CHƯƠNG 2. BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH TRƯỜNG CAO ĐẢNG NGHỆ THUẬT HÀ NỘI TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ÚNG DỤNG ĐẠO HÀM
2.3. Một số biện pháp khắc phục sai lầm của học sinh trong dạy học chủ đề ứng dụng đạo hàm đe khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ở trường Cao đẳng Nghệ thuật Hà Nội
2.3.1. Biện pháp 1. Trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản về chủ đề ứng dụng của đạo hàm trong khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
a. Mục đích của biện pháp:
Việc trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản về chủ đề ứng dụng của đạo hàm có mục đích hỗ trợ học sinh trong việc áp dụng và hiểu sâu sắc về cách đạo hàm có thể được sử dụng trong các tình huống thực tế. Điều này giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực
tể, như khảo sát, vẽ đồ thị hàm số, hay trong việc giải quyết các vấn đề liên quan đến biến đổi và biểu diễn thông tin. Các kiến thức cơ bản này là nền tảng để học sinh phát triển khả năng giải quyết vấn đề và kỹ năng sử dụng đạo hàm trong các bối cảnh thực tế, từ đó làm cho quá trình học tập có ỷ nghĩa hơn và có khả năng ứng dụng cao hơn trong cuộc sống hàng ngày.
Các kiến thức cơ bản về chủ đề ứng dụng của đạo hàm trong khảo sát
và vẽ đồ thị hàm số bao gồm:
- Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số.
+ Định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến của Hàm số.
+ Nội dung của định lý La - grãng và hệ quả cùng ý nghĩa hình học của định lý. Áp dụng được định lý La - grăng để chứng minh được hệ quả của định lý.
- Cực trị của hàm số.
Học sinh nắm vững các công thức và quy tắt tính đạo hàm.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số, chỉ ra các điểm cực trị của hàm số.
Tính được các giá trị đặc biệt cùa hàm số, giá trị cực trị.
- Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Học sinh nắm vững các công thức và quy tắt tính đạo hàm.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số. Một số dạng toán liên quan đến đơn
51
điệu, cực trị, giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhât và đô thị chứa dâu giá trị tuyệt đôi.
X f
rrv /X___ /X _ _ 9____-X /X . 1 • 1 V___ _ /X
- Tiệm cận của đô thị hàm sô.
< e _ ỵ £
Biêt định nghĩa tiệm cận ngang của đô thị hàm sô.
Biêt cách tìm các đường tiệm cận ngang của đô thị hàm sô
- Khảo sát sự biến thiên và vè đồ thị hàm số.
Nhận biêt được hình ảnh hình học của đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Mô tả được sơ đô tông quát đê khảo sát hàm sô (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị).
Khảo sát được tập xác định, chiêu biên thiên, cực trị, tiệm cận, băng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: y = axĩ + bx2 + CX + d(a 0);
y = ax' + bx2 + c; y = ax + b
cx + d (c # ữ,ad —bc^ o).
Nhận biêt được tính đôi xứng (trục đôi xứng, tâm đôi xứng) của đô thị các hàm số trên. Kiến thức cơ bản nhằm mục đích gì?
b. Nội dung và cách thực hiện:
Toán học là sản phâm cúa việc trừu tượng hóa từ những đặc điêm của
sổ lượng và hình dạng của các đối tượng. Trong toán học, một số khái niệm được tạo ra bàng cách trừu tượng các đối tượng vật chất cụ thể, trong khi các khái niệm khác được hình thành từ việc trừu tượng hóa các khái niệm đã tôn tại trước đó. Điêu này đôi khi gây khó khăn cho học sinh trong việc hình dung trực quan về những khái niệm này và có thể dẫn đến hiểu lầm về bản chất của
chúng. Do đó, mặc dù học sinh có thê trả lời đúng các câu hởi, nêu rõ các định
lý và công thức... nhưng vẫn có thể gặp khó khăn trong việc áp dụng hiểu biết
đó để giải quyết các bài toán cụ thể.
