Bài 2: Một mô hình tương đối tính đơn giản của nguyên tử Bohr
I. TỔNG QUAN LÝ THUYẾT CỦA MẪU HẠT NHÂN
3. Các mẫu hạt nhân
Mục tiêu của các mẫu hạt nhân là giải thích được tại sao Z proton và N nơtron của hạt nhân kết hợp thành các trạng thái liên kết; hiểu được khái niệm spin, khối lượng và các tính chất khác của hạt nhân. Các vấn đề về năng lượng, spin và tỉ lệ các hạt trong hạt nhân là các vấn đề khó của vật lí hạt nhân.
Từ năm 1911, để giải thích sự tán xạ khác thường của hạt alpha, Rutherfor đã giả thiết bên trong nguyên tử tồn tại hạt nhân có dạng hình cầu kích thước khoảng 10 cm13 . Sau này, bán kính của các hạt nhân được xác định thành công bằng việc phân tích thời gian sống của hạt nhân phóng xạ alpha và năng lượng hạt alpha phát ra.
Theo cơ học lượng tử, coi hạt nhân như một hệ hạt ở trạng thái chuyển động, tuân theo nguyên lý bất định Heisenberg:
Từ thực nghiệm người ta thu được các kết luận
+ Hạt nhân được coi là hình cầu với bán kính được tính theo công thức
1 3
R(A)R A0 .
+ Mật độ các nuclon là 3 38 3
0
A 3A
n = = 10 nuclon/cm V 4πR A
+ Mật độ khối lượng của hạt nhân gần như độc lập với nuclon
14 3
nuclon
ρ = n.m 1,67.10 g/cm + Khoảng cách trung bình giữa các nuclon là
- 38 -13
3 V 3
δ = = 10 = 2. 10 cm A
52
Cho đến nay vẫn chưa có một lí thuyết cơ bản nào có thể giải thích tất cả các tính chất quan sát được của các hạt nhân. Tuy nhiên hiện nay đã tồn tại một số mẫu hạt nhân giúp giải thích một cách thỏa đáng một số tính chất của hạt nhân.
3.1. Mẫu giọt
Mô hình mẫu giọt hạt nhân do nhà bác học Borh đề xuất và được C.Von Waiszacker phát triển là một trong những mô hình lý thuyết sớm nhất thành công để xây dựng công thức tính năng lượng liên kết của hạt nhân.
Năm 1935, C.von Waiszacker nhận thấy các đặc trưng của hạt nhân liên quan tới kích thước, khối lượng và năng lượng liên kết của hạt nhân giống như đặc trưng có thể tìm thấy ở một chất lỏng.
Trong mô hình giọt chất lỏng, các tính chất lượng tử riêng lẻ của các nuclon được bỏ qua. Hạt nhân được coi như một lõi trung tâm gồm các nuclon ở trạng thái ổn định và lớp mặt là các nuclon liên kết không chặt chẽ với nhau.
Hình 2.3 : Lớp vỏ và lõi của hạt nhân theo cấu trúc giọt chất lỏng.
Liên kết yếu hơn ở bề mặt làm giảm năng lượng liên kết riêng của hạt nhân và cung cấp “sức căng bề mặt”. Các nuclon sẽ tương tác mạnh với các nuclon lân cận giống như các phân tử trong giọt chất lỏng. Do đó người ta thử mô tả các thuộc tính của chúng bằng các đại lượng vật lí như bán kính, mật độ, sức căng bề mặt và mật độ năng lượng với các giả thuyết về mẫu hạt nhân hình cầu.
Từ lý thuyết này, Waiszacker đã đề xuất bán thực nghiệm về năng lượng liên kết của hạt nhân
23 C 2 A 2 34
V S 1 P
3
a A / 2 Z
E A, Z a A a A a Z a A (*)
A A
Hoặc có thể viết
V S C A p sh
E A, Z T T T T T T
Các hệ số ai được lựa chọn để đưa ra giá trị gần đúng nhất với các năng lượng liên kết thực nghiệm tuy theo các bài toán.
Chúng ta sẽ nghiên cứu kĩ cách hình thành các hằng số ai đã biết trong các hệ số trên bằng các so sánh năng lượng liên kết với năng lượng liên kết đã biết.
