10. Các dạng phương trình chủ đạo đặc biệt phù hợp với CFD Thảo luận
2.4TRÌNH TỰ GIẢI BÀI TOÁN CFD
Phương trình(2.47) biểu thị vế trái của phương trình(2.44).
Xét vế phải của Phương trình(2.44). khối lượng của phần tử lưu chất cố định và bằng :
m = dxdydz (2.48)
Cũng như vậy, gọi gia tốc của phần tử là suất biến đổi theo thời gian của vận tốc của nó. Do đó thành phần gia tốc trong hướng x biểu thi bằng ax, đơn giản là suất biến đổi theo thời gian của u, vì chúng ta theo phần tử lưu chất chuyển động, suất biến đổi theo thời gian này là đạo hàm thực. Như vậy,
ax= (2.49)
Kết hợp Phương trình(2.44), (2.47), và (2.49), chúng ta nhận được:
= − + + + + (2.50a)
Là thành phần x của phương trình động lượng cho một dòng nhớt. Tương tự, những thành phần y và z có thể nhận được như sau:
= − + + + + (2.50b)
Và
= − + + + + (2.50c)
Phương trình(2.50a-c) là các thành phần tương ứng x, y và z của phương trình động lượng. Chú ý rằng chúng là dạng không bảo toàn. Chúng là những phương trình vô hướng, và được gọi là phương trình Navier-Stokes.
Phương trình Navier-Stokes có thể nhận được trong dạng bảo toàn như sau. Viết vế trái của Phương trình(2.50a) đối với số hạng theo định nghĩa của đạo hàm thực :
= + ⃗. ∇ (2.51)
Cũng như vậy, khai triển đạo hàm sau :
( ) = +
Và sắp xếp lại, chúng ta có :
= ( )− (2.52) Đồng nhất vec tơ đối với phân kỳ tích vô hướng của vec tơ, chúng ta có : ∇. ⃗ = ∇. ⃗ + ( ⃗). ∇
Hoặc
( ⃗). ∇ = ∇. ⃗ − ∇. ⃗ (2.53) Thay phương trình(2.52) và (2.353 vào phương trình(2.51),
= ( )− − ∇. ⃗ + ∇. ⃗ Hoặc
= ( )− [ + ∇. ⃗ ]+ ∇. ⃗ (2.54)
Số hạng trong dấu móc trong phương trình(2.54) đơn giản là vế trái của phương trình liên tục như phương trình (2.25), do đó số hạng trong dấu móc bằng 0. Như vậy là phương trình(2.54) đơn giản thành:
= ( )+ ∇. ⃗ (2.55) Thay phương trình(2.55) vào phương trình(2.50a)
( )
+ ∇. ⃗ = − + + + + (2.56a)
Tương tự, phương trình(2.50b và c) có thể biểu thị như (2.56b và c)
( )
Và :
( )
+ ∇. ⃗ = − + + + + (2.56c) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Phương trình (2.56a-c) là phương trình Navier-Stokes trong dạng bảo toàn. Vào năm 1845 Stokes tìm ra quan hệ:
= ∇. ⃗ + 2 (2.57a) = ∇. ⃗ + 2 (2.57b) = ∇. ⃗ + 2 (2.57c) = = ( + ) (2.57d) = = ( + ) (2.57e) = = ( + ) (2.57f)
Trong đó µ là hệ số nhớt phân tử, λ hệ số nhớt tổng hợp. Stokes đưa ra giả thuyết : λ = −
Thay phương trình (2.57) vào phương trình (2.56), chúng ta nhận được phương trình Navier-Stokes đầy đủ trong dạng bảo toàn:
( ) + ( )+ ( )+ ( ) = − + ∇. ⃗ + 2 + + + [ ( + )] + (2.58a) ( ) + ( )+ ( )+ ( ) = − + + + ∇. ⃗ + 2 + [ ( + )] + (2.58b) ( ) + ( )+ ( )+ ( ) = − + + + + + ∇. ⃗ + 2 + (2.58c)
7. Phương trình bảo toàn năng lượng
Trong mục này, chúng ta áp dụng nguyên lý vật lý thứ ba như đã được liệt kê tại bắt đầu của phần 2.1, nghĩa là
Nguyên lý vật lý: Năng lượng được bảo toàn
Tiếp tục của sự dẫn xuất phương trình Navier-Stokes (nghĩa là phương trình động lượng) như ở trên, chúng ta sẽ sử dụng lại mô hình dòng của phần tử lưu chất vô cùng bé chuyển động với dòng (thể hiện trên hình 2.2b). Phát biểu của những nguyên lý này là định luật thứ nhất của nhiệt động lực, mà khi ứng dụng cho phần tử lưu chất chuyển động với dòng, định luật thứ nhất phát biểu rằng:
Suất biến đổi năng lượng trong phần tử lưu chất = dòng tịnh của nhiệt đi vào phần tử + suất của công thực hiện trên phần tử do lực khối và lực mặt
Hoặc
A = B + C (2.59)
Trong đó A, B, và C biểu thị những số hạng tương ứng ở trên.
