CHƯƠNG 2. BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH TRƯỜNG CAO ĐẢNG NGHỆ THUẬT HÀ NỘI TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ÚNG DỤNG ĐẠO HÀM
2.3. Một số biện pháp khắc phục sai lầm của học sinh trong dạy học chủ đề ứng dụng đạo hàm đe khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ở trường Cao đẳng Nghệ thuật Hà Nội
2.3.4. Biện pháp 4: Rèn luyện cho học sinh với những bài toán có thể xuất hiện lời giải chứa sai lầm
a. Mục đích của biện pháp'.
Mục tiêu của việc rèn luyện học sinh với các bài toán có thể chứa lời
73
giâi không chính xác là khuyến khích phát triển các kỳ năng suy luận, logic và sáng tạo, đồng thời thúc đẩy khả năng kiểm tra, phản biện và học hỏi từ sai lầm. Điều này giúp học sinh nâng cao ý thức về sự quan trọng của tính chính xác, cẩn trọng trong quá trình giải quyết vấn đề và phát triển khả năng xử lý các tình huống thực tế phức tạp.
Bằng cách đặt học sinh trước các bài toán chứa sai lầm hoặc thông tin không chính xác, mục tiêu là khuyến khích các em phát hiện và sửa chừa những sai sót này. Điều này giúp học sinh phát triển khả năng phân
biệt giữa thông tin đúng và sai và tăng cường kỹ năng phân tích. Việc sử dụng các bài toán chứa sai lầm là một cách hiệu quả để rèn luyện kỳ năng tư duy, khuyển khích tư duy phản biện và thúc đẩy sự phát triển cá nhân của học sinh trong quá trình học tập.
b. Nội dung và cách thực hiện biện pháp'.
Khi học sinh gặp phải sai lầm trong quá trình giải bài tập của mình, ngoài cách giáo viên chỉ ra lỗi sai và cung cấp giải pháp chính xác, còn có thế tạo cơ hội cho học sinh thảo luận, trao đồi thông tin về bài giải và xác định sai lầm. Điều này không chỉ giúp học sinh thực hiện tự nhận ra sai lầm của mình
mà còn giúp học sinh khác học được từ những sai lầm đó. Khi học ứng dụng đạo hàm trong khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, học sinh thường mắc các lồi như: sai lầm trong việc tính đạo hàm, không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số, không nắm vững điều kiện đế hàm số đơn điệu trên một khoảng... Tạo cơ hội để học sinh tự phát hiện lồi hoặc tham gia trong nhóm để cùng nhau tìm ra sai lầm sẽ đồng thời giúp học sinh hiểu sâu hơn và ghi nhớ kiến thức một cách toàn diện.
Một số tình huống mà giáo viên sử dụng để tăng cường kiến thức cho học sinh là thông qua thảo luận nhóm, nhằm tìm kiếm và sửa chữa các sai lầm trong lời giải. Trong quá trình thảo luận, mồi học sinh đều có vai trò bình
74
đẳng, có thể đưa ra đề xuất hoặc bất đồng để xác nhận kiến thức và tiến đến kết quả cuối cùng.
Đe đạt hiệu quả tốt trong các hoạt động thảo luận nhóm của học sinh, giáo viên cần khởi đầu bằng việc xây dựng các tình huống gợi mở, khuyến khích sự hợp tác, trao đối và tranh luận giữa học sinh.
Sau quá trình tìm hiểu và áp dụng vào thực tế, chúng tôi đã xác định 5 bước để thiết kế tình huống gợi ra vấn đề, tạo cơ hội cho học sinh thảo luận trong hoạt động tìm kiếm và khắc phục sai lầm khi giải toán như sau:
Bước 1: Chọn loại hình học sinh thường mắc sai lầm:
Giáo viên cần xem xét kỹ lưỡng và chọn lọc loại sai lầm mà học sinh thường mắc phải nhiều nhất, sau đó sửa chữa những sai làm này một cách tận tâm để giúp học sinh củng cổ kiến thức đã học.
Bước 2: Lựa chọn nội dung đê thảo luận:
Giáo viên xác định nội dung sẽ thảo luận để khắc phục sai lầm đó.
Bước 3: Thiết kế phiếu thảo luận hao gồm tình huống thảo luận:
Trong việc lập kế hoạch phiếu thảo luận, giáo viên cần đề ra những tình huống mà dự kiến sẽ thúc đẩy học sinh suy nghĩ và tư duy. Đồng thời, cần đưa ra một số câu hỏi kích thích tạo ra tình hứng, khơi gợi vấn đề.