Kiên thức cơ bản tạo nên tảng, chăng hạn như "bước đệm", đê học sinh
có thể tiếp tục học những kiến thức khoa học phức tạp hơn. Nội dung kiến thức cơ bản cần đáp ứng các yêu cầu chung nhất, có thể linh hoạt áp dụng vào các bài toán cụ thế và trong thực tế. Trong quá trình giảng dạy, kiến thức cơ
52
bản thường bao gôm những khái niệm, định lý, hệ quả và công thức liên quan trực tiếp đến nội dung bài học.
Việc giảng dạy là một sự kết hợp giữa khoa học và nghệ thuật, đòi hởi
sự sáng tạo từ phía giáo viên trong quá trình truyền đạt kiến thức. Sự chuẩn bị thận trọng trước mồi buổi học không chỉ là việc cần thiết mà còn là một nhiệm vụ không thể thiếu đối với giáo viên. Để trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản một cách hiệu quả, giáo viên cần chú ý: Những khái niệm cơ bản
và những đặc điểm đặc trưng của chúng cần được tái diễn trong các buổi học khi có cơ hội; giáo viên cần xác định những khái niệm nào cần được mở rộng
và nâng cao, còn những khái niệm nào chỉ mang tính thông báo cho học sinh; thường xuyên nhấn mạnh những khái niệm quan trọng nhất cho học sinh; sử dụng các hoạt động trong lớp để củng cố kiến thức mới mẻ cho học sinh. Giới thiệu các định lí cơ bản như Định lí Midpoint (Lagrange), Định lí Rolle và Định lí Mean Value (Cauchy), giải thích rõ cách những định lí này liên quan đến đạo hàm và cách chúng có thế được sử dụng đế giải quyết các bài toán cụ thể. Trình bày các quy tắc quan trọng.
c. Ví dụ minh họa
Vỉ dụ 2.9: Trang bị cho học sinh kiến thức về liên hệ các loại ngôn ngừ
Giáo viên trang bị cho học sinh các kiến thức về ngôn ngữ đồ thị, ngôn ngừ hình ảnh, ngôn ngữ kí hiệu, ngôn ngữ lời nói. Việc sử dụng nhiều ngôn ngữ và cách tiếp cận khác nhau giúp học sinh hiểu sâu hơn về khái niệm đạo hàm.
Việc học đạo hàm không chỉ giúp học sinh hiểu về lý thuyết toán học
mà còn giúp họ thấy rằng toán học không phải lúc nào cũng là một dãy số và
ký hiệu khó hiểu. Nó giúp kết nối giữa lý thuyết và thực tế thông qua việc sử dụng ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ hình ảnh và ngôn ngừ kí hiệu.
Việc sử dụng ngôn ngừ hình ảnh và vẽ đồ thị hàm số giúp phát triển kỹ năng thị giác của học sinh. Học sinh có thề thấy mối quan hệ giữa biểu đồ và hàm số, từ đó dễ dàng nhận biết các điểm quan trọng như điểm cực trị, điểm uốn và giới hạn của hàm số.
Việc sử dụng ngôn ngừ kí hiệu có thể giúp học sinh phát triển tư duy
53
sáng tạo. Học sinh có thể tạo ra các biểu đồ và biểu đồ phức tạp để mô phỏng
và khảo sát các hàm số khác nhau, từ đó nắm bắt được sự linh hoạt và đa dạng trong toán học.
Ngôn ngữ thông thường, ngôn ngừ hình ành và ngôn ngừ kí hiệu được
sử dụng để trình bày và giải thích các khái niệm toán học. Việc học cách trình bày ý tưởng và giải thích cho người khác giúp học sinh phát triển kỳ năng giao tiếp hiệu quả.
