Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC 9
2.2. Một số biện pháp sư phạm dạy học Hình học 9 nhằm phát triển kỹ năng lập luận toán học cho học sinh
2.2. Một số biện pháp sư phạm dạy học Hình học 9 nhằm phát triển kỹ năng lập luận toán học cho học sinh
2.2.1. Biện pháp 1. Tập luyện cho học sinh kỹ năng chỉ ra giả thiết, kết luận của bài toán và chỉ ra các khái niệm, tính chất đã được sử dụng trong lời giải bài toán hoặc lời giải thích cho một tính chất.
- Mục đích của biện pháp:
Thứ nhất, phát triển khả năng phân tích bài toán: HS sẽ được rèn luyện cách phân tích một bài toán hình học để xác định các thông tin quan trọng, điều kiện trong giả thiết của đề bài. Điều này giúp HS hiểu rõ về bản chất của vấn đề và cách tiếp cận giải quyết.
Thứ hai, xây dựng khả năng nhận biết giả thiết và kết luận: Học sinh sẽ học cách nhận diện những giả thiết cần thiết để giải quyết bài toán, cũng như rút ra kết luận dựa trên các thông tin đã cho. Điều này khuyến khích họ tập trung vào các yếu tố quan trọng và loại bỏ những thông tin không cần thiết.
Thứ ba, thúc đẩy sự hiểu biết về khái niệm và tính chất toán học: Học sinh sẽ được khuyến khích xác định và áp dụng các khái niệm, tính chất toán học đã học vào quá trình giải quyết bài toán. Điều này giúp họ thấy được mối liên hệ giữa lý thuyết và thực tế, cũng như cách áp dụng kiến thức vào giải quyết vấn đề. Phát triển kỹ năng ghi chép và trình bày lời giải: Học sinh sẽ học cách ghi chép các giả thiết, kết luận, khái niệm và tính chất một cách cụ thể và rõ ràng. Điều này cũng liên quan đến việc trình bày lời giải một cách có cấu trúc và logic.
Mục đích của biện pháp này là giúp học sinh phát triển khả năng phân tích bài toán, nhận biết giả thiết và kết luận, hiểu biết sâu hơn về khái niệm và tính chất toán học, cũng như rèn luyện kỹ năng ghi chép và trình bày lời giải một cách chặt chẽ và logic trong môn Hình học.
- Cách thức thực hiện:
+ HS tiếp thu được kiến thức và ý nghĩ của việc chỉ ra giả thiết, kết luận, khái niệm, tính chất trong lời giải bài toán.
+ Đưa ra các ví dụ minh họa, hoặc có thể là bài toán mẫu để học sinh hiểu cách áp dụng biện pháp trong thực tế.
+ Giao cho HS bài tập thực hành chỉ ra các giả thiết, kết luận và từ các bài toán đó chỉ ra được các khái niệm, tính chất trong các bài toán.
* Giáo viên đặt ra bài toán, yêu cầu học sinh xác định giả thiết, kết luận của bài toán.
Ví dụ 2.1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết 𝑡𝑎𝑛𝐵 =4
3 và BC = 10cm.
Tính AB; AC?
Bước 1: Giáo viên đặt bài toán và yêu cầu học sinh xác định giả thiết và kết luận:
Giáo viên đưa ra bài toán và hỏi HS: "Trong bài toán này, chúng ta có những gì đã được cho? Chúng ta cần tính toán hoặc tìm hiểu điều gì?"
GT Cho △ 𝐴𝐵𝐶 có 𝐴̂ = 90°, 𝑡𝑎𝑛𝐵 = 4
3
BC = 10 cm KL AB=?
AC=?
hình 2.1
10 B
A C
Bước 2: Hướng dẫn học sinh xác định các khái niệm, tính chất sử dụng trong lời giải:
HS xác định được các khái niệm: Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90 độ.
- Cạnh góc vuông (cạnh bên) là hai cạnh kề với góc vuông.
- Cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông.