Trước hết đánh giá C, tức là nhận được biểu thức cho suất của công thực hiện trên phần tử lưu chất chuyển động do lực mặt. Có thể thấy rằng suất của công thực hiện bởi một lực tác động trên phần chuyển động bằng tích của lực và thành phần vận tốc trong hướng của lực. Do đó suất của công thực hiện bởi lực khối tác động lên phần tử lưu chất chuyển động với vận tốc là ⃗ là :
⃗ ⃗( )
Với lưu ý tới những lực mặt, chỉ xét những lực trong hướng x trong hình 2.8. Suất của công thực hiện trên phần tử lưu chất chuyển động bởi áp suất và lực ứng suất theo hướng x trong hình 2.8, đơn giản là thành phần vận tốc u nhân với lực, ví dụ trên mặt abcd suất của công thực hiện bởi yxdxdz là u yxdxdz, có những biểu thức tương tự với những mặt khác. Để nhấn mạnh những xem xét năng lượng này, phần tử lưu chất chuyển động được vẽ lại trong hình 2.10, trong đó suất của công thực hiện trên mỗi mặt bằng lực mặt theo hướng x được chỉ rõ. Để nhận được suất ròng của công thực hiện trên phần tử bởi lực mặt, chú ý rằng những lực đó trong hướng x dương thực hiện công dương và những lực đó trong hướng x âm thực hiện
công âm. Dó đó so sánh lực áp suất trên mặt adhe và bcgf trong hình 2.10, suất ròng của công thực hiện bởi áp suất trong hướng x là:
[ − ( + ( ) )]dydz= − ( )dxdydz
Tương tự suất ròng của công thực hiện bởi ứng suất tiếp theo hướng x trên những mặt abcd và efgh là :
[( + ) − ]dxdz= − ( )dxdydz
Xét tất cả các lực mặt đưa vào hình 2.7, suất ròng của công thực hiện trên phần tử lưu chất chuyển động do những lực này đơn giản là:
[− ( )+ + + ]dxdydz
Biểu thức trên xét duy nhất lực mặt theo hướng x. Khi xét lực mặt trong những hướng y và z, cũng nhận được những biểu thức thương tự.
Hình 2.10. những dòng năng lượng liên quan đến phần tử lưu chất vô cùng bé chuyển động. Để đơn giản, chỉ xét những dòng trong hướng x.
Tổng quát, suất tịnh của công thực hiện trên phần tử lưu chất chuyển động là tổng của những đóng góp lực mặt trong hướng x, y và z, cũng như đóng góp lực khối. Điều này được biểu thị bởi C trong phương trình (2.59), và cho bằng:
= − ( )+ ( )+ ( ) + ( )+ + ( )+ +
+ + ( )+ + ( ) + ⃗. ⃗ (2.60)
Chú ý rằng trong phương trình (2.60) ba số hạng đầu tiên bên vế phải đơn giản là ∇. ( )⃗.
Tiếp theo xét B trong Phương trình (2.59), tức là thông lượng tịnh của nhiệt đi vào trong phần tử. Thông lượng nhiệt này do: (1) đốt nóng thể tích như hấp thụ hoặc phát xạ của bức xạ, và (2) truyền nhiệt qua bề mặt do gradient nhiệt độ, tức là dẫn nhiệt. cho ̇ như suất bổ sung nhiệt thể tích trên đơn vị khối lượng.
