2.4. Một số kỹ thuật đồng bộ trong hệ thống thông tin hỗn loạn
2.4.5. Đồng bộ xạ ảnh
2.4.5.2 Đồng bộ xạ ảnh trong hệ thống hỗn loạn MLCL
a1) Giới thiệu hệ thống
Lần đầu tiên vào năm 1963,Lorenz đã khám phá ra một lực hấp dẫn hỗn loạn. Vào năm 1999, Chen và Ueta cũng tìm ra một lực hấp dẫn tương tự như vậy nhưng không cân bằng, mà ta có thể hiểu rằng nó hoàn toàn đối ngược với hệ thống của Lorenz. Gần đây, xuất hiện thêm một hệ thống hỗn loạn mới bởi nhà khoa học Lu và cộng sự. Nó chính là việc thống nhất 2 hệ thống Lorenz và Chen lại với nhau nhằm tạo ra một hệ thống hỗn loạn với những chuyển mạch liên tục theo chu kỳ (MLCL).
a2) Phương trình vi phân
Hệ thống hỗn loạn MCLC này được mô tả bởi phương trình sau:
𝑥𝑥̇1= (25𝛼𝛼+ 10)(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)
𝑥𝑥̇2 = (28−35𝛼𝛼)𝑥𝑥1− 𝑥𝑥1𝑥𝑥3+ (29𝛼𝛼 −1)𝑥𝑥2 (2.45) 𝑥𝑥̇3 =𝑥𝑥3𝑥𝑥2−8+𝛼𝛼3 𝑥𝑥3
Ởđó: 𝛼𝛼 =𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2(𝜔𝜔𝑡𝑡) là tham số hiệu chỉnh.
Hệ thống (2.45) không phải là một hệ thống tự trị, với tham số t, mà nó là một hệ thống chuyển mạch liên tục theo một tần số chuyển mạch được xác định bởi tham số t.
67
Khi mà giá trị mũ Lyapunov (LLE) của hệ thống tăng thì lập tức tham số t cũng tăng theo.
a3) Kết quả bằng mô phỏng
Phương trình vi phân trên sẽđược giải quyết bằng câu lệnh Runge-Kutta trong Matlab.
Với những giá trị khác nhau của tham số ω (ω = 10, ω = 50 ) , cùng với điều kiện ban đầu x(0) = [0,01, 0,01, 0,01] ta sẽ có lần lượt các kết quả như hình vẽ dưới đây :
Hình 2.9. Kết quả mô phỏng b) Đồng bộ xạ ảnh trong hệ thống MLCL
b1) Phương trình vi phân
Hệ thống phương trình có thểđược viết lại như sau: 𝑥𝑥̇ =𝑀𝑀(𝑥𝑥3)𝑥𝑥
𝑥𝑥̇3 =𝑔𝑔(𝑥𝑥,𝑥𝑥3) = 𝑥𝑥1𝑥𝑥2−8+𝛼𝛼3 𝑥𝑥3 (2.46) Ởđó :
𝑀𝑀(𝑥𝑥3) = � −25𝛼𝛼 −10 25𝛼𝛼+ 10 28−35𝛼𝛼 − 𝑥𝑥3 29𝛼𝛼 −1�
𝑥𝑥 = (𝑥𝑥1𝑥𝑥2)𝑇𝑇
Hai hệ thống có cùng thông số z, ở đó thông số z trong hệ thống điều khiển cũng chính là thông số trong hệ thống đáp ứng.
b2) Kết quả phương trình vi phân
Kết quả của hệ thống được thiết lập ra từnăm phương trình vi phân khác nhau dưới đây:
𝑥𝑥̇1𝑚𝑚 = (25𝛼𝛼+ 10)(𝑥𝑥2𝑚𝑚 − 𝑥𝑥1𝑚𝑚)
𝑥𝑥̇2𝑚𝑚 = (28−35𝛼𝛼)𝑥𝑥1𝑚𝑚 − 𝑥𝑥1𝑚𝑚𝑥𝑥3𝑚𝑚 + (29𝛼𝛼 −1)𝑥𝑥2𝑚𝑚 𝑥𝑥̇3𝑚𝑚 =𝑥𝑥1𝑚𝑚𝑥𝑥2𝑚𝑚 −8+𝛼𝛼3 𝑥𝑥3𝑚𝑚
𝑥𝑥̇1𝑠𝑠 = (25𝛼𝛼+ 10)(𝑥𝑥2𝑠𝑠 − 𝑥𝑥1𝑠𝑠)
𝑥𝑥̇2𝑠𝑠 = (28−35𝛼𝛼)𝑥𝑥1𝑠𝑠 − 𝑥𝑥1𝑠𝑠𝑥𝑥3𝑚𝑚 + (29𝛼𝛼 −10)𝑥𝑥2𝑠𝑠 (2.47) Ởđó m biểu diễn phần đáp ứng, s biểu diễn phần điều khiển.