- Kiến thức về ngôn ngữ đồ thị:
(1) Các dạng đồ thị cùa hàm số bậc 3: y = ưx3 + bx2 + cx + d (a #))
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm 2 phía so với trục Oy khi ac <0
a > o
ĐỐ thị có 2 điéin cực trị
54
ĐÒ thị có 3 điềm cực trị ĐÒ thị cỏ 1 điềm cực trị
a > o
a < o a < o
Đồ thị 4 (2) Các dạng đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương: y = ax' + bx2 + c(a 40)
Khi ad - bc < 0 Khi ad — bc > 0
(3) Các dạng đồ thị của hàm số nhất biến: y = ax + b I X
——— (ab -bc 4 0).
cx + dỵ
- Kiên thức vê ngôn ngữ kí hiệu:
Kí hiệu đạo hàm: Đạo hàm cùa một hàm số/(x) thường được kí hiệu là
f(x) hoặc hoặc Chẳng hạn, nếu f(x) = 2x2, thì f(x)=4x là đạo hàm của
dy
hàm số này.
Kí hiệu • • điểm cực đại• và cực tiểu: • Đe biểu thị • •••các điểm cực đại và cực tiểu trên đồ thị hàm số, ta thường sứ kí hiệu yCĐ để chỉ giá trị cực đại và yCT để
giá trị cực tiểu. Chẳng hạn, hàm số /(x) = 2x’ + 3.C - 6x +10 đạt cực đại tại
__ r 9 9
X = 3, giá trị cực đại là ycĐ = 71; hàm sô đạt cực tiêu tại X = 2, giá trị cực tiêu
55
là yCT ~ 54.
Kí hiệu điểm cực đại và cực tiểu: Để biểu thị các điểm cực đại và cực tiểu trên đồ thị hàm số, ta thường sử kí hiệu yCĐ để chỉ giá trị cực đại và yCT để giá trị cực tiểu. Chẳng hạn, hàm số f (x) = 2x3 + 3x2 - 6x + ÍOđạt cực đại tại X
- 3, giá trị cực đại là yCĐ = 71; hàm số đạt cực tiểu tại X = 2, giá trị cực tiểu là
yci = 54.
Kí hiệu về GTLN, GTNN của hàm số: số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm sổ y = /(x) trên tập D nếu /(%)< M với mọi X e D và tồn tại x0 G D
sao cho/(x0) = M. Kí hiệu: M = max fix}.
D v 7
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = /(x) trên tập D nếu /(x)> m với mọi xe£>và tồn tại x0 e D sao cho /(Xo) = m. Kí hiệu:
m = min f (x).
Kí hiệu Sự Thay Đổi Của Đạo Hàm: Để biểu thị sự thay đổi của đạo hàm trên một khoảng xác định, ta sử dụng ngôn ngừ kí hiệu. Ví dụ, nếu /(x)>0 trên một khoảng a < X < b, thì ta biết rằng hàm số đang tăng trên khoảng đó. Neu/(x)<0 trên khoảng a < X < b, thì hàm số đang giảm.
Ví dụ 2.10: Trang bị cho học sinh dạng toán xác định sự đồng biến và nghịch biến của hàm số y =f(x)
Giáo viên hệ thống cho học sinh các kiến thức cần nhớ sau:
Cho hàm số y = f (x) xác định trên K (K có thể là khoảng (ứ;/?) hay đoạn
5 r ___ r
+ Hàm y = /(x) đông biên (tăng) trên K nêu Vxpx2 e K mà X, < x2 thì
+ Hàm y = f (x) nghịch biên (giảm) trên K nêu Vx1?x2 G K mà < x2
thì /(x1)>/(x2).
- Định lý Lagrange:
56
Nờu hàm sụ y = /(x) liờn tục trờn [ô;Ê>] và cú đạo hàm trờn (a;b)thỡ
5 . 9
tụn tại một điờm ce(a;Ế>) sao cho: /(Ê>)-/(ô) = /'(c)(ờ-c).
- Định lý (điều kiện đủ): Cho hàm số y — fix} có đạo hàm trên khoảng
+ Nếu / '(x) > OVx e (ữ;Ề>) thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.
