Trong mục này, chúng ta áp dụng nguyên lý vật lý cơ bản khác cho mô hình dòng, tức là:
Nguyên lý vậy lý: F = ma (định luật thứ 2 của Newton) (2.43) Chúng ta sẽ sử dụng mô hình phần tử lưu chất chuyển động được thể hiện ở phía bên phải của hình 2.2b. Mô hình phần tử lưu chất chuyển động được phác họa chi tiết hơn trong hình 2.8.
Định luật thứ 2 của Newton biểu thị ở trên, khi ứng dụng cho phần tử lưu chất chuyển động trong hình 2.8, nói rằng lực ròng tác động lên phần tử cân bằng với khối lượng của nó nhân với gia tốc của phần tử. Đây là một quan hệ vectơ, và do đó có thể chia ra ba quan hệ vô hướng dọc theo các trục x, y, z. Chúng ta hãy chỉ xét thành phần x của định luật thứ 2 Newton:
Fx = max (2.44)
trong đó Fx và ax là thành phần vô hướng của lực và gia tốc tương ứng.
Hình 2.8. phần tử chất lỏng chuyển động vô cùng bé, chỉ giới hạn minh họa trong hướng x. Mô hình được dùng để dẫn ra thành phần x của phương trình động lượng.
Trước hết hãy xét vế trái của phương trình (2.44). Chúng ta nói rằng phần tử lưu chất chịu một lực trong hướng x. Cái gì là nguồn của lực này? Có hai nguồn:
(1) Lực khối, tác động trực tiếp lên khối lượng thể tích của phần tử. Những lực này là trọng lực, lực điện từ.
(2) Lực mặt, tác động trực tiếp lên bề mặt phần tử. Chúng chỉ do hai nguồn: (a) phân bố áp suất tác động lên bề mặt, ép bởi lưu chất bên ngoài bao vây phần tử lưu chất, và (b) những phân bố ứng suất tiếp tuyến và pháp tuyến tác động lên trên bề mặt, cũng bị ép bởi lưu chất bên ngoài ‘kéo’ hoặc ‘đẩy’ trên bề mặt bởi ma sát.
Hình 2.9. Minh họa ứng suất tiếp tuyến và pháp tuyến
Chúng ta hãy biểu thị lực khối trên đơn vị khối lượng ⃑ tác động lên phần tử bằng fx với thành phần hướng x. Thể tích của phần tử là (dxdydz), do đó:
Lực khối tác động lên phần tử lưu chất theo hướng x = fx(dxdydz) (2.45) Ứng suất tiếp biểu thị bằng yx trong hình 2.9a, liên quan tới suất biến đổi theo thời gian gian của biến dạng trượt của phần tử, trong khi ứng suất pháp tuyến biểu thị bởi xx trong hình 2.9b, liên quan tới suất biến đổi theo theo thời gian của thể tích của phần tử. Trong đa số các dòng nhớt, ứng suất pháp tuyến ( xx) nhỏ hơn nhiều so với ứng suất tiếp tuyến và nhiều lần được bỏ qua. Lực mặt trong hướng x tác động lên phần tử được phác họa trong hình 2.8. Quy ước sử dụng ở đây là ij
biểu thị ứng suất trong hướng j tác động thẳng góc lên mặt phẳng thẳng góc với trục i. Trên mặt abcd, lực duy nhất trong hướng x là do ứng suất tiếp tuyến yxdxdz Mặt
efgh cách mặt abcd một khoảng dy, do đó lực ứng suất trong hướng x trên mặt efgh là:
[ yx + ( yx/ ) ] dxdz
Tương tự và chú ý hướng của lực ứng suất trên các mặt còn lại, đối với phần tử lưu chất chuyển động chúng ta có thể viết:
Lực mặt tổng hợp trong hướng x =
[ − ( + )]dydz + [( + dx)- ]dydz
+ [( + dy)- ]dxdz + [( + dz)- ]dxdy (2.46) Lực tổng hợp Fx trong hướng x, bằng tổng Phương trình(2.45) và (2.46). Cộng và giản ước các số hạng chúng ta nhận được:
= − + + + + (2.47)
Phương trình(2.47) biểu thị vế trái của phương trình(2.44).
