Trong mục này, chúng ta áp dụng nguyên lý vật lý thứ ba như đã được liệt kê tại bắt đầu của phần 2.1, nghĩa là
Nguyên lý vật lý: Năng lượng được bảo toàn
Tiếp tục của sự dẫn xuất phương trình Navier-Stokes (nghĩa là phương trình động lượng) như ở trên, chúng ta sẽ sử dụng lại mô hình dòng của phần tử lưu chất vô cùng bé chuyển động với dòng (thể hiện trên hình 2.2b). Phát biểu của những nguyên lý này là định luật thứ nhất của nhiệt động lực, mà khi ứng dụng cho phần tử lưu chất chuyển động với dòng, định luật thứ nhất phát biểu rằng:
Suất biến đổi năng lượng trong phần tử lưu chất = dòng tịnh của nhiệt đi vào phần tử + suất của công thực hiện trên phần tử do lực khối và lực mặt
Hoặc
A = B + C (2.59)
Trong đó A, B, và C biểu thị những số hạng tương ứng ở trên.
Trước hết đánh giá C, tức là nhận được biểu thức cho suất của công thực hiện trên phần tử lưu chất chuyển động do lực mặt. Có thể thấy rằng suất của công thực hiện bởi một lực tác động trên phần chuyển động bằng tích của lực và thành phần vận tốc trong hướng của lực. Do đó suất của công thực hiện bởi lực khối tác động lên phần tử lưu chất chuyển động với vận tốc là ⃗ là :
⃗ ⃗( )
Với lưu ý tới những lực mặt, chỉ xét những lực trong hướng x trong hình 2.8. Suất của công thực hiện trên phần tử lưu chất chuyển động bởi áp suất và lực ứng suất theo hướng x trong hình 2.8, đơn giản là thành phần vận tốc u nhân với lực, ví dụ trên mặt abcd suất của công thực hiện bởi yxdxdz là u yxdxdz, có những biểu thức tương tự với những mặt khác. Để nhấn mạnh những xem xét năng lượng này, phần tử lưu chất chuyển động được vẽ lại trong hình 2.10, trong đó suất của công thực hiện trên mỗi mặt bằng lực mặt theo hướng x được chỉ rõ. Để nhận được suất ròng của công thực hiện trên phần tử bởi lực mặt, chú ý rằng những lực đó trong hướng x dương thực hiện công dương và những lực đó trong hướng x âm thực hiện
công âm. Dó đó so sánh lực áp suất trên mặt adhe và bcgf trong hình 2.10, suất ròng của công thực hiện bởi áp suất trong hướng x là:
[ − ( + ( ) )]dydz= − ( )dxdydz
Tương tự suất ròng của công thực hiện bởi ứng suất tiếp theo hướng x trên những mặt abcd và efgh là :
[( + ) − ]dxdz= − ( )dxdydz
Xét tất cả các lực mặt đưa vào hình 2.7, suất ròng của công thực hiện trên phần tử lưu chất chuyển động do những lực này đơn giản là:
[− ( )+ + + ]dxdydz
Biểu thức trên xét duy nhất lực mặt theo hướng x. Khi xét lực mặt trong những hướng y và z, cũng nhận được những biểu thức thương tự.
Hình 2.10. những dòng năng lượng liên quan đến phần tử lưu chất vô cùng bé chuyển động. Để đơn giản, chỉ xét những dòng trong hướng x.
Tổng quát, suất tịnh của công thực hiện trên phần tử lưu chất chuyển động là tổng của những đóng góp lực mặt trong hướng x, y và z, cũng như đóng góp lực khối. Điều này được biểu thị bởi C trong phương trình (2.59), và cho bằng:
= − ( )+ ( )+ ( ) + ( )+ + ( )+ +
+ + ( )+ + ( ) + ⃗. ⃗ (2.60)
Chú ý rằng trong phương trình (2.60) ba số hạng đầu tiên bên vế phải đơn giản là ∇. ( )⃗.
Tiếp theo xét B trong Phương trình (2.59), tức là thông lượng tịnh của nhiệt đi vào trong phần tử. Thông lượng nhiệt này do: (1) đốt nóng thể tích như hấp thụ hoặc phát xạ của bức xạ, và (2) truyền nhiệt qua bề mặt do gradient nhiệt độ, tức là dẫn nhiệt. cho ̇ như suất bổ sung nhiệt thể tích trên đơn vị khối lượng.
Khối lượng nhiệt của phần tử = ̇dxdydz (2.61) Trong hình 2.10, nhiệt do truyền nhiệt vào trong phần tử lưu chất chuyển động qua mặt adhe là ̇ xdydz , trong đó ̇x là nhiệt truyền theo hướng x trên đơn vị thời gian trên đơn vị diện tích bởi sự dẫn nhiệt. Nhiệt truyền ra khỏi phần tử qua mặt bcgf là [ ̇x + ( ̇x/ ) ]dydz. Như vậy, nhiệt tịnh chuyển theo hướng x vào trong phần tử bởi dẫn nhiệt là:
[ ̇ − ( ̇x + ̇ )] = − ̇
Xét sự truyền nhiệt trong các hướng y và z qua những mặt khác trong hình 2.10, chúng ta nhận được:
Nhiệt của phần tử lưu chất do dẫn nhiệt
= −( ̇ + ̇ + ̇ ) (2.62)
Số hạng B trong phương trình (2.59) là tổng của phương trình (2.61) và (2.62).
