2.4. Một số kỹ thuật đồng bộ trong hệ thống thông tin hỗn loạn
2.4.2. Đồng bộ dự đoán
2.4.2.1. Giới thiệu
Đồng bộ của các hệ thống phi tuyến là một chủ đề thu hút sự rất nhiều sự chú ý.
Trong khoảng một thập niên trở lại đây chủđề vềđồng bộ trong các hệ thống hỗn loạn trở nên được quan tâm rất lớn. Voss đã tạo ra một loại đồng bộ mới đó là đồng bộ dự đoán. Voss đã chỉ ra rằng bằng việc dùng các dòng trễ phù hợp thì tác giả có thểđồng bộ hai hệ thống được liên kết gián tiếp với nhau. Nghĩa là hệ thống bịđiều khiển y(t) có thể dự đoán được các công việc của hệ thống điều khiển x(t). Hai thiết kế này có thể thay thế hoàn toàn:
𝑥𝑥̇(t) = - αx(t) + f(x(t - τ))
ẏ(t) = - αy(t) + f(x(t)) (2.28)
57 Hay liên kết trễ:
𝑥𝑥̇(t) = f(x(t))
ẏ(t) = f(x(t – τ) + K[x(t) - y(t - τ)] (2.29) Như vậy, y(t) = x(t + τ) là một nghiệm của các phương trình trên. Và Voss đã chỉ ra rằng trong cảhai trường hợp thì nghiệm này rất có ổn định về mặt cấu trúc. Đáng lưu ý là khi hệ thống chủ x được coi là không thể dự đoán được trong trường hợp của hệ thống hỗn loạn. Trong khi hệ thống thay thế hoàn toàn, thời gian dựđoán có thể lớn, thì τ và K trong hệ thống liên kết bị giới hạn trong một số yêu cầu. Mặc dù hệ thống liên kết có nhiều ứng dụng hơn kể từ khi thời gian dựđoán τ có thể nhận nhiều giá trị mà không cần có sựthay đổi của hệ thống chủ. Ví dụ, có thể xem xét một hệ thống liên kết sau:
ẋ(t) = f(x(t)) + I(t)
ẏ(t) = f(y(t)) + I(t) + K[x(t) - y(t - τ)] (2.30)
Trong đó I(t) đặc trưng cho các lực bên ngoài. Và chú ý rằng y(t)= x(t + τ) không còn là một nghiệm của phương trình này nữa (trừtrường hợp I(t + τ) = I(t)). Trong một sốtrường hợp liên kết phù hợp thì có một mối liên hệ giữa y(t) và x(t + τ). Trong thực tế thì điều đó có nghĩa là nó cho phép tác giả dựđoán x(t) với độ chính xác cao.
Hình 2.4. Mô hình master và Slave trong đồng bộ dự đoán
Đặc biệt là khi mô hình tế bào cảm giác (sensory neurons) được xem xét. Tế bào cảm giác biến đổi các tín hiệu kích thích ngoài như là áp suất, nhiệt độ, xung điện,…
thành các hành động. Hệ thống đó đặc trưng cho các hệ thống nhạy cảm. Nếu lực lớn hơn một mức ngưỡng nào đó thì tế bào sẽ làm mất xung đó và khôi phục các thủ tục xử lý một sự chịu đựng thời gian trong suốt quá trình, quá trình này thì xung thứ hai không được xuất hiện. Thông thường thì tế bào cảm giác làm việc trong một môi trường ồn ào.
Do vậy thời gian xen kẽ giữa hai lần tác động tác giả không thể biết trước nên chúng có thể coi là ngẫu nhiên, và lực ngẫu nhiên thường xuất hiện cho dùng không có sự kích
thích. Đồng bộ dao động và nhiễu đang thu hút được rất nhiều sự chú ý kể từ khi nó được chỉ ra rằng các hoạt động giải phóng đồng bộ của tế bào cảm giác có thể là một phần của các chức năng não cao hơn và có thể tạo ra một kỹ thuật để tích hợp các thông tin toàn cầu.
2.4.2.2. Một số ví dụ
a) Mô hình Lorrenz và Rossler
Ta minh họa hệ thống với hai mô hình Lorenz và Rossler với mức độ hỗn loạn yếu và mạnh chỉ ra đường dựđoán lý thuyết ngắn hay dài.
Mô hình Lorenz có u = (x, y, z) được định nghĩa bởi tập các phương trình khác nhau như sau:
(𝑥𝑥̇,𝑦𝑦,̇ 𝑧𝑧̇) = [ σ (y – x), - xz + rx – y, xy – bz] (2.31) Trong ví dụ này, tác giả cho σ =10, b = 8
3 và r = 28. Và với tương quan mũ Lyapunov lớn nhất là λ =0.9. Nó đưa ra mối liên kết cho việc dựđoán
t = 1
𝜆𝜆 = 1.11. Trong mô hình Rossler với a = 0.15; b = 0.2 và c = 10; và hệ sốmũ Lyapunov lớn nhất λ = 0.09, với hệ số dựđoán ngang là t = 1
𝜆𝜆 = 1.11. Lý thuyết dựđoán của mỗi mô hình khác nhau.