Xét vế phải của Phương trình(2.44). khối lượng của phần tử lưu chất cố định và bằng :
m = dxdydz (2.48)
Cũng như vậy, gọi gia tốc của phần tử là suất biến đổi theo thời gian của vận tốc của nó. Do đó thành phần gia tốc trong hướng x biểu thi bằng ax, đơn giản là suất biến đổi theo thời gian của u, vì chúng ta theo phần tử lưu chất chuyển động, suất biến đổi theo thời gian này là đạo hàm thực. Như vậy,
ax= (2.49)
Kết hợp Phương trình(2.44), (2.47), và (2.49), chúng ta nhận được:
= − + + + + (2.50a)
Là thành phần x của phương trình động lượng cho một dòng nhớt. Tương tự, những thành phần y và z có thể nhận được như sau:
= − + + + + (2.50b)
Và
= − + + + + (2.50c)
Phương trình(2.50a-c) là các thành phần tương ứng x, y và z của phương trình động lượng. Chú ý rằng chúng là dạng không bảo toàn. Chúng là những phương trình vô hướng, và được gọi là phương trình Navier-Stokes.
Phương trình Navier-Stokes có thể nhận được trong dạng bảo toàn như sau. Viết vế trái của Phương trình(2.50a) đối với số hạng theo định nghĩa của đạo hàm thực :
= + ⃗. ∇ (2.51)
Cũng như vậy, khai triển đạo hàm sau :
( ) = +
Và sắp xếp lại, chúng ta có :
= ( )− (2.52) Đồng nhất vec tơ đối với phân kỳ tích vô hướng của vec tơ, chúng ta có : ∇. ⃗ = ∇. ⃗ + ( ⃗). ∇
Hoặc
( ⃗). ∇ = ∇. ⃗ − ∇. ⃗ (2.53) Thay phương trình(2.52) và (2.353 vào phương trình(2.51),
= ( )− − ∇. ⃗ + ∇. ⃗ Hoặc
= ( )− [ + ∇. ⃗ ]+ ∇. ⃗ (2.54)
Số hạng trong dấu móc trong phương trình(2.54) đơn giản là vế trái của phương trình liên tục như phương trình (2.25), do đó số hạng trong dấu móc bằng 0. Như vậy là phương trình(2.54) đơn giản thành:
= ( )+ ∇. ⃗ (2.55) Thay phương trình(2.55) vào phương trình(2.50a)
( )
+ ∇. ⃗ = − + + + + (2.56a)
Tương tự, phương trình(2.50b và c) có thể biểu thị như (2.56b và c)
( )
Và :
( )
+ ∇. ⃗ = − + + + + (2.56c)
Phương trình (2.56a-c) là phương trình Navier-Stokes trong dạng bảo toàn. Vào năm 1845 Stokes tìm ra quan hệ:
= ∇. ⃗ + 2 (2.57a) = ∇. ⃗ + 2 (2.57b) = ∇. ⃗ + 2 (2.57c) = = ( + ) (2.57d) = = ( + ) (2.57e) = = ( + ) (2.57f)
Trong đó µ là hệ số nhớt phân tử, λ hệ số nhớt tổng hợp. Stokes đưa ra giả thuyết : λ = −
Thay phương trình (2.57) vào phương trình (2.56), chúng ta nhận được phương trình Navier-Stokes đầy đủ trong dạng bảo toàn:
( ) + ( )+ ( )+ ( ) = − + ∇. ⃗ + 2 + + + [ ( + )] + (2.58a) ( ) + ( )+ ( )+ ( ) = − + + + ∇. ⃗ + 2 + [ ( + )] + (2.58b) ( ) + ( )+ ( )+ ( ) = − + + + + + ∇. ⃗ + 2 + (2.58c)