= [ ̇ − ̇ + ̇ + ̇ ] (2.63)
Sự truyền nhiệt bởi dẫn nhiệt tỷ lệ với gradient nhiệt độ địa phương:
̇x = − ; ̇y = − ; ̇z = −
= ̇ + + + (2.64) Cuối cùng A trong phương trình (2.59) biểu thị suất biến đổi theo thời gian của năng lượng phần tử lưu chất. Năng lượng toàn phần của một lưu chất chuyển động trên khối lượng đơn vị là tổng nội năng của nó trên đơn vị khối lượng e, và động năng của nó trên khối lượng đơn vị V2/2. Do đó năng lượng toàn phần là (e + V2/2). Chúng ta có :
= + (2.65)
Dạng cuối cùng của phương trình năng lượng nhận được bởi thay phương trình(2.60), (2.64) và (2.65) vào phương trình(2.59), nhận được:
+
2 = ̇ + + +
− ( )+ ( )+ ( ) + ( )+ + ( )+ +
+ + ( )+ + ( )+ ⃗. ⃗ (2.66)
Đây là dạng không bảo toàn của phương trình năng lượng, cũng chú ý rằng đó là đối với năng lượng toàn phần (e + V2/2). Thông thường phương trình năng lượng được viết ở dạng chỉ có nội năng e. Cách dẫn xuất như sau. Nhân phương trình (2.50a-c) với u, v và w tương ứng:
( )
= − + + + + (2.67)
( )
= − + + + + (2.68)
( ) = − + + + + (2.69) Cộng phương trình (2.53a-c) và chú ý là u2+v2+w2 = V2, chúng ta nhận được:
= − − − + + + + +
Trừ phương trình (2.70) từ phương trình (2.66), chú ý rằng: ⃗. ⃗ = ( + + ) Chúng ta có : = ̇ + + + − + + + + + + + + + + + (2.71)
Phương trình (2.71) là phương trình năng lượng dưới dạng nội năng e, vẫn trong dạng không bảo toàn.
Phương trình (2.66) và (2.71) có thể được biểu thị tổng thể dưới dạng những biến trường dòng bằng việc thay thế những số hạng ứng suất nhớt xy, xz,vv.., bằng những biểu thức tương đương của chúng từ phương trình (2.57a-f). Ví dụ, từ phương trình (2.71), chú ý rằng xy = yx , xz = zx , yz = zy , ta có:
= ̇ + + + − + + +
+ + + ( + ) + ( + ) + ( + ) (2.72)
Thay phương trình (2.57a-f) vào phương trình (2.72), chúng ta có:
= ̇ + + + − + +
+ + + + [2 + 2 + 2
+ + + ( + ) + ( + ) ] (2.73) Phương trình năng lượng trong dạng bảo toàn có thể nhận được như sau. Xét vế trái của phương trình (2.73). Từ định nghĩa của đạo hàm thực:
Tuy nhiên ( )= +
Hoặc = ( )− (2.75)
Theo đồng nhất vectơ, phân kỳ tích vô hướng của vectơ, ∇. ⃗ = ∇. ⃗ + ⃗. ∇
Hoặc ⃗. ∇ = ∇. ⃗ − ∇. ⃗ (2.76)
Thay phương trình (2.75) và (2.76) vào phương trình(2.74)
= ( )− + ∇. ⃗ + ∇. ⃗ (2.77)
Số hạng trong dấu móc [ ] trong Phương trình (2.77) bằng 0, từ phương trình liên tục.
Như vậy, phương trình (2.77) trở thành:
= ( )+ ∇. ⃗ (2.78)
Thay phương trình (2.78) vào (2.73), chúng ta có:
( )
+ ∇. ⃗ = ̇ + + + − + +
+ + + + [2 + 2 + 2
+ + + ( + ) + ( + ) ] (2.79)
Lặp lại những bước từ phương trình (2.74) tới (2.78), thay vì chỉ là nội năng
e, chúng ta thao tác với năng lượng toàn phần (e + V2/2), nhận được:
( )
= [ ( + )] + ∇[ + ⃗] (2.80)
Thay phương trình( 2.80) vào vế trái của phương trình (2.66), chúng ta nhận được:
+
− ( )+ ( )+ ( ) + ( )+ + ( )+
+ + ( ) + + ( )+ ⃗. ⃗ (2.81)
Phương trình (2.81) là dạng bảo toàn của phương trình năng lượng, viết dưới dạng năng lượng toàn phần (e + V2/2)..
8.Tóm lược những phương trình chủ đạo
Trong các thảo luận ở trên, chúng ta thấy một số lượng lớn phương trình và dường như chúng hoàn toàn giống nhau đối với chúng ta. Những phương trình chính chúng có thể gây chán ngắt. Tuy nhiên, tất cả tính toán động lực học lưu chất đều dựa vào những phương trình này.