Mặc dù hạt nhân nguyên tử là các đối tượng lượng tử, nhưng một số định luật chi phối các đặc trưng cơ bản (như bán kính hay năng lượng liên kết) có thể tính được nhờ một số giả thiết đơn giản: (i) hạt nhân được tạo thành từ các nuclon (prôtôn và nơtrôn); (ii) lực mạnh giữ các nuclon có tầm tác dụng rất ngắn (nó chỉ tác dụng lên các nuclon kế cận); (iii) số prôtôn Z
75
trong một hạt nhân nào đó gần bằng với số nơtrôn A N Z
2 , ở đây A là tổng số nuclon A 1. Sử dụng các giả thiết này trong các phần từ 1 đến 4 dưới đây.
1. Hạt nhân nguyên tử được lấp đầy bởi các nuclon
Trong một mô hình đơn giản, một hạt nhân nguyên tử có dạng quả bóng gồm các nuclon gắn kết với nhau (xem hình 1(a)), nuclon được coi là viên bi cứng có bán kính
15
rN 0,85.10 m. Lực hạt nhân chỉ có hiệu lực với hai nuclon tiếp xúc nhau. Thể tích V của hạt nhân lớn hơn nhiều so với thể tích của tất cả các nuclon AVN, ở đây
N
3 N
V = πr 4 3 . Tỉ
số AVN
f = V được gọi là tỉ số lấp đầy và cho biết phần trăm của không gian bị lấp đầy bởi vật chất cấu thành hạt nhân.
1.a. Tính tỉ số lấp đầy f nếu các nuclon sắp xếp theo dạng khối tinh thể lập phương đơn giản (SC), trong đó mỗi nuclon nằm tại tâm của một nút mạng của một mạng lập phương rộng vô hạn.
Chú ý: Trong tất cả các câu sau, cho rằng tỉ số lấp đầy thực tế bằng với kết quả tính được trong câu (1a). Nếu bạn không tính được câu trên, trong các câu sau bạn có thể lấy f =
ẵ.
Hình 1. (a) Một hạt nhân nguyên tử có dạng hình cầu được lấp đầy bởi các nucleon. (b) Lấp đầy dạng khối lập phương.
1.b. Ước lượng khối lượng riêng trung bình 𝜌𝑚, mật độ điện tích trung bình 𝜌𝑐, và bán kính R đối với một hạt nhân có A nuclon. Khối lượng trung bình của một nuclon là 1,67.10-
27 kg.
2. Năng lượng liên kết của hạt nhân nguyên tử - các số hạng liên quan tới thể tích và diện tích mặt
Năng lượng liên kết của hạt nhân là năng lượng cần thiết để tách hạt nhân thành các nuclon riêng rẽ. Nguồn gốc của nó là lực hạt nhân là lực hút của nuclon tác dụng lên các nuclon ở gần nó. Nếu một nuclon đã cho không ở bề mặt thì nó đóng góp một năng lượng liên
76
kết toàn phần một lượng a = 15,8 MeV . Trong khi đó, một nuclon ở bề mặt đóng góp vào V năng lượng liên kết xấp xỉ là a / 2. Tính năng lượng liên kết V E của hạt nhân có số khối A b thông quaA, a và tỉ số lấp đầy f của hạt nhân và kể đến sự hiệu chỉnh do bề mặt. V
3. Ảnh hưởng của lực tĩnh điện đến năng lượng liên kết
Năng lượng tĩnh điện của một quả cầu tích điện đồng nhất có bán kính R và điện tích Q là
2 C
0
E = 3Q
20πε R trong đó
-12 2 -1 -2
ε = 8,85.10 C N m0
3.a. Hãy áp dụng công thức này để thu được biểu thức năng lượng tĩnh điện của một hạt nhân. Trong đó mỗi hạt nhân, mỗi proton không chịu tác dụng lực tĩnh điện của chính nó mà chỉ chịu tác dụng lên các proton còn lại.
3.b. Hãy viết công thức đầy đủ của năng lượng liên kết, bao gồm số hạng bổ chính (thể tích), số hạng bổ chính bề mặt và bổ chính năng lượng tĩnh điện thu được.
4. Sự phân hạch các hạt nhân nặng
Phân hạch là phản ứng hạt nhân trong đó, một hạt nhân phân chia thành các hạt nhân khác nhẹ hơn. Giả sử rằng một hạt nhân có A nuclon phân tách thành hai hạt nhân giống nhau như trong hình 2.
4.a. Tính tổng động năng 𝐸𝑘𝑖𝑛 do phân hạch tại nên khi tam của hai hạt nhân nhẹ cách nhau một khoảng 𝑑 ≥ 2𝑅(𝐴/2), trong đó 𝑅(𝐴/2) là bán kính của chúng. Hạt nhân trước phân hạch đứng yên.
4.b. Giả sử rằng 𝑑 = 2𝑅(𝐴/2), tính gí trị của 𝐸𝑘𝑖𝑛 cho trường hợp A = 100, 150, 200 và 250 (tính kết quả ra đơn vị MeV). Ước lượng giá trị của A để phân hạch là khả dĩ theo mô hình trên đây.
Hình 2. Phác hoạ mô tả phản ứng phân hạch trong mô hình đang được sử dụng
77
Hướng dẫn giải 1. Hạt nhân nguyên tử được lấp đầy bởi các nuclon
1.a. Trong hệ SC, trong mỗi 8 góc của một khối lập phương có một đơn vị ( nguyên tử, hạt nhân… ) nhưng nó được chia sẻ bởi 8 khối lân cận nên trong một khối lập phương có tổng cộng một hạt nhân.
