Một hạt nhân có A nuclon, trong đó gồm Z proton và N neutron. Năng lượng liên kết là năng lượng tối thiểu cần thiết để tách tất cả A nuclon ra khỏi nhau. Nó được cho bởi công thức bán thực nghiệm sau:
C A
V S
a A 2Z
E A, Z a A a A a Z (**)
A A
.
Các hệ số aV, aS, aC, aA và các chỉ số , , , , có thể được xác định bằng thực nghiệm hoặc bằng lý thuyết.
1. Trong mẫu giọt, hạt nhân được coi là gồm A quả bóng nucleon giống nhau đặt sát vào nhau và lực hạt nhân giữa các nucleon chỉ có tác dụng khi chúng tiếp xúc với nhau. Gọi u là năng lượng liên kết giữa hai nucleon. Khi các quả bóng xếp chặt nhau, một quả sẽ bị bao quanh bởi 12 quả khác. Tính chỉ số và hệ số aV theo u.
2. Thực tế, chỉ có các nucleon bên trong lòng hạt nhân mới có 12 nucleon khác bao quanh, còn các nucleon ở lớp ngoài cùng của hạt nhân chỉ có 6 nucleon khác bao quanh. Do vậy trong ý 1 ở trên ta đã tính thừa năng lượng. Số hạng thứ hai trong (**) là do hạt nhân có bề mặt. Biết rằng hệ số xếp chặt, tức là tỷ lệ giữa thể tích tổng cộng của các nucleon và thể tích hạt nhân là
. Hãy tính chỉ số và hệ số aS theo u và .
3. Do các proton mang điện tích dương giống nhau, nên số hạng thứ ba chính là độ giảm của năng lượng liên kết. Coi hạt nhân là một quả cầu tích điện đều, hãy tìm các chỉ số , và biểu diễn hệ số aC theo hằng số điện môi chân không 0, điện tích nguyên tố e và bán kính R0
của nucleon.
4. Số hạng thứ tư trong (**) là do sự bất đối xứng giữa số hạt proton và neutron. Ta sẽ kết hợp với mẫu vỏ để tìm biểu thức của số hạng này. Giả thiết các nucleon không tương tác với nhau và bị giam trong thể tích của hạt nhân mà thế năng có dạng U r 1kr2
2 , với k là một hằng số dương, còn r là khoảng cách từ tâm hạt nhân đến vị trí của nucleon. Năng lượng của các hạt nucleon sẽ bị lượng tử hoá.
a) Trước hết xét chuyển động của hạt nucleon theo trục x với U x 1kx2
2 . Vẽ hệ toạ độ với trục hoành là x và trục tung là động lượng p. Hệ toạ độ như vậy gọi là không gian pha và trạng thái của nucleon tại thời điểm bất kỳ biểu diễn bởi một điểm trong không gian này gọi là điểm pha. Theo thời gian, điểm này di chuyển trong không gian pha và vẽ nên quỹ đạo pha.
Một hạt cổ điển dao động điều hoà sẽ có quỹ đạo pha là đường elip mà diện tích của nó tỷ lệ với năng lượng của hạt. Với hạt lượng tử thì các trạng thái dừng sẽ ứng với một số giá trị xác định của diện tích thoả mãn điều kiện lượng tử hoá Sn n 1 h
2
, trong đó h là hằng số
81
Planck, n = 0, 1, 2,… Chứng minh rằng các mức năng lượng của hạt nucleon có dạng
n
E n 1 h
2 2
, với k / m (m là khối lượng của nucleon).
b) Tương tự, hãy tìm biểu thức các mức năng lượng của hạt chuyển động trong hố thế ba chiều với giả thiết dao động theo các phương là độc lập.
