Để làm sáng tỏ sự khác nhau giữa 2 dạng bảo toàn và không bảo toàn của các phương trình chủ đạo ta xét cả hai mô hình đó là thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian như hình 2.1a và phần tử lưu chất vô cùng bé chuyển động với dòng như hình 2.2b.
Đầu tiên, xét mô hình của một phần tử lưu chất vô cùng bé chuyển động với dòng. Khối lượng phần tử này cố định và bằng δm. Biểu thị thể tích của phần tử này bởi δS như trong mục 2.4:
= (2.15) Theo nguyên lý bảo toàn khối lượng, chúng ta có thể phát biểu rằng suất biến đổi của khối lượng của phần tử lưu chất theo thời gian bằng 0 khi phần tử này chuyển động cùng với dòng. Như vậy, chúng ta có:
( )
= 0 (2.16) Kết hợp phương trình (2.15) và phương trình (2.16), chúng ta được:
( )
= + ( )= 0 Hay
+ 1 ( ) = 0 (2.17) Số hạng trong dấu [ ] có ý nghĩa vật lý như của ∇. ⃗. Vậy kết hợp hai phương trình (2.14) và (2.17) chúng ta được:
+ ∇. ⃗ = 0 (2.18) Phương trình (2.18) là dạng phương trình liên tục trong dạng không bảo toàn.
Kết luận:
Bằng việc áp dụng mô hình phần tử lưu chất vô cùng bé, chúng ta nhận được phương trình (2.18) trực tiếp trong dạng đạo hàm riêng.
Bằng việc chọn mô hình chuyển động cùng với dòng, chúng ta nhận được dạng không bảo toàn của phương trình liên tục.
Tiếp theo, xét mô hình thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian so với dòng. Tại một điểm trên bề mặt kiểm soát, vận tốc dòng là ⃗ và diện tích bề mặt của phần tử vec tơ là ⃗. Gọi dV là thể tích phần tử trong thể tích kiểm soát hữu hạn. Áp dụng nguyên lý bảo toàn khối lượng:
Khối lượng dòng chảy ra khỏi thể tích kiểm soát qua bề mặt S
= Suất giảm khối lượng trong thể tích kiểm soát theo thời gian (2.19) Xét vế trái của phương trình (2.19). Dòng khối lượng của chất lỏng chuyển động qua bất kỳ bề mặt cố định nào bằng tích của mật độ nhân với thành phần vận tốc thẳng góc với bề mặt. Do đó dòng khối lượng phần tử qua vùng dS là:
= ⃗. ⃗ (2.20) Khảo sát hình 2.5, theo quy ước ⃗ luôn hướng ra khỏi thể tích kiểm soát. Do đó, khi ⃗ cũng hướng ra khỏi thể tích kiểm soát, như vậy ⃗. ⃗ là số dương. Khi ⃗ hướng ra khỏi thể tích kiểm soát, dòng khối lượng về mặt vật lý là rời khỏi thể tích kiểm soát, tức là một sự chảy ra, do đó ⃗. ⃗ dương biểu thị sự chảy ra, ngược lại khi ⃗ hướng vào thể tích kiểm soát thì ⃗. ⃗ âm, tức là biểu thị sự chảy vào.
Hình 2.5: Thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian.
Dòng khối lượng vòng ra khỏi toàn bộ thể tích kiểm soát qua bề mặt kiểm soát S là tổng trên S của những dòng khối lượng phần tử trong phương trình (2.20). Trong giới hạn, nó trở thành một tích phân mặt:
Xét vế phải của phương trình (2.19). Khối lượng chứa trong thể tích phần tử dV là
dV. Toàn bộ khối lượng trong thể tích kiểm soát là một tích phân thể tích: ∰
Suất tăng khối lượng theo thời gian trong V là:
= ∰ (2.22)
Lần lượt, suất giảm khối lượng theo thời gian trong V là âm của nó:
= − ∰ ) (2.23)
Thay phương trình (2.22) và (2.23)vào phương trình (2.19) chúng ta có: ⃗. ⃗= −
Hoặc
∰ + ∯ ⃗. ⃗= 0 (2.24)
Phương trình (2.24) là dạng tích phân của phương trình liên tục trong dạng bảo toàn.
Đưa phương trình (2.24) về dạng phương trình vi phân. Vì thể tích kiểm soát cố định trong không gian, những giới hạn tích phân trong phương trình (2.24) không thay đổi và do đó đạo hàm thời gian có thể đặt trong tích phân.
∰ dV+ ∯ ρV⃗. dS⃗ = 0 (2.25) Áp dụng định lý phân kỳ từ phép tính vec tơ, tích phân mặt trong phương trình (2.25) có thể biểu thị như một tích phân thể tích:
∯ ⃗. ⃗= ∰ ∇. ⃗ (2.26) Thay phương trình (2.26) vào phương trình (2.25) chúng ta được:
∰ + ∰ ∇. ⃗ = 0 (2.27) Hoặc
Để tích phân trong phương trình (2.28) bằng 0 là cho biểu thức dưới dấu tích phân bằng 0, do đó:
+ ∇. ⃗ = 0 (2.29)
Phương trình (2.29) là phương trình liên tục dạng bảo toàn. Kết luận:
Bằng việc áp dụng mô hình thể tích kiểm soát hữu hạn, chúng ta nhận được phương trình (2.29) trực tiếp ở dạng tích phân.
Chỉ sau dùng các phép biến đổi tích phân chúng ta gián tiếp nhận được phương trình đạo hàm riêng, phương trình (2.29).
Bằng việc chọn mô hình cố định trong không gian, chúng ta nhận được dạng bảo toàn của phương trình liên tục.
Chúng ta cũng có thể đưa phương trình liên tục ở dạng bảo toàn về dạng không bảo toàn và ngược lại bằng cách xét đồng nhất vec tơ bao gồm sự phân kỳ của tích vô hướng vec tơ theo thời gian:
∇. ⃗ = ∇. ⃗ + ⃗. ∇ (2.30) Thay phương trình (2.30) vào phương trình liên tục dạng bảo toàn (phương trình (2.29)):
+ ⃗. ∇ + ∇. ⃗ = 0 (2.31) Biểu thức trong ngoặc là đạo hàm thực của mật độ. Do đó, phương trình (2.31) trở thành:
+ ∇. ⃗ = 0 (2.32)
Đây chính là dạng không bảo toàn của phương trình liên tục.
Kết luận: Việc sử dụng dạng bảo toàn hoặc không bảo toàn của những phương trình chủ đạo tạo nên sự khác biệt nhỏ trong hầu hết lý thuyết động lực học. Ngược lại, sử dụng bất cứ dạng nào cũng đều có thể tạo sự khác nhau trong những ứng dụng CFD.