Nếu các hạt nhân tiếp xúc nhau và giả định theo mô hình đơn giản của chúng ta thì mỗi cạnh khối lập phương là a = 2r . Thể tích của hạt nhân là N
N
3
3 3
N
4 4 a π
V = πr π a
3 3 2 6
Tỉ số lấp đầy là VN3 π
f = = 0,52 a 6
1.b. Mật độ khối lượng của hạt nhân là
27 N 17
m 3
N 15 3
m 1,67.10 kg
ρ = f = 0,52. 3,40.10
V 4π(0,85.10 ) m
3
1.c. Mật độ điện tích là
19
25
C 3
N 15 3
f e 0,52 1,6.10 C
ρ = = . 1,63.10
2 V 2 4π(0,85.10 ) m
3
Số lượng nuclon trong hạt nhân là A. Tổng thể tích chiếm chỗ của hạt nhân là
AVN
V = f
Mối quan hệ giữa bán kính hạt nhân và số lượng hạt nhân là
1/3 1 1
3 3
N 1
3
A 0,85
R = r A 1,06.A (fm)
f 0,52
2. Năng lượng liên kết của hạt nhân
Do hạt nhân được coi là hình cầu với A nuclon. Số nuclon nằm trên bề mặt hình cầu thuộc vỏ cầu có sự chênh lệch bán kính là 2r . Thể tích của lớp vỏ này là N
3 3
surface N
2 2 3
surface N N N
4 4
V = πR π(R 2r )
3 3
V 8π(R r 2Rr 4r ) 3
Số nuclon trên bề mặt là
78
2 2 3
N N N
surface surface
N 3
N
8π(R r 2Rr + r )4
V 3
A = f = f
V 4πr
3
2 surface
N N
R R 4
A = 6f 2
r r 3
2/3 1/3
surface
A A 4
A = 6f 2
f f 3
1 2 2 1
3 3 3 3
surface
A = 6f A 12f A 8f
Thay số kết quả cuối cùng với 1
f = 2 ta thu được
2 1
3 3
surface
A = 4,84.A 7,80A 4,19
Năng lượng liên kết ở bề mặt là
V
b surface V surface
E (A A )a A a
2 b V surface aV
E Aa A
2
1 2 2 1
3 3 3 3
b V V
E Aa (6f A 12f A 8f)a
2 1
3 3
E = 15,8A 38,20.Ab 61,58.A 33.09(MeV)
3. Năng lượng tĩnh điện trong hạt nhân
a. Do hạt nhân có Z proton có điện tích là Ze. Biểu thức năng lượng tĩnh điện của một quả cầu tích điện đồng nhất có bán kính R và điện tích Q là
2 2 2
C
0 0
3Q 3e Z
E = 20πε R 20πε R
Trong đó mỗi hạt nhân, mỗi proton không chịu tác dụng lực tĩnh điện của chính nó mà chỉ chịu tác dụng lên các proton còn lại nên thay thể điều chỉnh Z2 thành Z(Z 1) nên biểu thức năng lượng tĩnh điện của hạt nhân là
2 C
0
3e Z(Z 1) E = 20πε R
79
b. Thay công thức
1/3 N
R = r A f
và sử dụng A
N Z
2 ta thu được bổ chính năng lượng tĩnh điện là
1 2 3 C 1
0 N 3
3e f Z(Z 1) E = 20πε r
A
13 1
C
3
Z(Z 1)
E .1,31.10 (J) A
5 2
3 3
1 C
3
Z(Z 1)
E .0,815(MeV) 0, 204.A 0, 409.A (MeV) A
Lực đẩy tĩnh điện làm giảm năng lượng liên kết nên phần giá trị âm đóng góp vai tròn chính trong kiên kết được viết lên trước.
Cuối cùng, công thức biểu diễn năng lượng liên kết là
1 5 2
1 2 2 1 2 3 3 3
3 3 3 3
b V V
0 N
3e f A A
E Aa (6f A 12f A 8f)a
20πε r 4 2
4. Sự phân hạch các hạt nhân nặng
4.a. Theo định luật bảo toàn năng lượng, tổng động năng của các hạt nhân sinh ra do
sự khác biệt của các năng lượng liên kết và tương tác tĩnh điện giữa các hạt nhân con.
2 2
kin b b
0
A 1 A e
E (d) = 2E ( ) E (A) .
2 4πε 4.4.d
1 1
3 3
1 2 1 2 1 1
3 3 3 3 3 3
kin V V V
1 1
2 5 2 2
2 3 2 3
3 3 3 3
0 N 0 N
E (d) = 3f A a (2 1) 6f A a (2 1) 4fa
e f 3 2 e f 3 2
2 1 A 2 1 A
πε r 80 128 πε r 40 128
5 2 1
3 3 3
E (d) = 0,02203Akin 10,0365.A 36,175.A 33.09(MeV) (*)
4.b. Áp dụng số ta có
A = 100 thì Ekin(d) = 33,95 (MeV) A = 150 thì Ekin(d) = 30,93 (MeV) A = 200 thì Ekin(d) = 14,10 (MeV) A = 250 thì Ekin(d) = +15,60 (MeV)
Trong mô hình của chúng ta, sử phân hạch xảy ra khi Ekin(d = 2R(A/2))0điều này xảy ra từ A = 200 đến trước A = 250 – x.
80
Giải phương trình (*) ta có A 227 là phân hạch có thể xảy ra.