Khối lượng nhiệt của phần tử = ̇dxdydz (2.61) Trong hình 2.10, nhiệt do truyền nhiệt vào trong phần tử lưu chất chuyển động qua mặt adhe là ̇ xdydz , trong đó ̇x là nhiệt truyền theo hướng x trên đơn vị thời gian trên đơn vị diện tích bởi sự dẫn nhiệt. Nhiệt truyền ra khỏi phần tử qua mặt bcgf là [ ̇x + ( ̇x/ ) ]dydz. Như vậy, nhiệt tịnh chuyển theo hướng x vào trong phần tử bởi dẫn nhiệt là: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[ ̇ − ( ̇x + ̇ )] = − ̇
Xét sự truyền nhiệt trong các hướng y và z qua những mặt khác trong hình 2.10, chúng ta nhận được:
Nhiệt của phần tử lưu chất do dẫn nhiệt
= −( ̇ + ̇ + ̇ ) (2.62)
Số hạng B trong phương trình (2.59) là tổng của phương trình (2.61) và (2.62).
= [ ̇ − ̇ + ̇ + ̇ ] (2.63)
Sự truyền nhiệt bởi dẫn nhiệt tỷ lệ với gradient nhiệt độ địa phương:
̇x = − ; ̇y = − ; ̇z = −
= ̇ + + + (2.64) Cuối cùng A trong phương trình (2.59) biểu thị suất biến đổi theo thời gian của năng lượng phần tử lưu chất. Năng lượng toàn phần của một lưu chất chuyển động trên khối lượng đơn vị là tổng nội năng của nó trên đơn vị khối lượng e, và động năng của nó trên khối lượng đơn vị V2/2. Do đó năng lượng toàn phần là (e + V2/2). Chúng ta có :
= + (2.65)
Dạng cuối cùng của phương trình năng lượng nhận được bởi thay phương trình(2.60), (2.64) và (2.65) vào phương trình(2.59), nhận được:
+
2 = ̇ + + +
− ( )+ ( )+ ( ) + ( )+ + ( )+ +
+ + ( )+ + ( )+ ⃗. ⃗ (2.66)
Đây là dạng không bảo toàn của phương trình năng lượng, cũng chú ý rằng đó là đối với năng lượng toàn phần (e + V2/2). Thông thường phương trình năng lượng được viết ở dạng chỉ có nội năng e. Cách dẫn xuất như sau. Nhân phương trình (2.50a-c) với u, v và w tương ứng:
( )
= − + + + + (2.67)
( )
= − + + + + (2.68)
( ) = − + + + + (2.69) Cộng phương trình (2.53a-c) và chú ý là u2+v2+w2 = V2, chúng ta nhận được:
= − − − + + + + +
Trừ phương trình (2.70) từ phương trình (2.66), chú ý rằng: ⃗. ⃗ = ( + + ) Chúng ta có : = ̇ + + + − + + + + + + + + + + + (2.71)
Phương trình (2.71) là phương trình năng lượng dưới dạng nội năng e, vẫn trong dạng không bảo toàn.
Phương trình (2.66) và (2.71) có thể được biểu thị tổng thể dưới dạng những biến trường dòng bằng việc thay thế những số hạng ứng suất nhớt xy, xz,vv.., bằng những biểu thức tương đương của chúng từ phương trình (2.57a-f). Ví dụ, từ phương trình (2.71), chú ý rằng xy = yx , xz = zx , yz = zy , ta có:
= ̇ + + + − + + +
+ + + ( + ) + ( + ) + ( + ) (2.72)
Thay phương trình (2.57a-f) vào phương trình (2.72), chúng ta có:
= ̇ + + + − + +
+ + + + [2 + 2 + 2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ + + ( + ) + ( + ) ] (2.73) Phương trình năng lượng trong dạng bảo toàn có thể nhận được như sau. Xét vế trái của phương trình (2.73). Từ định nghĩa của đạo hàm thực:
Tuy nhiên ( )= +
Hoặc = ( )− (2.75)
Theo đồng nhất vectơ, phân kỳ tích vô hướng của vectơ, ∇. ⃗ = ∇. ⃗ + ⃗. ∇
Hoặc ⃗. ∇ = ∇. ⃗ − ∇. ⃗ (2.76)
Thay phương trình (2.75) và (2.76) vào phương trình(2.74)
= ( )− + ∇. ⃗ + ∇. ⃗ (2.77)
Số hạng trong dấu móc [ ] trong Phương trình (2.77) bằng 0, từ phương trình liên tục.