c) Các nucleon bị chi phối bởi nguyên lý loại trừ Pauli: ở mỗi mức năng lượng không có quá một hạt cùng loại. Vì nucleon có spin có thể hướng lên hoặc hướng xuống nên nguyên lý Pauli cho phép tối đa hai nucleon cùng loại ở trên cùng một mức năng lượng, một hạt có spin hướng lên, hạt kia có spin hướng xuống. Proton và neutron là hai loại hạt khác nhau nên nguyên lý Pauli áp dụng riêng biệt cho từng nhóm hạt. Bỏ qua sự chênh lệch khối lượng của hai loại hạt này thì các mức năng lượng của chúng là giống nhau hoàn toàn. Hình 4 là ví dụ về sự sắp xếp các nucleon của các hạt nhân có cùng số khối A: hình (4a) ứng với trường hợp N = Z, hình (4b) và (4c) ứng vớiNZ. Năng lượng liên kết của hạt nhân bất đối xứng (NZ ) sẽ lớn hơn năng lượng liên kết của hạt nhân đối xứng (N = Z). Hãy tìm chỉ số .
5. Trong tất cả các hạt nhân có cùng số khối A, tìm hạt nhân bền nhất. Áp dụng với
C A
a 0,58 MeV, a 19,3 MeV.
Hướng dẫn giải
1. Có A nucleon, mỗi nucleon lại liên kết với 12 nucleon khác nên tổng số liên kết là 12A
2 6A.
Số hạng thứ nhất trong năng lượng liên kết là a AV 6Au, hay aV 6u, 1.
2. Mỗi nucleon ở bề mặt bị tính thừa 6 liên kết, do vậy năng lượng thừa làA.3u, trong đó là số nuclon ở bề mặt.
Gọi R là bán kính hạt nhân, R0 là bán kính một nucleon. Lớp nguyên tử ngoài cùng có chiều dày 2R0.
Z=12 N=12 Z=10 N=14 Z=8 N=16
(a) (b) (c)
Hình 4
2R0
82
- Ta có
2
0 0
3
A V 4 R .2R 6R
A V 4 R R
3
.
- Mặt khác: 3 3
0
4 4 1
V R A R
3 3
, trong đó
3 2
là tỷ số xếp chặt, suy ra
1/3
R0
R A
- Vậy: A 6 1/3A2/3 aS 18 1/3u, 2
3.
3. Tương tự các bài trên, ta có điện trường tạo bởi hạt nhân có biểu thức
3
2
kZe.r r R E R
kZe r R
r
- Năng lượng tĩnh điện
2 2 1/3
2 2
0 0 0
1 3 kZ e
W E 4 r dr
2 5 R A
- Vậy: 1
2, 3
và
2 1/3 C
0
a 3 ke
5 R
.
4. a) Năng lượng của dao động tử điều hoà bảo toàn
2 2
p kx E 2m 2 Quỹ đạo pha là hình elip có các bán trục
max max
p 2mE , x 2E
k .
Diện tích của elip này
max max
m 2 E
S p x 2 E
k
, suy ra đpcm b) Năng lượng tổng cộng 1 2 3 1 2 3
3 h 3
E n , n , n n n n n
2 2 2
c) Ta tính độ chênh lệch năng lượng xuất phát từ N = Z, sau khi dịch chuyển 1 cặp thì năng lượng tăng lên là 2, dịch chuyển cặp thứ hai thì năng lượng tăng không phải là 2 mà là 2.3,…
Tổng số năng lượng tăng lên là EA 2 1 3 5 ... 2m 1 , trong đó Z N
m 2
là số cặp cần chuyển.
- Dãy số lẻ trên có tổng m2.
83
Vậy: 2 2 2
A
Z N A 2Z
E 2m
2 2
- So sánh với năng lượng liên kết được 2 - So sánh hai biểu thức thấy thừa ra hệ số 1
A . Nguyên nhân là ta xét hạt dao động điều hoà trong không gian tự do, còn các nucleon dao động trong không gian hạt nhân nên khoảng cách giữa các mức năng lượng tỷ lệ với 1
A .
5. 2/3 C 2 A 2
V S 1/3
a A 2Z E A, Z a A a A a Z
A A
- Hạt bền nhất ứng với dE dZ 0
- Kết quả min
2/3 2/3 C
A
A A
Z a 0,015A 2
A 2
2a