên bằng 0 nên F0,m ee, , M L T. .2 2 (1)

28

Do hàm F0,m ee, ,  được xem như một tích và (hoặc) thương của hằng số điện 0, điện

tích nguyên tố e, khối lượng nghỉ me của electron và hằng số Planck rút gọn , do đó, theo phương pháp thứ nguyên ta có thể đặt:  0, , ,  0

e e

F  m e m e   , với    , , , là các số nguyên không thứ nguyên

=>   0        

1 3 4 2 2 1

0, , , . . . . .

e e

F  m e           m e   M L T I   M  T I  M L T 

 

         

=>   F  0, m ee, ,     M    L 3 2 T4    I2  (2)

Từ (1) và (2) , theo phương pháp đồng nhất thứ, ta có hệ 1

3 2 2

4 2 (*)

2 0

  

 

  

 

   

  

    

  



Giải hệ (*), ta được:  2, 1, 4,  2, từ đây ta nhận được

 0  2 42

0

, e, , m ee F  m e

  (3)

b) Từ (3) và tđề bài ta thu được biểu thức năng lượng ở trạng thái kích thích n:

4 2 2 2 2

32 0 e n

E m e

  n

  (4)

Theo tiên đề 3 của Bohr – Sommerfeld, khi hidro chuyển từ trạng thái En sang trạng thái cơ bản E1, nó phát ra một photon bước sóng n thỏa mãn điều kiện:

4 4

1 2 2 2 2 2 2 2

0 0

2

32 32

e e

n

n

m e m e c

E E

n



    

 

     

 

=>

4

3 2 3 2

0

1 1

64 1

e n

m e

c n

  

 

   

Hay

3 2 3 2

0

2 4

64

n 1

e

n c

n m e

   



2. a) Trong hệ quy chiếu (HQC) gắn với nguyên tử hidro khi nó đứng yên, photon phát ra có tần số n

n

f c

 , khi người quan sát (NQS) thấy HQC hidro chuyển động nhiệt với vận tốc v thì NQS thu được tần số f thỏa mãn biến đổi Lorentz cho xung – năng lượng

2 2

2

2 1 2

1

n n

f f f vn

v c c

      



=>

2 2

1

1 1

n n

vn c vn

f f f

v c c

  

   

 



29

(do trong chuyển động nhiệt v <<c), n là vecto đơn vị theo phương truyền sóng, ta thấy f lớn nhất khi v cùng chiều n và nhỏ nhất khi v ngược chiều n, do đó độ lệch của tần số đo được trên máy thu là

1 1 2

n n n

v v v

f f f f f f

c c c

 

   

           Theo công thức c

  f => nD 2 2 2 n

n n

c v v

f f f c

 

     , (nguyên tắc lấy sai số theo vi phân toàn phần).

b. Hệ thức bất định liên hệ năng lượng của một hạt chuyển trạng thái vĩ mô và thời gian tồn tại của một hệ vi mô và thời gian sống t của nó:   En t , (*1) từ đây sinh ra hệ quả: chỉ có ở trạng thái cơ bản tồn tại rất lâu (t rất lớn) mới có năng lượng xác định, các trạng thái kích thích En chỉ tồn tại trong một thời gian   t hữu hạn, nên có hệ thức bất định : En

  , (5)

Từ tiên đề Bohr: n 1 2

n

E E  c

     (**)

Do đó  bất định (cũng tính bất định dựa theo phương thức tính sai số)

2

2 H

n n

n

E  c

 

      (6)

Từ (5) và (6) ta được: nHmin  2 n2c

c) Gọi khối lượng của nguyên tử hidro là m0, năng lượng khi hidro không chuyển động là

2

0 0

E m c , động lượng của nguyên tử hidro sau khi phát ra photon (có năng lượng ' hc

  ) là p, bảo toàn năng lượng cho: E0En   pc 2E02  E1 ' (7)

Bảo toàn động lượng cho về mặt độ lớn cho: '

p c

 (8) Từ (6) ta có:  EnE1, (9)

Cho rằng: '    , từ (7), (8), (9) ta có :

     

2 2 2 2

2 2 2

0 0 2

0 0 0

4

2 2 2 n

E E

E E m

  

   

 

            

 (***)

Tính tương tự (6), ta có: n 2 2 nR n

E  c

 

      Từ (***) và (6 ), ta có:

0 2 0

R n

h m c m c

 

   .

30