Như vậy, phương trình (2.77) trở thành:
= ( )+ ∇. ⃗ (2.78)
Thay phương trình (2.78) vào (2.73), chúng ta có:
( )
+ ∇. ⃗ = ̇ + + + − + +
+ + + + [2 + 2 + 2
+ + + ( + ) + ( + ) ] (2.79)
Lặp lại những bước từ phương trình (2.74) tới (2.78), thay vì chỉ là nội năng
e, chúng ta thao tác với năng lượng toàn phần (e + V2/2), nhận được:
( )
= [ ( + )] + ∇[ + ⃗] (2.80)
Thay phương trình( 2.80) vào vế trái của phương trình (2.66), chúng ta nhận được:
+
− ( )+ ( )+ ( ) + ( )+ + ( )+
+ + ( ) + + ( )+ ⃗. ⃗ (2.81)
Phương trình (2.81) là dạng bảo toàn của phương trình năng lượng, viết dưới dạng năng lượng toàn phần (e + V2/2)..
8.Tóm lược những phương trình chủ đạo
Trong các thảo luận ở trên, chúng ta thấy một số lượng lớn phương trình và dường như chúng hoàn toàn giống nhau đối với chúng ta. Những phương trình chính chúng có thể gây chán ngắt. Tuy nhiên, tất cả tính toán động lực học lưu chất đều dựa vào những phương trình này.
a. Phương trình đối với dòng nhớt
Những phương trình đã dẫn xuất trong những mục trên đây áp dụng cho dòng nhớt, tức là dòng xét đến hiện tượng vận chuyển, tiêu tán của nhớt và truyền nhiệt. Do đó những phương trình chủ đạo với dòng nhớt, chịu nén, không ổn định ba chiều là:
Phương trình liên tục
- Dạng không bảo toàn: phương trình(2.29) - Dạng bảo toàn: phương trình(2.30) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Những phương trình động lượng
- Dạng không bảo toàn: phương trình(2.50a-c) - Dạng bảo toàn : phương trình(2.56a-c)
Phương trình năng lượng
- Dạng không bảo toàn: phương trình(2.66) - Dạng bảo toàn : phương trình(2.81)
b. Phương trình đối với dòng không nhớt
Dòng không nhớt, theo định nghĩa là một dòng trong đó hiện tượng vận chuyển, tiêu tán nhớt, khuếch tán khối lượng và dẫn nhiệt được bỏ qua. Những
phương trình chủ đạo cho dòng chảy không ổn định, không nhớt ba chiều, chịu nén nhận được bằng việc bỏ đi những số hạng nhớt trong những phương trình trên.
Phương trình liên tục
- Dạng không bảo toàn
+ ∇. ⃗ = 0 (2.82a) - Dạng bảo toàn
+ ∇. ⃗ = 0 (2.82b)
Những phương trình động lượng
- Dạng không bảo toàn Thành phần x = − + (2.83a) Thành phần y = − + (2.83b) Thành phần z = − + (2.83c) - Dạng bảo toàn Thành phần x ( ) + ∇. ⃗ = − + (2.84a) Thành phần y ( ) + ∇. ⃗ = − + (2.84b) Thành phần z ( ) + ∇. ⃗ = − + (22.84c)
Phương trình năng lượng
+ = ̇ − ( )+ ( )+ ( ) + ⃗. ⃗ (2.85) - Dạng bảo toàn
+ + ∇ + ⃗ = ̇ − ( )+ ( )+ ( ) + ⃗. ⃗ (2.8)
9. Điều kiện biên
Những phương trình cho ở trên kiểm soát dòng của một lưu chất. Những điều kiện biên, và đôi khi là điều kiện ban đầu, cho phép nhận được những lời giải đặc biệt từ những phương trình chủ đạo. Đối với một lưu chất nhớt, điều kiện biên trên một bề mặt giả thiết không có vận tốc tương đối giữa bề mặt và lưu chất ngay bề mặt. Điều này được gọi là điều kiện không trượt. Nếu bề mặt là tĩnh và dòng di chuyển qua nó, thì u = v = w = 0 tại bề mặt (cho một dòng nhớt) (2.87) Hơn nữa, có một điều kiện không trượt tương tự kết hợp với nhiệt độ tại bề mặt. Nếu nhiệt độ bề mặt vật liệu được biểu thị bằng Tw (nhiệt độ vách), khi đó
nhiệt độ ngay tại lớp lưu chất tiếp xúc với bề mặt cũng là Tw. Nếu trong bài toàn được đề cập, biết được nhiệt độ vách, thì điều kiện biên thích hợp của nhiệt độ khí T là:
T = Tw (tại vách) (2.88)
Mặt khác, nếu không biết nhiệt độ vách, thí dụ, nếu nó đang thay đổi như một hàm của thời gian do truyền nhiệt khí động lực học tới hoặc ra khỏi bề mặt, khi đó định luật fourier về dẫn nhiệt cung cấp điều kiện biên tại bề mặt. Nếu chúng ta biểu thị ̇w là thông lượng nhiệt tức thời tại vách, khi đó từ định luật fourier:
