2.4. Một số kỹ thuật đồng bộ trong hệ thống thông tin hỗn loạn
2.4.3. Đồng bộ tổng quát
Hai hệ thống động mới được nói đến như là đồng bộ nếu quỹđạo của một trong những hệ thống trùng với các giá trị của các hệ thống khác, và nó vẫn giữnhư vậy trong các bước tiếp theo. Chính vì vậy mà đồng bộ tổng quát được ra đời và nó đã làm cân bằng các biến từ trong một hệ thống với các chức năng của các biến trong hệ thống khác.
Đồng bộ này gọi là đồng bộ tổng quát (GS). Rất nhiều phương pháp đã được áp dụng kiểm tra sự có mặt của các hàm quan hệ giữa hai hệ thống. Nếu đồng bộ tổng quát giữa hệ thống đáp ứng và hệ thống lái xuất hiện nghĩa là ta có phương trình sau: y(t) =F(x(t)). Trong đó mỗi quan hệ F có thể là tuyến tính hoặc không tuyến tính. Ngoài ra GS có thể được chia thành đồng bộ mạnh và đồng bộ yếu.
61 2.4.3.2. Lý thuyết về đồng bộ tổng quát
Hệ thống được xem xét: 𝑥𝑥̇ =𝑓𝑓(𝑥𝑥) và 𝑦𝑦̇ =𝑓𝑓(𝑦𝑦)trong đó𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵𝑛𝑛, 𝑦𝑦 ∈ 𝐵𝐵𝑚𝑚. Nghiệm của các hệ thống lần lượt là x(t,x0) và y(t,y0). Ta nói rằng hai hệ thống được đồng bộ tổng quát nếu có một phép biến đổi:
ξ: 𝐵𝐵𝑛𝑛 → 𝐵𝐵𝑚𝑚 trong miền không gian M={(x, y)} | ξ (x,y) } và tập B ⊃M sao cho mọi (x0, y0) € B thì x( t, x0) và y( t, y0) tiệm cận M khi thời gian tiến tới vô hạn.
Trong phần này tác giả tìm hiểu một hệ thống GS trong các hệ thống DC (cấu hình Master - Slave hoặc các hệ thống cấu trúc sản phẩm chéo):
� 𝑥𝑥̇ =𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑦𝑦̇ =𝑔𝑔(𝑦𝑦,𝑢𝑢) (2.37) Trong đó𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵𝑛𝑛, 𝑦𝑦 ∈ 𝐵𝐵𝑚𝑚 và u(t) = h(x(t, x0)) là tín hiệu ngoại lai. Và điều kiện h: 𝐵𝐵𝑛𝑛
→ 𝐵𝐵𝑚𝑚 .
Hệ thống đầu tiên trong hệphương trình (2.37) được coi là hệ thống điều khiển còn hệ thống thứ hai là hệ thống đáp ứng.
Và câu hỏi đặt ra là liệu rằng hệ thống điều khiển và hệ thống lái ởphương trình (2.37) có là hệ thống đồng bộ tổng quát hay không và nếu có thì trong những điều kiện nào. Hai công cụ chủ yếu ta sử dụng là sựổn định gần đúng và điều kiện Lyapunov về các mũ. Phương pháp tiếp cận ổn định gần đúng trong hệ thống đồng bộ hỗn loạn được tìm ra lần đầu tiên bởi He và Vaidya và cách tiếp cận thứhai được tìm ra bởi Pecora và Carrol.
Định lý 1: Xem xét hệ thống (2.37) là hệ thống đồng bộ tổng quát nếu tồn tại tập B 𝐵𝐵𝑛𝑛 × 𝐵𝐵𝑚𝑚 sao cho tất cả các cặp (𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0) ∈ 𝐵𝐵 và với mỗi u(t) = h(x(t, x0)) hệ thống 𝑦𝑦̇= 𝑔𝑔(𝑦𝑦,𝑢𝑢(𝑡𝑡)) là ổn định gần đúng.
Cách chứng minh phương pháp này là dùng phương pháp của Lyapunov.
Định lý 2: Xem xét hệ thống (2.37). Hệ thống điều khiển và hệ thống đáp ứng là đồng bộ tổng quát nếu xuất hiện tập con B ⊃𝐵𝐵𝑛𝑛 × 𝐵𝐵𝑚𝑚 sao cho tất cả các cặp (x0, y0)
∈ B, tất cảcác điều kiện mũ Lyapunov của hệ thống đáp ứng là âm.
2.4.3.3. Đồng bộ tổng quát trong các hệ thống a) Đồng bộ tổng quát trong hệ thống Lorenz, Rossler
Ta điều khiển hệ thống Lorenz bằng hệ thống Rossler. Các phương trình của hệ thống lái là:
�𝑥𝑥̇1 = 2 + 𝑥𝑥1(𝑥𝑥2− 4) 𝑥𝑥̇2 = − 𝑥𝑥1− 𝑥𝑥3
𝑥𝑥̇3 = 𝑥𝑥2+ 0.45𝑥𝑥3
(2.38) Các phương trình của hệ thống đáp ứng là:
� 𝑦𝑦̇1 = 𝜎𝜎(𝑦𝑦2− 𝑦𝑦1) 𝑦𝑦̇2 =𝑟𝑟𝑢𝑢 − 𝑦𝑦2− 𝑢𝑢𝑦𝑦3
𝑦𝑦̇3 =𝑢𝑢𝑦𝑦2− 𝑏𝑏𝑦𝑦3
(2.39) Trong đó u (t) là một hàm vô hướng bất kì của x1, x2 và x3và σ, b > 0. Tác giả sẽ chỉ ra (2.38) và (2.39) đồng bộ hoàn chỉnh như thế nào.