+ Neu f ’(x) < OVx e (a;Z?) thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
- Định lý (định lý mở rộng):
Cho hàm sốy = /(x) có đạo hàm trên khoảng (ữ;í>) và /'(x) = 0 chỉ
có hữu hạn nghiệm thì:
+ /(x) đồng biến khi và chỉ khi /'(x) > 0
+ /(x) nghịch biến khi và chỉ khi y(x) < 0.
Ví dụ 2.11: Trang bị cho học sinh dạng toán tìm cực trị của hàm số.
Giáo viên hệ thống cho học sinh các kiến thức cơ bản như sau:
Cho hàm số y =f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a-,b) (có thể a là -co; b là +co ) và điểm x0 e (íz;i>).
Neu tồn tại sổ h > 0 sao cho /(x) < /(x0)với mọi xe(x0-/z;x0+/ỉ)
và X Xo thì ta nói hàm số/(x) đạt cực đại tại Xo .
Neu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) > y(x0) với mọi X e(x0 - h;x0 + h}
và X f Xo thì ta nói hàm số f (x) đạt cực tiếu tại Xo .
Điều kiện đủ đê hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y =f(x) liên tục trên
K = (Xo - /ỉ; Xo + /i) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \{x0 }, với h > 0.
Nếu f' (x) > 0 trên khoảng (xo - /ỉ; Xo) và/'(x) < 0 trên (xo ; Xo + h) thì Xo
là một điểm cực đại của hàm sổ/(x).
Neu f ' (x) < 0 trên khoảng (x0 - /i; Xo) và/'(x) > 0 trên (x0 ; Xo + h) thì
Xo là một điểm cực tiểu của hàm sổ/(x).
Minh họa bằng bảng biến thiên:
57
Neu hàm số y = f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại Xo thì Xo được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; /(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) cùa hàm số, kí hiệu là f CĐ (fcr), còn điểm M ( Xo ; f (x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
Cỏc điểm cực• • • đại và cực tiểu được• ô gọi chung là điểm cực trị. Giỏ trị cực • • • đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và gọi chung là cục trị của hàm số.
Ví dụ 2.12: Trang bị cho học sinh xét tỉnh đơn điệu của hàm sổ. Giáo viên hệ thống cho học sinh các kiến thức cơ bản như sau:
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x} xác định trên K. với K là một
khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.
- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu Vxpx2 <eK,x} <x2
58
- Hàm sô y = f (x) nghịch biên (giảm) trên K nêu Vx,,x2 e K, X, 2
Điều kiện cần đê hàm so đơn điệu:
Giả sử hàm số y =/(x) có đạo hàm trên khoảng K.
- Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì /'(x) > 0, V e K.
- Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f '(x) < 0, V e K.
Điều kiện đủ đê hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng K.
- Neu f '(x) > 0, Vx e K, thi hàm số đồng biến trên khoảng K.
- Nếu f'(x) < 0, Vx e K, thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.
- Neu f '(x) = 0, Vx e K, thì hàm số không đổi trên khoảng K.
* Chú ý.
Neu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “Hàm số
y — /(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chắng hạn: Nếu hàm số
y = /(x) liờn tục trờn đoạn [ô;/?] và cú đạo hàm /'(x) >0,Vxe K, trờn khoảng (ô;/?) thỡ hàm số đồng biến trờn đoạn \a-,b .
một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biển trên khoảng K).
Ví dụ 2.13: Trang bị cho học sinh kiến thức về định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến của hàm sổ để làm bài tập.
Các phát biêu sau đủng hay sai, nếu sai sủa lại cho đủng.
a) Hàm số y —fix) đồng biến trên K nếu với mọi cặp X|, x2 thuộc K mà
X| > x2thì /(X1) </(x2)
b) Hàm so y =fx) nghịch biến trên K nếu với mọi cặp X], x2 mà X1 <x2
thì f{xi) >/(x2)
Phát biểu a) và b) đều chưa chính xác. Vì phát biểu a) X! phải nhỏ hơn
59
X2 thì hàm số y =f(x) mới đồng biến. Phát biểu b) thiếu điều kiện X|, X2 phải
thuộc tập K.
