Trong mẫu nguyên tử Bohr, khi êlectron chuyển động quanh hạt nhân trên quỹ đạo dừng thứ n thì momen động lượng của nó bằng một số nguyên lần hằng số Planck rút gọn Ln n . Mẫu nguyên tử Bohr đã cơ bản giải thích được cấu trúc quang phổ vạch của hiđrô.
Tuy nhiên khi sử dụng máy quang phổ hiện đại người ta nhận thấy thực tế mỗi vạch trên lại bao gồm 2 vạch nằm sát nhau và quang phổ như vậy gọi là quang phổ có cấu trúc tế vi.
Nguyên nhân của sự tách vạch này là do êlectron không chỉ chuyển động trên quỹ đạo quanh hạt nhân mà còn chuyển động tự quay quanh trục qua tâm của nó với momen động lượng tự quaySgọi là spin và chuyển động tự quay này sinh ra momen từ gọi là momen từ spin. Tùy thuộc vào định hướng của spin và chuyển động quỹ đạo của êlectron, năng lượng của êlectron có thể tăng hoặc giảm một chút so với khi không tính đến spin. Trong bài toán này ta sẽ nghiên cứu sự tách vạch quang phổ được mô tả ở trên do tương tác spin-quỹ đạo gây ra bằng mô hình giả định bán cổ điển khi coi êlectron như một quả cầu đặc tích điện đều có điện tích e, khối lượng m quay đều xung quanh một trục đối xứng của nó.
1. Biết momen động lượng ứng với chuyển động tự quay của êlectron có độ lớn Ss (s = 1/2). Hãy tính momen từ spin của êlectron do sự tự quay gây nên. Nhận xét về kết quả
36
thu được so với momen từ spin của êlectron thực tế là s 2s Bvới B e
2m là manheton Bohr.
Cho biết momen từ của một dòng điện tròn có cường độ I chạy quanh một mặt có diện tích A là qd I.A.e (elà vectơ pháp tuyến mặt của A) (Hình vẽ).
2. Khảo sát êlectron đang chuyển động trên quỹ đạo thứ n trong nguyên tử hiđrô. Xét trong hệ quy chiếu gắn với khối tâm của êlectron, hạt nhân mang điện tích chuyển động và sinh ra từ trường. Spin của êlectron bị lượng tử hoá, hình chiếu của nó lên phương từ trường chỉ cú thể nhận một trong hai giỏ trị s ,với s = ẵ. Tớnh năng lượng tương tỏc của từ trường hạt nhân và momen từ spin của êlectron qua n, s, hằng số tế vi
2 0 0
e 4
và hằng số Rydberg
2 4
y 2
R mk e
2 (
0
k 1
4
; 0là hằng số điện; 0là độ từ thẩm của chân không).
Cho biết: - Momen từ spin của êlectron là s 2s B.
- Năng lượng tương tác giữa momen từ M và từ trường BlàU M.B.
3. Khi chuyển từ hệ quy chiếu gắn với êlectron ở trên về hệ quy chiếu phòng thí nghiệm, do hiệu ứng tương đối tính Thomas, năng lượng tương tác vừa tính ở ý 2 giảm đi một nửa giá trị. Hãy tính hiệu bước sóng của hai vạch kép khi êlectron chuyển từ trạng thái kích thích ứng với n = 2 về trạng thái cơ bản (trạng thái có năng lượng thấp nhất).
4. Các vạch sáng trong quang phổ của nguyên tử hiđrô có độ rộng. Điều này có thể giải thích là do các mức năng lượng có tính bất định (bất định Heisenberg) và do chuyển động nhiệt của các nguyên tử. Bỏ qua sự bất định Heisenberg, bỏ qua tương tác spin-quỹ đạo, hãy đánh giá bề rộng của vạch phổ do êlectron chuyển từ trạng thái kích thích ứng với quỹ đạo n về trạng thái cơ bản gây nên. Cho biết nguyên tử hiđrô nằm trong môi trường có nhiệt độ T.