Ta có hai hệ thống Lorenz giống nhau u0 và u1 và mối liên kết giữa chúng được theo phương trình sau:
𝑢𝑢̇1(𝑡𝑡) =𝑓𝑓(𝑢𝑢1(𝑡𝑡)) +𝐾𝐾 [𝑢𝑢0(𝑡𝑡)− 𝑢𝑢1(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)] (2.32) Và liên kết chỉ trong biến x. Hình sau chỉ ra vùng ổn định của miền dựđoán
𝑢𝑢1(𝑡𝑡) =𝑢𝑢0(𝑡𝑡+ 𝜏𝜏) (2.33)
Hình 2.5. Vùng ổn định của miền dự đoán
59
Tỉ lệ xám chỉ ra mối liên kết lớn nhất có hàm tương quan chéo giữa 𝑢𝑢1(𝑡𝑡) và 𝑢𝑢0(𝑡𝑡+ 𝜏𝜏). Từhình này ước ta có thểlượng rằng thời gian dựđoán lớn nhất là τ = 0.13 đạt được khi K = 19. Tương tự ta cũng có đối với hệ thống Rossler thời gian dựđoán lớn nhất là τ = 0.91 với K = 0.5. Trong cả hai trường hợp thời gian dựđoán lớn nhất đều nhỏhơn nghịch đảo hệ sốmũ Lyapunov lớn nhất. Nhưng trong thực tếchúng tương tự với dựđoán tuyến tính thời gian của hệ thống ban đầu τ = 0.16 (với hệ thống Lorenz) và τ = 0.95 ( với hệ thống Rossler).
Các giá trị này nhận được như là một đường ngang trong khi lỗi dựđoán tuyến tính lớn hơn 5% so với hệ thống này, và nó phù hợp với các giá trịthu được từ các hàm tựtương quan. Điều này cho ta thấy rằng cơ chếđồng bộ dựđoán bị giới hạn trong miền của t và 𝑢𝑢1(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏) có thể xấp xỉ 𝑥𝑥1(𝑡𝑡) theo nhiều cách.
b) Xấp xỉ trong đồng bộ dự đoán
Để loại bỏ phần trễ từphương trình (2.33) ta xem xét:
𝑢𝑢1(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏) = 𝑢𝑢1(𝑡𝑡)− 𝜏𝜏𝑢𝑢1(𝑡𝑡) (2.34) và thay thếchúng vào phương trình thì được:
𝑢𝑢̇1(𝑡𝑡) =𝑓𝑓(𝑢𝑢1(𝑡𝑡) +𝐾𝐾[𝑢𝑢0(𝑡𝑡)− 𝑢𝑢1(𝑡𝑡) + 𝜏𝜏𝑢𝑢1(𝑡𝑡)] (2.35) 𝑢𝑢̇1(𝑡𝑡) = 1−𝐾𝐾𝐾𝐾1 𝑓𝑓�𝑢𝑢1(𝑡𝑡)�+ 1−𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 [𝑢𝑢0(𝑡𝑡)− 𝑢𝑢1(𝑡𝑡)] (2.36) Do vậy việc sử dụng xấp xỉđầu tiên trong mô hình đồng bộ dựđoán có thể giảm đến không dựđoán nhưng với các hệ thống lái và đáp ứng khác nhau. Hệ thống lúc này không phải là 𝑢𝑢1(𝑡𝑡) =𝑢𝑢0(𝑡𝑡) mà là 𝑢𝑢1(𝑡𝑡) =𝑢𝑢0(𝑡𝑡) + 𝜏𝜏𝑓𝑓(𝑢𝑢0(𝑡𝑡)) trong xấp xỉ đầu tiên.
Phương pháp tiếp cận này được sử dụng để thu được đồng bộ dựđoán trong một chuỗi các mạch RF hỗn loạn. Quá trình tiến triển của thời gian cho hệ thống đáp ứng được đưa ra bởi phương trình (2.36) có mối tương quan với hệ thống lái nhưng với tỉ lệ khác : 𝑡𝑡′ = 1−𝐾𝐾𝐾𝐾1
Việc dựđoán yêu cầu t’> t hoặc trong trật tự thời gian thì 0 < 1− 𝐾𝐾𝜏𝜏 < 1, đưa ra hai giới hạn cho đồng bộ dựđoán đó là 𝐾𝐾𝜏𝜏 > 0 và 𝐾𝐾𝜏𝜏 < 1 .
Hệ thống dựđoán đơn giản này có thể so sánh với một số mô hình đồng bộ của Lorenz và Rossler trong trường hợp tất cả các biến đều liên kết với nhau sử dụng một ma trận liên kết chéo 𝐾𝐾 = 𝐾𝐾1 (phương trình này được lựa chọn để tăng độ chính xác của đồng bộ dựđoán trong phương trình (2.35)). Hình 2.6(a) chỉ ra vùng ổn định cho hệ thống Lorenz cùng với đường cong dựđoán đơn giản Kτ = 1. Trong đó hình 2.6(b) thể hiện dự đoán trực tiếp từ xấp xỉ của phương trình (2.36). Chú ý rằng sựtương tự giữa hai số liệu có được đã khẳng định sự chính xác của hệ thống. Điều kiện biên K > 0 chỉ
cần thiết khi cho đồng bộ dựđoán, nhưng ta cần phải có một giá trị liên kết nhỏ nhất để có được đồng bộ. Hình 2.6(c) và 2.6(d) cho ta kết quảtương tự với hệ thống Rossler.
Hình 2.6. Mối quan hệ giữa K và τ cho mô hình dự đoán với các hệ thống trong các trường hợp