HS xác định được các định lý:
- Định lý Pytago: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
Xét △ 𝐴𝐵𝐶 vuông tại A ⇒ AB2+AC2=BC2
- Định lý (hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông):
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
• Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề;
• Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề Trong hình bên thì: 𝑏 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝐵 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝐶 ;
𝑐 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝐶 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝐵 𝑏 = 𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝐵 = 𝑐 𝑐𝑜𝑡 𝐶 ; 𝑐 = 𝑏 𝑡𝑎𝑛 𝐶 = 𝑏 𝑐𝑜𝑡 𝐵
Bước 3: Hướng dẫn học sinh áp dụng khái niệm và tính chất để giải quyết bài toán:
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ABC ta có:
𝐴𝐶 = 𝐴𝐵. 𝑡𝑎𝑛 𝐵= 4
3 AB
Xét △ 𝐴𝐵𝐶 vuông tại A ta có: AB2+AC2=BC2 (Định lý Pytago)
⇒ AB2 +( 4
3 AB) 2 = 102 ⇒ 25
9 AB2 =100 ⇒ AB2 = 36⇒ AB=6 (cm) Khi đó: AC= 4
3 AB= 4
3 .6= 8 (cm) Vậy AB = 6(cm), AC = 8(cm).
Qua cách 1, giúp học sinh hiểu biết tính cạnh này theo cạnh kia (dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông) và sử dụng định lý Pytago: Trong một
tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
Cách 2: Ta có: 𝑡𝑎𝑛𝐵 =4
3⇒ 𝐵̂ ≈ 53007′
Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ABC ta có:
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝐵 = 10. 𝑐𝑜𝑠 5 3007′ = 6 (cm) 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶. 𝑠𝑖𝑛 𝐵 = 10. 𝑠𝑖𝑛 5 3007′ = 8 (cm) Vậy AB = 6 (cm), AC = 8 (cm).
Qua cách 2, giúp học sinh hiểu biết tính góc (dựa vào máy tính bỏ túi) và trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối.
Ví dụ 2.2: Tìm x, y trong các hình vẽ sau:
hình 2.2
Bước 1: Giáo viên đặt bài toán và yêu cầu học sinh xác định giả thiết và kết luận:
Giáo viên đưa ra bài toán và hỏi HS: "Trong bài toán này, chúng ta có những gì đã được cho? Chúng ta cần tính toán hoặc tìm hiểu điều gì?"
GT Cho △ 𝐴𝐵𝐶 có 𝐴̂ = 90°,
AH ⊥ BC tại H, BH=4 cm, CH= 9 cm AB=x, AC=y.
KL x=? , y=?
Bước 2: Hướng dẫn học sinh xác định các khái niệm, tính chất sử dụng trong lời giải:
HS xác định được các khái niệm:
- Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90 độ.
- Đường cao là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện.
Hình chiếu của một đoạn thẳng trên một đoạn thẳng là khoảng cách giữa 2 đoạn thẳng kẻ từ 2 điểm của đoạn thẳng đó vuông góc với đường thẳng cho trước.
9
H C
B
A
x y
4
- Hai tam giác gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có ba cặp góc bằng nhau từng đôi một và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
HS xác định được các định lý, tính chất:
- Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
- Nếu góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đồng dạng
- Hai tam giác đồng dạng có các cạnh tương ứng tỉ lệ.
- Hai phân số bằng nhau khi và chỉ khi tích chéo bằng nhau.
Bước 3: Hướng dẫn học sinh áp dụng khái niệm và tính chất để giải quyết bài toán:
Cách 1: (hình 2.2)
Xét △ 𝐴𝐵𝐶 vuông tại A, AH ⊥ BC tại H có
AH2 = BH.CH (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇒AH2= 4.9 = 36 => AH = 6 Xét △ 𝐴𝐻𝐵 vuông tại A có:
AH2+HB2=AB2 (Định lý Pytago)
⇒AB= √𝐵𝐻2+ 𝐴𝐻2 = √42+ 62 = √52 hay x=√52
Xét ACH vuông tại H có: AH2+HC2=AC2 (Định lý Pytago)
⇒ 𝐴𝐶 = √𝐶𝐻2+ 𝐴𝐻2 = √62+ 92 = √117 Hay y=√117
Vậy x=√52 , y=√117
Qua cách 1, giúp học sinh biết cách tính đường cao dựa vào 2 hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền (dựa vào hệ thức liên quan tới đường cao trong tam giác vuông) và sử dụng định lý Pytago: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông để tính x, y.
Cách 2: (hình 2.2)
Ta có: H thuộc BC ⇒BC = BH+HC =4+9=13 Xét △ 𝐴𝐵𝐶 vuông tại A, AH ⊥ BC tại H có
𝐴𝐵2 = 𝐵𝐶. 𝐵𝐻 ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇒ 𝐴𝐵2 = 𝐵𝐶. 𝐵𝐻 = 13 .4 = 52
⇒ 𝐴𝐵 = √52 ℎ𝑎𝑦 𝑥 = √52
Xét △ 𝐴𝐵𝐶 vuông tại A, AH ⊥ BC tại H có
𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶. 𝐶𝐻 ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇒ 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶. 𝐶𝐻 = 13.9 = 117
⇒ 𝐴𝐶 = √117 ℎ𝑎𝑦 𝑦 = √117 Vậy x=√52 , y=√117
Qua cách 2, giúp học sinh biết cách tính cạnh huyền dựa vào 2 hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền và sử dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền (hệ thức lượng trong tam giác vuông) để tính cạnh x, y.