Đặt 𝑒𝑒=𝑦𝑦 − 𝑦𝑦′ trong đó các biến cơ bản từ một đáp ứng giống hệphương trình (2.39). Phương trình Lyapunov được xem xét như sau:
𝐿𝐿 =1 2(𝑒𝑒12
𝜎𝜎 + 𝑒𝑒22+ 𝑒𝑒32) Nên ta có:
𝐿𝐿̇ =−𝑒𝑒12+𝑒𝑒1𝑒𝑒2− 𝑒𝑒22− 𝑏𝑏𝑒𝑒32 =− �𝑒𝑒1−𝑒𝑒2
2�2−3𝑒𝑒22
4 − 𝑏𝑏𝑒𝑒32 < 0
Điều đó có nghĩa là hệ thống đáp ứng là hệ thống ổn định gần đúng với tất cả các tín hiệu điều khiển u. Do vậy hệ thống điều khiển và hệ thống đáp ứng được cho là đồng bộ tổng quát.
b) Đồng bộ tổng quát trong 2 hệ thống Lorenz
Tác giả xem xét hai hệ thống Lorenz với các tập tham sốkhác nhau (σ, r, b) và σ,r/2, b)
Hệ thống có hệphương trình:
� 𝑥𝑥̇1 =𝜎𝜎(𝑥𝑥2− 𝑥𝑥1)
𝑥𝑥̇2 =𝑟𝑟𝑥𝑥1− 𝑥𝑥2− 𝑥𝑥1𝑥𝑥3−2𝑘𝑘𝑦𝑦2 𝑥𝑥̇3 =𝑥𝑥1𝑥𝑥2− 𝑏𝑏𝑥𝑥3
(2.40) Và hệ thống có hệphương trình:
�
𝑦𝑦̇1 =𝜎𝜎(𝑦𝑦2− 𝑦𝑦1) 𝑦𝑦̇2 =𝑟𝑟2𝑥𝑥1− 𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥1𝑦𝑦3−𝑘𝑘2
𝑦𝑦̇3 =𝑥𝑥1𝑦𝑦2− 𝑏𝑏𝑦𝑦3
𝑥𝑥2 (2.41) Trong đó hệphương trình (2.41) là một hệ thống bịđộng với (x2, x3) là hệ thống con của Lorenz.
Độ sai lệch: e = x-2y .
63 𝐿𝐿 =𝑒𝑒22 +𝑒𝑒32 Nên ta có:
𝐿𝐿̇ =−2(𝑒𝑒22(1− 𝑘𝑘) +𝑏𝑏𝑒𝑒32) < 0 Nếu b > 0 và k<1 thì ta có:
𝑒𝑒̇1 =−𝑒𝑒22+𝜎𝜎𝑒𝑒1
Điều đó có nghĩa là e1 → 0 khi t → ∞ và σ >0. Do vậy phương trình (2.40), (2.41) thể hiện là hệ thống đồng bộ tổng quát.
Hình vẽ dưới đây mô tả sự phụ thuộc giữa số mũ Lyapunov của phương trình (2.40), (2.41) vào hệ số k.
Hình 2.7. Các hệ số mũ Lyapunov của các hệ thống liên kết như một hàm của k Nếu k > 1 hệ thống liên kết (2.40) và (2.41) trở lên phức tạp hơn rất nhiều so với trường hợp k<1.
Ví dụ nếu ta cho một vài giá trị như sau: σ = 16.0 , r = 45.92, b = 4.0 và k = 2.0 tác giả có 3 lực giữa các hệ thống liên kết p1 = (12.94914, 12.94914, 41.92, 6.47455, 6.47455, 20.96) và p2 = (-12.94914, -12.94914, 41.92, -6.47455, -6.47455, 20.96) và một vòng tròn giới hạn. Từ định nghĩa của p1 và p2 có thể thấy rằng chúng nằm trong miền M. Hình dưới đây sẽ chỉra điều này.
Hình 2.8. Vòng tròn được giới hạn trong mặt phẳng x1x2
Kết luận
Trong phần này tác giảđã trình bày lý thuyết vềđồng bộ tổng quát. Tác giả sử dụng các khái niệm của ổn định gần đúng và điều kiện mũ Lyapunov, tác giảđã đưa ra những ví dụ cụ thểcho đồng bộ tổng quát trong các hệ thống liên kết trực tiếp. Tác giả cũng đưa ra các ví dụ trong các hệ thống khác nhau như hệ thống Rossler- Lorenz, Lorrenz- Lorrenz,.. có thể xem như đồng bộ tổng quát. Đồng bộ tổng quát giúp tăng cường hệ thống khi có sựthay đổi về các hệ số của hệ thống.