Ý nghĩa của phép tính tương đối có thể được minh họa cụ thể là

Bài 2: Một mô hình tương đối tính đơn giản của nguyên tử Bohr

3. Ý nghĩa của phép tính tương đối có thể được minh họa cụ thể là

- Đối với nguyên tử hidro (Z = 1), dự đoán của mô hình cổ điển và mô hình tương đối tính thực tế là giống hệt nhau.

- Đối với các ion tương tự hidro (có Z lớn), xét về năng lượng ion hóa: Ví dụ Ag (bạc, Z = 47), mô hình cổ điển dự đoán năng lượng ion hóa là 30,0534 keV và mô hình tương đối tính cho năng lượng là 30,9824 keV, lớn hơn gần 1 keV (chênh lệch tương đối 3,1%); với nguyên tử nặng hơn như Hg (thủy ngân, Z = 80) có năng lượng là 87,072 keV và 96,0738 keV, với sự khác biệt tương đối lớn hơn 10%, với các ion nặng hơn, sự khác biệt tương đối có thể gần 20%, như ví dụ đối với Fm (fermium, Z = 100), với năng lượng lần lượt là 136,02 keV và 161,614 keV.

- Biểu thức năng lượng trong mô hình tương đối tính dự đoán một phổ rất khác đối với các ion tương tự hydro có hạt nhân rất nặng (Z lớn).

- Tầm quan trọng của phép tương đối tính còn liên quan đến kích thước của nguyên tử.

Với các Z càng lớn, thấy electron chuyển động càng gần hạt nhân, khi đó phép tính phải kể đến kích thước hạt nhân. Phép tương đối tính của mô hình Bohr cho các ion giống hydro gợi ý điều kiện 1

137

Z  . Điều này đặt ra giới hạn trên về số nguyên tử của các nguyên tử trong tự nhiên, phù hợp với các dữ kiện thực nghiệm ngày nay, vì nguyên tử lớn nhất quan sát được có Z = 118 (Ununoctium).

Bài tập tự luyện Bài 1

1. Sử dụng các tiên đề của Borh, chứng minh các mức năng lượng của nguyên tử Hidro được cho bởi công thức 2,17.10 ( )

2 18

n J En

  ; với n= 1,2,3..

Cho điện tích nguyên tố e1,6.1019C; khối lượng của electron me 9,1.1031kg, hằng số Plack h6,625.1034J.s; vận tốc ánh sáng c 3.108m/s

a. Tính tần số f và bước sóng  của bức xạ có bước sóng dài nhất của dãy Lymann trong quang phổ Hidro.

46

b. Tính toán trên đây chưa kể đến sự giật lùi của nguyên tử khi bức xạ. Nếu kể đến thì tần số tăng hay giảm? Tính độ hiệu chỉnh f, biết khối lượng của nguyên tử Hidro là

H 1840 e

m  m .

c. So sánh f với bề rộng tự nhiên của vạch quang phổ và nêu nhận xét (thời gian nguyên tử ở trạng thái kích thích khoảng 10-8s).

2. Tính vận tốc giật lùi của nguyên tử Hidro khi phát xạ bức xạ đầu tiên của dãy Lymann.

Bài 2

Ba đồng vị của hydro xuất hiện trong tự nhiên; hydro thông thường, đơteri và triti. Hạt nhân của chúng lần lượt bao gồm 1 proton, 1 proton và 1 nơtron, và 1 proton và 2 nơtron.

(a) Sử dụng công thức sau để xác định hằng số Rydberg cho đơteri và triti

2 2 2 2

3 3

1 1

4 4 1 1

k e mk e

R R

c c m M m M



  

   

       

(b) Xác định độ chênh lệch về bước sóng giữa các vạch trong dãy Balmer của đơteri và triti

(c) Xác định độ chênh lệch bước sóng giữa vạch trong dãy Balmer của hidro và triti.

(d) Chứng tỏ rằng một sự thay đổi nhỏ trong khối lượng rút gọn của electron tạo ra một sự thay đổi nhỏ trong vạch quang phổ cho bởi  

 

   . Sử dụng biểu thức này để tính chênh lệch Δλ trong vạch đỏ dãy Balmer λ = 656,3nm giữa hidro và đơteri – hạt có hạt nhân có khối lượng gấp đôi khối lượng của hidro.

Bài 3:

Đây là một lý do mà chúng tôi đang nghiên cứu mômen lưỡng cực từ: Tự nhiên chứa đầy các dòng điện tròn ở cấp độ nguyên tử và bên trong nguyên tử! Momen lưỡng cực từ xuất hiện liên tục trong các lĩnh vực vật lý đó.

Hãy xem xét nguyên tử hydro, gồm một proton (điện tích +e) với một electron (điện tích –e) quay xung quanh nó. Như bạn đã biết, electron có thể sống trong một số “obitan”, là những trạng thái có mômen động lượng quỹ đạo khác nhau L. Từ cơ học lượng tử, chúng ta biết rằng L của một electron trong một quỹ đạo như vậy là L trong đó gọi là “số lượng tử quỹ đạo” chỉ nhận các giá trị nguyên: 0, 1, …. Hơn nữa, electron có mômen động lượng spin S, trong đó S s . Với 1 electron thì s luôn là 1/2. Bạn có thể hiểu về spin theo cách này: Electron liên tục quay quanh trục của chính nó, tạo ra một momen động lượng không đổi bằng 2.