Ví dụ 2.3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ điểm D đối xứng với A qua BC, điểm E đối xứng với A qua trung điểm O của BC. Chứng minh rằng 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
Bước 1: Giáo viên đặt bài toán và yêu cầu học sinh xác định giả thiết và kết luận:
Giáo viên đưa ra bài toán và hỏi HS: "Trong bài toán này, chúng ta có những gì đã được cho? Chúng ta cần tính toán hoặc tìm hiểu điều gì?"
GT Cho △ 𝐴𝐵𝐶 có 𝐴̂ = 90°, D đối xứng với A qua BC,
OB=OC (Oϵ BC), E đối xứng với A qua O KL 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường
tròn.
Bước 2: Hướng dẫn học sinh xác định các khái niệm, tính
chất sử dụng trong lời giải: hình 2.3 - HS xác định được các khái niệm:
Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90 độ.
Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Đường tròn tâm O bán kính R, kí hiệu (O;R) là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R.
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O nếu BC là đường kính thì 𝐴̂ = 90°;
Bước 3: Hướng dẫn học sinh áp dụng khái niệm và tính chất để giải quyết bài toán:
Xét △ 𝐴𝐵𝐶 vuông tại A nên ba điểm A, B, C cùng nằm trên đường tròn ( )O đường kính BC.
Vì điểm D đối xứng với A qua đường kính BC nên D nằm trên đường tròn đường kính BC.
Điểm E đối xứng với A qua tâm O của đường tròn nên E nằm trên đường tròn ( )O . Vậy, 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn ( )O .
Ví dụ 2.4: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng cạnh huyền bằng tích của hai hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Bước 1: Giáo viên đặt bài toán và yêu cầu học sinh xác định giả thiết và kết luận:
Giáo viên đưa ra bài toán và hỏi HS: "Trong bài toán này, chúng ta có những gì đã được cho? Chúng ta cần tính toán hoặc chứng minh điều gì?"
HS quan sát hình và nêu GT, KL.
GT Cho △ 𝐴𝐵𝐶 có 𝐴̂ = 90°, AH ⊥ BC tại H
KL AH2 = BH. CH.
hình 2.4 Bước 2: Hướng dẫn học sinh xác định các khái niệm, tính chất sử dụng trong lời giải:
HS xác định được các khái niệm:
- Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90 độ.
- Đường cao là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện.
Hình chiếu của một đoạn thẳng trên một đoạn thẳng là khoảng cách giữa 2 đoạn thẳng kẻ từ 2 điểm của đoạn thẳng đó vuông góc với đường thẳng cho trước.
- Hai tam giác gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có ba cặp góc bằng nhau từng đôi một và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
HS xác định được các định lý, tính chất:
- Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
- Nếu góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đồng dạng
- Hai tam giác đồng dạng có các cạnh tương ứng tỉ lệ.
- Hai phân số bằng nhau khi và chỉ khi tích chéo bằng nhau.
Bước 3: Hướng dẫn học sinh áp dụng khái niệm và tính chất để giải quyết bài toán:
Xét △ AHB vuông tại H có 𝐵𝐴𝐻̂+𝐵̂=900 Xét △ ABC vuông tại A có 𝐶̂+𝐵̂=900 Khi đó: 𝐵𝐴𝐻̂ = 𝐶̂
Xét △ AHB và △ CHA có:
𝐴𝐻𝐵̂ = 𝐶𝐻𝐴̂ = 900 𝐵𝐴𝐻̂ = 𝐶̂ (cmt).
AHB CHA (g – g)
AH BH CH AH
AH2 = BH. CH.
Học sinh sẽ trình bày lời giải bằng cách ghi chép các giả thiết, kết luận cần tìm và các bước giải quyết dựa trên khái niệm và tính chất đã học.
Thông qua các ví dụ, học sinh sẽ phát triển khả năng thành thạo trong xác định giả thiết, kết luận của bài toán, nhận biết khái niệm và tính chất toán học liên quan, cũng như áp dụng chúng để giải quyết các bài toán cũng như các định lý trong môn Hình học lớp 9.