Tiếp đến là:
𝑥𝑥𝑠𝑠
𝑥𝑥𝑚𝑚 = 𝑥𝑥1𝑠𝑠
𝑥𝑥1𝑚𝑚 = 𝑥𝑥2𝑠𝑠
𝑥𝑥2𝑚𝑚 =𝛼𝛼 α là hệ số tỷ lệ của biên độ.
Ngoài ra tác giả có thểxác định lỗi chức năng bằng công thức:
𝑒𝑒𝑠𝑠𝑝𝑝=𝑥𝑥1𝑚𝑚𝑥𝑥2𝑠𝑠 − 𝑥𝑥2𝑚𝑚𝑥𝑥1𝑠𝑠 và xây dựng hàm Lyapunov bởi công thức:
𝑉𝑉(𝑥𝑥) = 1 2𝑒𝑒𝑝𝑝𝑠𝑠2 Thời gian hàm V(x) của hệ thống:
𝑉𝑉̇(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑝𝑝𝑠𝑠𝑒𝑒̇𝑝𝑝𝑠𝑠 =𝑒𝑒𝑝𝑝𝑠𝑠[𝑥𝑥̇1𝑚𝑚𝑥𝑥2𝑠𝑠 +𝑥𝑥1𝑚𝑚𝑥𝑥̇2𝑠𝑠 − 𝑥𝑥̇1𝑠𝑠𝑥𝑥2𝑚𝑚 +𝑥𝑥1𝑠𝑠𝑥𝑥̇2𝑚𝑚]
= (4𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2(𝜔𝜔𝑡𝑡)−11)𝑒𝑒𝑝𝑝𝑠𝑠2 = (8𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2(𝜔𝜔𝑡𝑡)−22)𝑉𝑉 (2.48) Khi:
𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2(𝑡𝑡) ∈[0,1], 8𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2(𝜔𝜔𝑡𝑡)−22 < 0 tác giả sẽ có:
𝑉𝑉(𝑡𝑡) = 𝑉𝑉(0)𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝[(8𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2(𝜔𝜔𝑡𝑡)−22)𝑡𝑡] → 0 Do đó sẽthu được phương trình sau đây:
𝑠𝑠→∞lim𝑒𝑒= lim
𝑠𝑠→∞(𝑥𝑥1𝑚𝑚𝑥𝑥2𝑠𝑠 − 𝑥𝑥1𝑠𝑠𝑥𝑥2𝑚𝑚) = 0 (2.49) Khi mà lỗi chức năng của đường tiệm cận tiến tới 0, thì phương thức đồng bộ xạảnh sẽ xảy ra. Để giải thích rõ ràng điều này ta sẽ nghiên cứu sự phát triển của góc pha và hệ số tỷ lệ trong mặt phẳng toạđộ hình trụ.