̇w = - (k )w (tại vách) (2.89)
Trong đó, n biểu thị hướng pháp tuyến với vách. Ở đây, vật liệu bề mặt đang phản ứng lại sự truyền nhiệt đến vách, ̇w , do đó đang thay đổi Tw, quay ngược lại
ảnh hưởng đến ̇w. bài toán truyền nhiệt không ổn định phải được giải bằng việc xử lý dòng nhớt và sự tác động nhiệt trở lại của vật liệu vách cùng lúc. Kiểu điều kiện biên này, là điều kiện biên gradient nhiệt độ tại vách, trái với quy định về chính bản thân nhiệt độ vách là điều kiện biên. Nghĩa là, từ phương trình (2.89):
( )w= - ̇w/k (tại vách) (2.90) Cuối cùng khi nhiệt độ vách trở thành như vậy sẽ không có sự truyền nhiệt trên bề mặt, nhiệt độ vách này, theo định nghĩa, được gọi là nhiệt độ vách đoạn nhiệt (adiabatic wall temperature) Taw. Điều kiện biên thích hợp cho trường hợp vách đoạn nhiệt đến từ phương trình (2.90) với ̇w = 0, bởi định nghĩa. Do đó, với vách đoạn nhiệt, điều kiện biên là:
( )w= 0 (tại vách) (2.91)
Với lưu chất không nhớt, dòng trượt qua bề mặt (không có ma sát để đẩy ‘sức dính’ của nó tới bề mặt), do đó tại bề mặt dòng phải tiếp xúc với bề mặt:
.⃗ ⃗ = 0 (tại bề mặt) (2.92) trong đó ⃗ là vectơ đơn vị thẳng góc với bề mặt.
Những điều kiện biên khác trong dòng phụ thuộc vào kiểu bài toán được xét, và thường gắn liền với biên chảy vào và chảy ra tại một khoảng cách hữu hạn từ bề mặt, hoặc một điều kiện biên ‘vô hạn’ xa vô tận kể từ bề mặt.
10 . Các dạng phương trình chủ đạo đặc biệt phù hợp với CFD. Thảo luận (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Thấy rằng dạng bảo toàn của những phương trình nhận được trực tiếp từ một thể tích kiểm soát cố định trong không gian, thay vì chuyển động theo lưu chất. Khi thể tích cố định trong không gian, chúng ta đề cập đến dòng khối lượng, động lượng, và năng lượng vào và ra khỏi thể tích. Trong trường hợp này, chính những dòng trở thành những biến phụ thuộc quan trọng trong những phương trình, thay vì chỉ là những biến tích phân nguyên thủy như p, , ⃗,…Chúng ta hãy theo đuổi ý tưởng này. Khảo sát dạng bảo toàn của tất cả các phương trình chủ đạo. Chú ý rằng chúng có cùng dạng tổng quát, bằng:
+ + + = (2.93) Phương trình (2.93) có thể biểu thị toàn bộ hệ thống những phương trình chủ đạo trong dạng bảo toàn nếu U, F, H, và J được giải thích như những vectơ cột, cho bằng:
= ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ( + /2⎭⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (2.94) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ + − − − + + − − − − ⎭⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (2.95) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ − + − − + + − − − − ⎭⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (2.96) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ − − + − + + − − − − ⎭⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (2.97) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 0 + + + ̇ ⎭⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (2.98)
Trong phương trình (2.93), những vectơ cột F, G, và H được gọi là những số hạng dòng (hoặc những vectơ dòng), và J thể hiện ‘số hạng nguồn’ (bằng 0 nếu lực khối và nhiệt thể tích không đáng kể). Với bài toán không ổn định, U được gọi là vectơ nghiệm, vì những phần tử trong U ( , u, v,..) là những biến phụ thuộc, thường được giải bằng số theo các bước thời gian. Đối với những lời giải số tiến triển theo thời gian, chúng ta tách ra / bằng việc sắp xếp lại phương trình (2.93):
Xin nhớ rằng trong hình thức này, những phần tử của U nhận được bằng tính toán, tức là những số nhận được bằng tích , u, v, w và (e+V2/2).Tất nhiên khi