* Giáo viên đưa ra bài toán và lời giải cho bài toán, yêu cầu học sinh chỉ ra các khái niệm, các định lí đã được sử dụng trong lời giải bài toán.
Ví dụ 2.5: Cho tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường tròn. Gọi M, N, P, Q lần lượt là điểm chính giữa các cung AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng: MP NQ .
Giải
Gọi I là giao điểm của MP và NQ.
Ta có: 𝑀𝐼𝑄̂ =1
2(𝑠đ 𝑀𝑄⏜ + 𝑠đ 𝑁𝑃⏜ )
=𝟏
𝟐.𝟏
𝟐(𝑠đ 𝐴𝐵⏜ + 𝑠đ 𝐴𝐷⏜ + 𝑠đ 𝐵𝐶⏜ + 𝑠đ 𝐶𝐷⏜ )
=𝟏
𝟒. 360° = 90°.
𝑀𝐼𝑄̂ = 90°
Vậy 𝑀𝑃 ⊥ 𝑁𝑄.
hình 2.5
Bước 1: Đọc đầu bài, phân tích đề
Để chứng minh 𝑀𝑃 ⊥ 𝑁𝑄 tức là ta chứng minh hai đường thẳng MP và NQ tạo với nhau một góc vuông, ta gọi I là giao điểm của MP và NQ và cần chứng minh 𝑀𝐼𝑄̂ = 90°.
Nhận thấy 𝑀𝐼𝑄̂ là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, do vậy ta cần biểu diễn góc 𝑀𝐼𝑄̂ theo các cung của đường tròn và biến đổi các cung ấy.
Bước 2: Đọc lời chứng minh
Bước 3: Tìm những định lý, tính chất được sử dụng trong lời giải bài toán
Trong lời giải chúng ta đã sử dụng tính chất góc có đỉnh bên trong đường tròn, điểm chính giữa của các cung.
Định lí: Số đo góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
Cung cả đường tròn có số đo 360 độ.
Thông qua ví dụ trên cho thấy HS phải tư duy và áp dụng kiến thức hình học giải thích được tính chất góc có đỉnh bên trong đường tròn, điểm chính giữa của các cung và số đo góc có đỉnh bên trong đường tròn đã được sử dụng trong lời giải. Điều này giúp HS thấy rằng kiến thức hình học thực sự được áp dụng vào giải quyết các bài toán không.
Ví dụ 2.6: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn O , H là trung điểm của BC.
M là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng BH (M khác B). Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho CN BM. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh bốn điểm O, M, H, I cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh
Chứng minh bốn điểm O, M, H, I cùng thuộc một đường tròn.
Ta có ABC đều nội tiếp (O)
O là giao điểm của 3 đường trung trực trong ABC đều Nên O đồng thời là giao của 3 đường phân giác trong ABC đều
OB là đường phân giác của 𝐴𝐵𝐶̂ 𝑂𝐵𝑀̂=1
2 𝐴𝐵𝐶̂ OC là đường phân giác của 𝐴𝐶𝐵̂𝑂𝐶𝑁̂=1
2 𝐴𝐶𝐵̂ Mà ABC đều 𝐴𝐵𝐶̂ = 𝐴𝐶𝐵̂
Khi đó 𝑂𝐵𝑀̂=𝑂𝐶𝑁̂
Xét BMO và CNO có:
OB=OC=R hình 2.6 𝑂𝐵𝑀̂=𝑂𝐶𝑁̂(cmt)
BM=CN (gt)
BMO CNO(c.g.c) OM ON
Xét OMN cân tại O có I là trung điểm của MN (gt)
OI đồng thời là đường cao của OMN nên OI MN 𝑂𝐼𝑀̂ = 90°
Mặt khác: OBC cân tại O (OB=OC=R), H là trung điểm của BC
OH đồng thời là đường cao của OBC OH BC 𝑂𝐻𝑀̂ = 90°
Có: 𝑂𝐼𝑀̂ = 90°I thuộc đường tròn đường kính OM (1) Lại có: 𝑂𝐻𝑀̂ = 90°H thuộc đường tròn đường kính OM Khi đó I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OM.
Vậy bốn điểm O, M, H, I cùng thuộc một đường tròn.
Bước 1: Đọc đầu bài, phân tích đề
Để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn ta có thể sử dụng 2 cách chứng minh:
- Cách 1 chứng minh các điểm đó cách đều một điểm O cố định nào đó, khi đó các điểm đã cho cùng thuộc 1 đường tròn tâm O
- Cách 2: Sử dụng tứ giác nội tiếp. Chẳng hạn, chứng minh bốn điểm O, M, H, I cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh OIHM là tứ giác nội tiếp.