- Giáo viên cần giúp học sinh nắm vững bản chất của các khái niệm, tính chất và vận dụng chính xác kiến thức đã học.
Vỉ dụ 2.14. Trang bị cho học sinh kiến thức về các khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: Cho hàm sổy =f(x) xác định liền tục trên tập hợp các so thực
R và có bảng biến thiên:
Bảng biến thiên 7:
X —00 0 2 1 '
ĩ 0 ■■■ 0
y
—00 -2
Một học sinh kêt luận như sau: Hàm sô có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -2.
Giáo viên đặt câu hòi: Kết luận trên có đúng không? Liệu 0 có phải là giá trị lớn nhất của hàm số và -2 cỏ phải là giá trị nhỏ nhất của hàm số hay không? Tại sao?
Trong ví dụ trên, nhiều học sinh không nắm vừng các khái niệm về giá trị lớn nhất, nhở nhất nên vội vàng kết luận rằng hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -2.
Giáo viên cần phân tích cho học sinh ở ví dụ này, học sinh đã áp dụng sai cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số do không nắm vững các khái niệm về cực đại, cực tiểu, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Giáo viên cần cũng cố lại cho học sinh khái niệm cực trị (cực đại, cực tiểu) của một hàm số xỏc định trong một khoảng (ô; /?).
Giáo viên hướng dẫn lại phương pháp tìm giá trị cực đại và cực tiểu cúa
9 □
một hàm sô. Giáo viên lưu ý học sinh phân biệt rõ tên gọi: điêm cực tiêu X - c của hàm số; giá trị cực tiểu/(c) của hàm số; điểm cực tiểu (c;/(c)) của đồ thị hàm số.
60
Giáo viên đặt câu hỏi cho học sinh:
Tại điểm X = 0, dấu của đạo hàm thay đổi như thế nào?
Tại điểm X = 2, dấu của đạo hàm thay đổi như thế nào?
Lúc này học sinh sẽ nhìn vào bảng biến thiên và trả lời được câu hỏi:
Tại điểm X = 0, dấu của đạo hàm chuyển từ “+” sang nên hàm số đạt
cực đại tại X - 0.
Tại điểm X = 2, dấu của đạo hàm chuyển từ sang “+” nên hàm số đạt cực tiểu tại X = 1.
Ví dụ 2.15. Trang bị cho học sinh tinh chất của hàm số đồng biến,
nghịch biến đê làm bài tập: Chứng minh rằng, nếu với tứeP, X > -1 thì xeỵ >
-1
e
Các em học sinh hay mắc sai lầm ở dạng này là không nắm vững các tính chất của hàm số đồng biến, nghịch biến. Học sinh vội vàng cho rằng các
hàm/(x) = X và g(x) = ex đồng biến nên tích của hai hàm số đồng biến là một
1 \ A 4. Á 1 • A ,4 \ 4- f 1 A J f .♦ • /K • ? • J r •
hàm sô đông biên từ đó dân tới việc giải toán sai.
Trước khi học sinh làm bài, giáo viên cần củng cố lại cho học sinh các tính chất của hàm số đồng biến, nghịch biến, từ đó biết sử dụng tính chất: tích cùa hai hàm số đồng biến là một hàm số đồng biến chỉ đúng khi hai hàm số
đó dương. Đế có lời giải chính xác, học sinh cần xét tới tính dương của các
hàm nhân tử.
Xét hàm số/(x) = xể', ta cổ f(x) - e'(x+l). Suy ra hàm sổ đồng biến
trên nửa khoảng [-1; +oo). Từ X > -1, suy ra /Cv) >/(-1) hay xe' > —
e