53
a. Hệ số thể tích (TV) mô tả mối quan hệ giữa năng lượng liên kết vào số khối A của mỗi hạt nhân. Do phạm vi tác dụng của lực hạt nhân, mỗi nuclon chỉ tương tác với một số nuclon trong hạt nhân. Nếu coi hạt nhân là phân bố đều thì mỗi nuclon sẽ chịu một lực hút như nhau và có đóng góp như nhau cho thế năng tương tác, vậy nên thế năng này tỉ lệ với số hạt A nên TV R3 A.
b. Hệ số bề mặt (TS): Do các hạt nhân được coi là giọt chất lỏng nên tại bề mặt chịu sức căng mặt ngoài. Thế năng mặt ngoài và tỉ lệ thuận với diện tích mặt ngoài nên
2
2 3
TS R A nên
2 3
S S
T a A . Khi tăng diện tích bề mặt của hạt nhân lên thì năng lượng liên kết giảm.
c. Hệ số aC có thể xác định bằng cách tính trực tiếp năng lượng tĩnh điện của lực tương tác giữa Z proton. Với giả thiết phân bố điện tích đều +Ze bên trong khối cầu bán kính R nên thế năng tĩnh điện TC tỉ lệ thuận với Z2. Tuy nhiên hạt nhân chỉ có 1 proton không thể tương tác với chính nó nên hiệu chỉnh thành Z( Z -1).
d. Thế năng bất đối xứng TA:
Sự bất đối xứng được định nghĩa là sự khác biệt năng lượng liên kết giữa các hạt nhân có N = Z và một có N Z
Số hạng được gọi là thành phần bất đối xứng (thành phần Pauli), liên quan đến nguyên lí loại trừ Pauli: ở mỗi mức năng lượng không có quá một hạt cùng loại. Vì nucleon có spin có thể hướng lên hoặc hướng xuống nên nguyên lý Pauli cho phép tối đa hai nucleon cùng loại ở trên cùng một mức năng lượng, một hạt có spin hướng lên, hạt kia có spin hướng xuống.
Proton và neutron là hai loại hạt khác nhau nên nguyên lý Pauli áp dụng riêng biệt cho từng nhóm hạt. Bỏ qua sự chênh lệch khối lượng của hai loại hạt này thì các mức năng lượng của chúng là giống nhau hoàn toàn.
Hình 2.3 là ví dụ về sự sắp xếp các nucleon của các hạt nhân có cùng số khối A: hình (a) ứng với trường hợp N = Z, hình (b) và (c) ứng với NZ. Năng lượng liên kết của hạt nhân bất đối xứng (NZ) sẽ lớn hơn năng lượng liên kết của hạt nhân đối xứng (N = Z).
Nhìn chung, khi có càng nhiều một loại hạt nuclon, các mức năng lượng ở cao hơn bị chiếm nhiều hơn là khi số hạt proton và nơtrôn xấp xỉ bằng nhau, làm tăng tổng năng lượng và giảm tính bền vững của hạt nhân. Do vậy thành phần này tỉ lệ với hiệu số nơtron và proton
N Z 2 A Z
2 .
e. Thế năng cặp TP:
Z=12 N=12 Z=10 N=14 Z=8 N=16
(a) (b) (c)
54
Ngoài ra còn có một số hạng nữa là thành phần kết cặp (pairing term), gây ra bởi hiệu ứng kết cặp spin (spincoupling) [1]:
3 4 3 P
4 P
3 4 P
a A
a A 0
a A
với A lẻ
Theo nguyên lí Pauli, hạt nhân sẽ có năng lượng thấp hơn nếu số nuclon có spin up bằng với số nuclon có spin down.
Đồ thi dưới đây mô tả năng lượng liên kết riêng theo số khối A và sự đóng góp của các thành phần năng lượng theo mẫu giọt hạt nhân.
Mẫu giọt đã được phát triển trong các công trình nghiên cứu của Bohr, Wheeler và Frenkel. Trên cơ sở mẫu giọt, công thức bán thực nghiệm về năng lượng liên kết và khối lượng hạt nhân được xác lập, đồng thời giải thích thành công rất nhiều đặc tính phân hạch của hạt nhân nặng và các quy luật phân rã alpha, giải thích được cấu trúc các trạng thái kích thích đầu của hạt nhân chẵn – chẵn, tiên đoán khối lượng và năng lượng liên kết của các hạt nhân mới.
3.2. Mẫu vỏ
Trong mẫu giọt chất lỏng, ta không nghiên cứu một cách một cách riêng biệt từng nuclon mà các hiệu ứng chúng gây ra được lấy trung bình trên toàn bộ hạt nhân.
Có thể sử dụng mẫu giọt để giải thích một số đặc trưng của hạt nhân ví dụ như năng lượng liên kết trung bình tính cho một nuclon. Tuy nhiên để giải thích một số đặc trưng khác như năng lượng của trạng thái kích thích, momen từ hạt nhân cần phải xây dựng một mẫu vi mô có tính đến đặc trưng riêng của từng nuclon.