Bước 4: Tô chức thảo luận:
Khi tổ chức thảo luận, giáo viên yêu cầu học sinh tự suy nghĩ về vấn đề được đặt ra, nghiên cứu các câu trả lời, sau đó tổ chức thảo luận theo nhóm và đại diện mồi nhóm sẽ trình bày kết quả của cuộc thảo luận. Sau đỏ, giáo viên
sẽ tiến hành nhận xét sau phần thảo luận của từng nhóm.
Bước 5: Giáo viên tông kết kiến thức vừa học:
Khi các nhóm kết thúc cuộc thảo luận, giáo viên nên tống kết và cô đọng lại kiến thức đã học được. Tuy nhiên, giáo viên cần chú ý rằng không nên tập trung vào các sai lầm mà học sinh đã mắc phải, mà thay vào đó, cần tập trung sâu vào những kiến thức học sinh đã nắm bắt được từ những sai lầm
75
c. Ví dụ minh họa.
Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
Ví dụ 2.25: Cho hàm số y = X4 + mx + 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m đê hàm số đạt cực tiểu tại X = 0.
Giáo viên có thể tổ chức hoạt động dạy học cho học sinh như sau:
Bước 1: Chọn sai lầm (sai lầm về xét thiếu trường họp).
Bước 2: Chọn nội dung để thảo luận (Tìm tất cả các giá trị của tham số
m để hàm số đạt cực tiểu tại X = 0).
Bước 3: Thiết kế phiếu thảo luận chửa đựng tình huống thảo luận.
Thiết lập tình huống thảo luận:
- Giáo viên: Một bạn học sinh giải bài toán này như sau:
Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại X = 0 là: y’(0) = 0 và y”(0) > 0
Vô nghiệm m.
Vậy không tồn tại giá trị m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại X = 0.
Hãy cho biết lời giải trên đúng hay sai? Sai ở đâu?
Dự kiến cách suy nghĩ của học sinh và một số câu hỏi gợi vấn đề: giáo viên mong đợi học sinh sẽ tìm ra được nguyên nhân tại sao không tồn tại giá trị m đế hàm số đã cho đạt cực tiểu tại X = 0 chính là xuất phát từ việc học
sinh chỉ xét trường hợp y”(0) > 0. Tuy nhiên, có những trường hợp học sinh không tìm thấy nguyên nhân, khi đó, giáo viên cần gợi ỷ cho học sinh về
“điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại X = 0?” và nếu y”(0) = 0 thì ta cần lập bảng biến thiên.
Bước 4: giáo viên cho các nhóm cùng thảo luận, chia sẻ thông tin với nhau; mỗi nhóm sẽ trình bày trước lớp về vấn đề mà nhóm mình đã thảo luận, giáo viên đóng vai trò là người tố chức và có sự hỗ trợ học sinh khi cần thiết.
76
- Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích bài toán như sau:
Ta thấy, với m = 0 thì hàm số y = X4 + 1 có y' = 4.X3; y’ = 0 <=> X = 0
- Giáo viên: Lời giải đúng của bài toán trên như thê nào?
9 r
- Học sinh: Đê hàm sô đạt cực tiêu tại X - 0 thì y'(x) <0 khi X <0 (1)
y'(x) > 0 khi X > 0 (2)
Từ (2) ta có:
Từ (3) và (4) suy ra m - 0.
Vậy với m = 0 hàm số đã cho đạt cực tiểu tại X - 0.
Bước 5: Sau khi kết thúc thảo luận, giáo viên có thể ôn tập lại một số kiến thức quan trọng cho học sinh:
Neu /”(x0) > 0 thì hàm số/(x) đạt cực tiểu tại điểm Xo.
Nếu /”(x0) = 0 thì hàm Số /w đạt cực tiểu tại điểm Xo ta chưa thể kết luận và cần phải lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm đế xét sự
biến thiên của hàm số.
< r ? r 3
Ví dụ 2.26. Tìm tãt cả các giá trị của tham sô m đê hàm sô: y = X - mx2+ X - 1 đồng biến trên p.
77
Một học sinh giải bài toán như sau:
TXĐ: D = p.
Ta có: y' = 3x2 - 2mx
Để hàm số đồng biến trên p
3>0 r- r-
-5/3 <m<y/3.
m2 — 3m < 0
Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là sử dụng quy tắc 1 để xét tính đơn điệu của hàm số mà các em quên rằng đó là điều kiện đủ chứ chưa phải điều kiện cần.
Lời giải đúng:
9 r > r
Đê hàm số đồng biến trên p 0
Sai lầm khi giải các hài toán liên quan tới giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 2.27: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm sổ:
y = /(%) = cos2x + 1
cos2 X + 2 COSX + cosx 7 Giáo viên có thể tổ chức hoạt động dạy học cho học sinh như sau:
Bước 1: Chọn sai lầm (sai lầm về chuyển bài toán không tương đương). Bước 2: Chọn nội dung để thảo luận (Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số)
Bước 3: Thiết kế phiếu thảo luận chứa đựng tình huống thảo luận.