Hướng dẫn giải
1. Gọi là vận tốc góc của chuyển động quay, a là bán kính quả cầu.
Momen động lượng spin 2 2
S I. ma . s.
5 (1)
Để tính momen từ, ta chia hình cầu thành những vỏ trụ có trục trùng với trục quay. Xét vỏ hình trụ bán kính đáy b, chiều cao 2 a2b2 và chiều dày db. Thể tích vỏ trụ
2 2
dV 4 b a b db ứng với điện tích dq dV. Điện tích này quay với vận tốc góc nên sinh ra dòng dq
dI dq.f dq.
T 2
. Momen từ do hình trụ gây ra:
2 2 2 2 3 2 2
d b dI b . . .4 b a b db 2 b a b db
2
.
37
Đặt bacos và tích phân theo toàn khối cầu ta có S 4 5 1 2
a ea
15 5
. Thay (1) vào ta có S 1 s.e B
. s
2 m (2), trong đó B gọi là magneton Bohr.
Nhận xét: Kết quả tính được chỉ bằng một nửa giá trị lý thuyết theo cơ học lượng tử.
2. Hạt chuyển động tròn đều trên quỹ đạo rn: - Điều kiện lượng tử hóa Bohr có dạng n n
n
L mvr n v n
mr (3) - Lực Coulomb cân bằng lực quán tính ly tâm
2 2
2
n n
mv ke
r r (4) Từ (3) và (4)
2
2 2
n 2 B
r n . n .r
mke , với
2
B 2
r mke là bán kính Bohr.
Năng lượng
2 2 2
y
n 2
n n
mv ke ke R
E 2 r 2r n , trong đó hằng số Rydberg Ry mk e2 42
2 (5) Chu kỳ của chuyển động quay
2
n n
n n
2 r 2m r
T v n
, suy ra cường độ dòng điện
n
I e
T Cường độ từ trường do dòng điện tròn bán kính rn gây ra tại tâm là:
0 0 0 B
3 3
n n n
.I n e n
B 2r 4m r 2 r
.
Thế năng tương tác của từ trường B và momen từ spin s có độ lớn
2 2 2
0 B 0 B n 0 B
SO S 3 2 2 4 2
n n n B
2ns 1 ns 2E ns
U B. . .
2 r r r ke n r
Xét tỷ số:
3 B
2 B
2
e 2m ke
r 2
mke
,
2 2
2 2 y
0 n n
SO 3 3 5
ce E E R
U .2s. .2s. .2s.
4 n n n
với 1
137là hằng số tế vi 3. Mức năng lượng En bây giờ tách thành hai mức
2
y y
n 2 5
R R
E n 2 n
Mức cơ bản ứng với n = 1 và s = 1/2,
2 y
1 y
E R R
2
Vậy hai bước sóng cần tìm là 2
2 1
hc
E E
.
38
Khoảng cách giữa hai bước sóng
2 y
5 2
2 2
2 y
y 2
hcR2.2 1 hc 0,14 pm
36 R R 1 1
2
4. Khi nguyên tử đứng yên và không tính đến spin, phôton phát ra khi êlectron chuyển từ quỹ đạo n về trạng thái cơ bản có bước sóng n
n 1
y 2
hc hc
E E 1
R 1 n
- Ở nhiệt độ T, các nguyên tử chuyển động với vân tốc trung bình
H
v 3kT
m theo các hướng khác nhau. Do nguyên tử chuyển động, bước sóng của phôton phát ra tăng hoặc giảm do hiệu ứng Doppler.
- Gọi v là vận tốc nguyên tử. Giả sử phôton bay ra cùng (ngược) hướng với vận tốc nguyên tử, photon thu được có bước sóng n n c v
c v
Độ rộng vạch phổ: Dn n
H
y 2
2v 3kT 2h
. .
c m 1
R 1 n
Mẫu nguyên tử Hidro có kể đến tương đối tính