Trong quá trình thu thập các số liệu thực nghiệm người ta nhận thấy rằng khi các số N hay Z của hạt nhân bằng 2, 8, 20, 28, 50, 82 hay 126 thì tính chất của hạt nhân thay đổi một cách rõ rệt. Các số trên gọi là các số magic (kì lại). Các hạt nhân tương ứng đều đặc biệt bền vững và có số lượng lớn.
55
Ngoài ra các nuclon cuối cùng (còn gọi là các nuclon magic) lấp đầy các vỏ sẽ có năng lượng liên kết lớn. Ngoài ra các nuclon cuối cùng (gọi là các nuclon magic) lấp đầy các vỏ sẽ có năng lượng liên kết lớn. Cuối cùng năng lượng các trạng thái kích thích đầu tiên ở hạt nhân magic lớn hơn năng lượng đó ở các hạt nhân bên cạnh. Ví dụ như với số magic Z = 50 có đến 10 đồng vị bền, năng lượng để tách mỗi proton vào cỡ 11 MeV và trạng thái kính thích đầu tiên của đồng vị chẵn - chẵn cao hơn khoảng 1,2 MeV so với trạng thái cơ bản. Ngược lại với đồng vị Telu (Te) bên cạnh Z = 52, năng lượng tách proton vào cỡ 7 MeV và đồng vị chẵn – chẵn có năng lượng chỉ cỡ 0,6 MeV.
Chúng ta nhớ rằng những thăng giáng tương tự trong tính chất của nguyên tử đã được quan sát thấy khi các electron chiếm đầy các vỏ khác nhau của nguyên tử. Hiện tượng tương tự đó gợi cho chúng ta thấy rằng một số tính chất của hạt nhân có thể giải thích trên cơ sở của mẫu vỏ về cấu trúc hạt nhân.
Cấu trúc vỏ của nguyên tử được hình thành dựa trên loạt các giả thiết gần đúng liên tiếp. Trước hết người ta cho rằng Z electron của một nguyên tử với điện tích hạt nhân Ze không tương tác với nhau và lần lượt chiếm các mức năng lượng của nguyên tử, sau đó thực hiện các hiệu chỉnh do ảnh hưởng của các hiệu ứng tương tác.
Tuy nhiên các hiệu chỉnh đều yếu: Do hiệu ứng quan trọng nhất dẫn đến sự gần đúng bậc một của mẫu vỏ là tính trung bình, các electron chuyển động đọc lập trong trường Coulomb của hạt nhân.
Nếu áp dụng phương pháp tương tự để phát triển mẫu vỏ hạt nhân, chúng ta cần sử dụng một dạng thế năng khác để biểu diễn lực hạt nhân có tầm tác dụng ngắn. Chúng ta có thể giả thiết rằng hạt nhân chuyển động trong trường lực của một dao động tử điều hòa với thế năng trung bình:
Hình 2.4: Các mức năng lượng
3.3. Các mẫu hạt nhân khác
Ngoài hai mẫu hạt nhân kể trên, còn một số mẫu hạt nhân được đề cập trong các tài liệu
56
- Mẫu khí Fermi làm mẫu đơn giản của mẫu độc lập. Trong mẫu này thay vì sử chồng chất tương tác giữa các nuclon riêng lẻ thì chuyển động được xem như không tương tác giữa các nuclon với trường thế trung bình có bán kính R.
- Mẫu hạt nhân suy rộng được phát triển vào năm 1950 bởi các công trình nghiên cứu của Reynvoter, A. Bohr và Mottelson, Hill và Wheele.
Ý tưởng của mẫu rất đơn giản: Trường thế đối xứng cầu tự hợp được sử dụng trong mẫu lớp là kết quả của sự tương tác giữa các nucleon với nhau. Vì vậy, trường thế này không thể bất biến mà nó phải phụ thuộc vào sự chuyển động cũng như tương tác của các nucleon riêng lẻ. Đặc điểm và mức độ phụ thuộc được xác định bằng số các nucleon ở lớp ngoài cùng.
- Mẫu hạt nhân siêu chảy dựa trên việc tách tương tác dư của cặp lực tương tác ngắn và tính đến các tương tác này khi khảo sát cấu trúc hạt nhân, được đề xuất để giải thích các đặc điểm này và một số đặc tính khác.
Ở mẫu siêu chảy, cũng như trong mẫu hạt độc lập, người ta đưa vào trường tự hợp trung bình, có thể mô tả bằng hàm thế