Bước 2: Đọc lời chứng minh
Bước 3: Tìm những định lý, tính chất được sử dụng trong lời giải bài toán - HS xác định được khái niệm:
Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau hoặc tương đương ba góc bằng nhau và bằng 60°
Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
Đường trung trực là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng ấy.
Đường phân giác trong tam giác là đường thẳng chia góc đó thành hai góc có độ lớn bằng nhau
Đường cao của tam giác là một đoạn thẳng vuông góc được kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện của tam giác đó.
Tam giác cân là tam giác có 2 cạnh bằng nhau.
Đường phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc có độ lớn bằng nhau Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)
- HS xác định được tính chất, định lý:
Ba đường phân giác trong tam giác đồng quy với nhau tại 1 điểm, điểm đó gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Nếu hai cạnh và hóc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Mỗi tam giác chỉ có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm giữa ba đường trung trực của tam giác đó do đó bán kính ủa đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng khoảng cách từ tâm đến 3 đỉnh của tam giác.
Đối với tam giác đều, đường tròn ngoại tiếp tam giác và nội tiếp tam giác có cùng tâm đường tròn hay tâm của đường tròn chính là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác đồng thời là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác.
Ví dụ 2.7: Cho (O) và 1 điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ 2 đường thẳng, đường thẳng thứ nhất cắt đường tròn (O) tại A và B, đường thẳng thứ hai cắt đường tròn (O) tại C và D. CMR: MA.MB = MC.MD
Lời giải:
TH1: Điểm M nằm bên trong đường tròn (O) Ta có: 𝐶𝐴𝐵̂ = 𝐵𝐷𝐶̂ (góc nt chắn cung BC)
hay 𝐶𝐴𝑀̂ = 𝐵𝐷𝑀̂
Xét 𝛥MAC và 𝛥MDB, ta có:
𝑀̂ = 𝑀1 ̂2 (đối đỉnh)
𝐶𝐴𝑀̂ = 𝐵𝐷𝑀̂ (chứng minh trên)
⇒ 𝛥𝑀𝐴𝐶 ∼ 𝛥𝑀𝐷𝐵(𝑔. 𝑔)
⇒ 𝑀𝐴
𝑀𝐷 =𝑀𝐶
𝑀𝐵 (𝑐á𝑐 𝑐ạ𝑛ℎ 𝑡ươ𝑛𝑔 ứ𝑛𝑔 𝑡ỉ 𝑙ệ) hình 2.7
⇒ 𝑀𝐴. 𝑀𝐵 = 𝑀𝐶. 𝑀𝐷
⇒ Điều phải chứng minh
TH2: Điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) Ta có: 𝐷̂ = 𝐵1 ̂1 (góc nt chắn cung AC) Xét 𝛥𝑀𝐴𝐷 và 𝛥𝑀𝐶𝐵, ta có:
𝑀̂ (chung)
𝐷̂ = 𝐵1 ̂1 (chứng minh trên)
⇒ 𝛥𝑀𝐴𝐷 ∼ 𝛥𝑀𝐶𝐵(𝑔. 𝑔)
⇒𝑀𝐴
𝑀𝐶 =𝑀𝐷
𝑀𝐵(𝑐á𝑐 𝑐ạ𝑛ℎ 𝑡ươ𝑛𝑔 ứ𝑛𝑔 𝑡ỉ 𝑙ệ)
⇒ 𝑀𝐴. 𝑀𝐵 = 𝑀𝐶. 𝑀𝐷 hình 2.8
⇒ Điều phải chứng minh
Bước 1: Đọc đầu bài, phân tích đề
Với đề bài cho điểm M cố định không nằm trên đường tròn, thì điểm M có 2 trường hợp điểm M nằm bên trong đường tròn (O), Điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O).
Để chứng minh MA.MB = MC.MD ta cần chứng minh các tam giác đồng dạng để từ đó dẫn đến hệ thức cần chứng minh bằng nhau
Bước 2: Đọc lời chứng minh
Bước 3: Tìm những định lý, tính chất được sử dụng trong lời giải bài toán -HS xác định được các khái niệm
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
Hai tam giác được gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có ba cặp góc bằng nhau từng đôi một và ba cặp cạnh tường ứng tỉ lệ.
2 M 1
D B
O
C A
1
M D 1
B O
C
A