Biểu đồ cho thấy một nguyên tử hidro ở “trạng thái d” với 2. Cả momen spin S và momen quỹ đạo L đều chỉ hướng lên trên (+z) như hình vẽ, nhưng không phải đúng như vậy.

Chúng tôi sẽ xem xét 4 trạng thái:    , , , , với mũi tên đầu tiên chỉ hướng của L (vì nó lớn hơn S), vì vậy  nghĩa là z  2, sz  1 2 , trong khi  nghĩa là z  2,

z 1 2

s   ,…

47

Khi nó xảy ra, bất kỳ vật thể tích điện cứng nào quay quanh hoặc quay đều có mômen lưỡng cực từ tỷ lệ với mômen động lượng của nó. Mômen từ riêng của electron (do spin của nó) là sB với B 9, 3.1024J T là hằng số vật lý gọi là “magneton Bohr”. Chuyển động của electron trên quỹ đạo cũng tạo ra một momen từ   B

(a). Cho spin và hướng của quỹ đạo chỉ ra như hình vẽ, các momen từ s và  có hướng như thế nào? Hãy vẽ chúng trên hình?

(b). Giải thích tại sao mômen từ của một vật điện tích tự quay hoặc quay quanh quỹ đạo lại tỉ lệ với mômen động lượng của nó? (ví dụ như trong   B )

(c). Tiếp theo, chúng ta sẽ khám phá mức năng lượng của một electron ở trạng thái d trong nguyên tử hidro. Chúng tôi sẽ biểu thị những năng lượng này theo đơn vị "electron- vôn": 1eV 1, 6.1019J. Những đóng góp lớn nhất vào tổng năng lượng của electron E gồm động năng và thế năng điện của nó (do điện trường Coulomb của proton). Và giá trị này nhận

1, 5

E  eV . Hãy giải thích tại sao E nhận giá trị âm?

(d) Tiếp theo, chúng ta xem xét nguồn năng lượng tương tác của từ trường. Hãy tưởng tượng bạn là electron... bạn sẽ thấy proton quay xung quanh mình! Proton quay quanh quỹ đạo này tạo ra một từ trường tại vị trí của bạn, với độ lớn B22 mT hoặc như vậy co trạng thái d. Trường này tác dụng lên mômen từ riêng spin – momen từ s , làm thay đổi năng lượng tương tác. Hiệu ứng này gọi là tương tác spin quỹ đạo và dùng để phân chia các mức năng lượng của nguyên tử theo định hướng của s là . Trên biểu đồ cấp độ ở trên, hãy điền vào các ô “Spin-Orbit” để hiển thị 4 trạng thái có năng lượng cao hơn và trạng thái có năng lượng thấp hơn. Ngoài ra, hãy tính toán độ lớn của sự thay đổi năng lượng bằng cách sử dụng các con số được cho ở trên.

(e) Cuối cùng, hãy tách năng lượng của hai cặp trạng thái “suy biến” (năng lượng bằng nhau) mà chúng ta còn lại. Để làm như vậy, chúng tôi sẽ đặt nguyên tử hydro của chúng tôi trong một từ trường B bên ngoài. Trường sẽ tương tác với cả mômen từ spin và momen từ quỹ đạo của electron, gây ra sự thay đổi khác về năng lượng. Đây được gọi là hiệu ứng Zeeman. Hãy sử dụng từ trường của trái đất, với độ lớn khoảng 50 μT và sắp xếp hệ tọa độ của chúng ta sao cho Bearth chỉ theo hướng +z. Các mức năng lượng sẽ thay đổi như thế nào?

48

Điền vào phần còn lại của biểu đồ mức (Zeeman) với kết luận của bạn, bao gồm cả độ thay đổi của năng lượng cuối cùng này.

Và bây giờ, một thử thách bổ sung!

Để tính toán các thuộc tính của nguyên tử hydro, bạn cần cơ học lượng tử. Nhưng bạn có tin hay không, bạn có thể có được những câu trả lời đúng một cách đáng kinh ngạc chỉ bằng cách sử dụng vật lý cổ điển. Tôi đã cho trước một số thông số gồm: Magneton Bohr (

9, 3.10 24

B J T

   ), tổng thế năng Culong + động năng của trạng thái d (-1,5 eV), và từ trường B được nhìn thấy bởi electron trạng thái d do proton (B = 22 mT, hiệu ứng quỹ đạo spin). Bạn có thể đến gần những giá trị này đến mức nào (đi từ vật lý cổ điển)? Thông tin duy nhất bạn cần là điện tích trên electron và proton, và mômen động lượng của electron: L , với 2 ở trạng thái d và 1, 055.1034J s. .

(f). Đối với một số những tính toán này, bạn sẽ cần bán kính quỹ đạo R của electron trạng thái d. Tính nó bằng cách sử dụng lực điện do proton tác dụng lên electron.

(g). Tiếp theo, hãy tính từ trường quỹ đạo quay B của proton khi được quan sát bởi electron. Bạn sẽ cần công thức của mình từ câu hỏi b, và bạn phải suy nghĩ một chút về dòng điện bạn sử dụng?

(h). Magneton Bohr B liên hệ với momen động lượng quỹ đạo L r p  của electron với momen từ của nó  B. Không khó để tính giá trị của nó!

(i). Cuối cùng, xác định năng lượng của trạng thái d trước khi các hiệu ứng từ được thêm vào?