Thứ nhất, 𝑥𝑥1 =𝑟𝑟𝑒𝑒𝑐𝑐𝑠𝑠∅ ,𝑥𝑥2 =𝑟𝑟𝑒𝑒𝑐𝑐𝑠𝑠∅ ,𝑥𝑥3 =𝑥𝑥3 từphương trình, ta có :
𝑠𝑠→∞lim𝑟𝑟𝑠𝑠𝑟𝑟𝑚𝑚(𝑒𝑒𝑐𝑐𝑠𝑠∅𝑚𝑚𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛∅𝑠𝑠− 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑠𝑠∅𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛∅𝑚𝑚) =𝑟𝑟𝑠𝑠𝑟𝑟𝑚𝑚𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛(∅𝑠𝑠− ∅𝑚𝑚) = 0
69
Nếu trong một khoảng thời gian, rm và rs không bằng 0 thì ta có:
𝑠𝑠→∞limsin(∅𝑠𝑠− ∅𝑚𝑚) = 0
Đó chính là hiện tượng khóa tần số trong hệ thống kép sau một khoảng thời gian phát triển. Tiếp đến, ta có hàm thời gian của α trong hệ thống xác định bởi công thức :
𝛼𝛼̇ =𝛼𝛼 �𝑟𝑟̇𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑠𝑠−𝑟𝑟̇𝑚𝑚
𝑟𝑟𝑚𝑚�
=𝛼𝛼[54𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2(𝜔𝜔𝑡𝑡)−9𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛(∅𝑚𝑚+∅𝑠𝑠)
+ (38−10𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2(𝜔𝜔𝑡𝑡)− 𝑥𝑥3𝑚𝑚)𝑒𝑒𝑐𝑐𝑠𝑠(∅𝑚𝑚+∅𝑠𝑠)]𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛(∅𝑠𝑠− ∅𝑚𝑚)
=𝛼𝛼 ∗ 𝑓𝑓𝑢𝑢𝑛𝑛𝑒𝑒(𝑥𝑥3𝑚𝑚,∅𝑚𝑚,∅𝑠𝑠)𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛(∅𝑠𝑠− ∅𝑚𝑚) (2.50) Hay có thể viết gọn lại công thức gần đúng:
𝛼𝛼 =𝛼𝛼 �𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑚𝑚−𝑟𝑟𝑚𝑚
𝑟𝑟𝑠𝑠� Khi:
𝑠𝑠→∞limsin(∅𝑠𝑠− ∅𝑚𝑚) = 0 thì ta có:
𝑠𝑠→∞lim𝛼𝛼̇ = 0
Điều đó có nghĩa là hệ số tỷ lệα hội tụ tới một hằng số trong toàn bộ khoảng thời gian phát triển.
b3) Mô phỏng
Hình vẽdưới đây sẽ xác định hệ số tỷ lệ với những giá trị w khác nhau cùng với điều kiện ban đầu là: [xm(0) , xs(0)] = [ 0.1,0 , – 0.1, -1.1] :
Hình 2.10. Kết quả mô phỏng với những điều kiện ban đầu khác nhau
Nhìn đồ thị ta thấy rằng, khi ω < 1 thì thông sốωảnh hưởng rất ít tới hệ số tỷ lệα Khi ω >1 thì hệ số tỷ lệα sẽtăng dần khi thông sốω bắt đầu tăng.
Khi ωc xấp xỉ bằng 8.935 thì α tiến dần tới 0 (nghĩa là hệ thống đáp ứng sẽổn định về gốc, và giá trịωc gần như phụ thuộc hết vào điều kiện ban đầu), cùng với đó là hệ sốpha cũng sẽthay đổi từ giá trị âm sang giá trịdương khi mà hệ số tỷ lệαtăng liên tục. Trong quá trình đó, giá trị của đồng bộ xạảnh có thểđạt tới cỡ chính xác 10-8 ~ 10-
6 bất kể khoảng thời gian đó là ngắn, và thông sốω có cao. Giá trị chính xác được xác định bởi công thức:
𝑝𝑝=𝑠𝑠𝑡𝑡𝑑𝑑(𝛼𝛼 − 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛(𝛼𝛼)) 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛(𝛼𝛼)
(2.51) Ởđó std có nghĩa là độ lệch chuẩn, hay còn gọi là giá trị trung bình. Nhưng giá trị này thì không thể dựđoán được.
Thêm nữa, một vấn đềcũng khá là thú vị nữa là nếu điều kiện ban đầu được coi là điều kiện lý tưởng như sau :
𝑥𝑥1𝑠𝑠(0)
𝑥𝑥1𝑚𝑚(0)= 𝑥𝑥2𝑠𝑠(0)
𝑥𝑥2𝑚𝑚(0)=𝛼𝛼0 (2.52)
thì hệ sốαluôn được giữkhông đổi trong suôt quá trình phát triển.
Còn khi thông sốω cốđịnh ở giá trị là 20 và [xm(0) , xs(0)] = [ 0.1,0 , – 0.1, -1.1]
thì hệ sốα sẽthay đổi giá trị ngẫu nhiên ứng với những điều kiện ban đầu khác nhau.
Kết quả trên khá là phù hợp với thực tế rằng, hệ thống hỗn loạn luôn có sự nhạy cảm cao với các giá trịban đầu và các thông số của hệ thống.