Thiết lập tình huống thảo luận:
- Giáo viên: Một bạn học sinh giải bài toán này như sau:
78
Đặt t = cosx + —-— => cos2 X + ——— = r - 2.
cosx cos’ X
Ta được hàm số g(ộ = r +2í-3 = ợ + 1) — 4>-4,Ví.
Vậy min/(x) = - 4 khi t = - 1.
Hãy cho biết lời giải trên đúng hay sai? Sai ở đâu?
Dự kiến cách suy nghĩ của học sinh và một số câu hỏi gợi vấn đề: giáo viên mong đợi học sinh sẽ tìm ra được nguyên nhân sai lầm chính là xuất phát
từ việc học sinh đã chuyến hàm/(x) và g(7) thành hai hàm tương đương nhau. Tuy nhiên, có những trường hợp học sinh không tìm thấy nguyên nhân, khi
đó, giáo viên cần gợi ý cho học sinh về “Giá trị nhỏ nhất của hàm/(x) có trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm g(r) không?” Khi t = -1 có tồn tại giá trị của
X không?
Bước 4: giáo viên cho các nhóm cùng thảo luận, chia sẻ thông tin với nhau; mồi nhóm sẽ trình bày trước lóp về vấn đề mà nhóm mình đã thảo luận, giáo viên đóng vai trò là người tổ chức và có sự hồ trợ học sinh khi cần thiết.
- Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích bài toán như sau:
Giá trị nhỏ nhất của hàm /(x) không trùng với GTNN cùa hàm g(í),
VíeP.
Có thể thấy ngay khi t = -1 thì không tồn tại giá trị X.
- Giáo viên: Lời giải đúng của bài toán trên như thế nào?
1 . , 1 , „
- Học sinh: Đặt ĩ = cosx + —-— => cos X + —“ = t - 2.
cosx cos X
Suy ra cos2 X ■+---- — = r - 2.
cos X Khi đó/(x) trở thành g(í) với g(í) = t2 + 2t - 3.
Ta có: min /(x) = min g (r)
2 IT2
Lập bảng biến thiên của hàm g(í), với t > 2.
Bảng biên thiên 12:
Dựa vào băng biên thiên ta suy ra: min /'(x) = ming(/) =-3.
xXfcr l'b2
2
Khi t = -2 <=> cosx 4—-— = -2 <=> cosx = -1 <=> X = 7Ĩ 4- k2ĩĩ.
cos.r Bước 5: Sau khi kết thúc thảo luận, giáo viên có thể ôn tập lại một số kiến thức quan trọng cho học sinh:
Có thể biểu diễn hàm/(x) dưới dạng hàm g(í).
Sau khi tìm được giá trị t không tồn tại giá trị của X thì lúc này ta phải lập bảng biến thiên đối với hàm g(r).
Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm:
Ví dụ 2.28. Trang bị cho học sinh kiến thức về đạo hàm đê giải bài tập: Tính đạo hàm của hàm số: y = (2x + /)'.
Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là vội vàng áp dụng công thức
1 (w“) 1 = a.u.u’, a eP, vận dụng như vậy là sai, vì công thức này chỉ áp dụng cho số mũ a là một hằng số.
Do đó, trước khi học sinh làm bài, giáo viên củng cố lại cho học sinh kiến thức về cách tính đạo hàm với số mũ a. Như vậy học sinh sẽ nhận diện được trường hợp số mũ a chưa chắc chắn là một hằng số thì các em sẽ tránh được việc áp dụng công thức trên. Lúc này các em sẽ biết áp dụng công thức
80
cho đúng:
Sai lâm khi giải các bài toán viêt phương tình tiêp tuyên:
Ví dụ 2.29: Cho hàm số /(x) = -X3 + 3x2, có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến đỏ đi qua điểm A(-l;4).
Giáo viên có thể tổ chức hoạt động dạy học cho học sinh như sau:
Bước 1: Chọn sai lầm (sai lầm về việc xét thiếu trường hợp).
Bước 2: Chọn nội dung đế thảo luận (Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm).
Bước 3: Thiết kế phiếu thảo luận chứa đựng tình huống thảo luận.
Thiết lập tình huống thảo luận:
- Giáo viên: Một bạn học sinh giải bài toán này như sau:
Điểm Â(-l,4)e(C). Suy ra phưcmg trình tiếp tuyến là:
y =/(-l)(x+l) + 4 = -9(x+l) + 4 hay y = -9x - 5.
Hãy cho biết lời giải trên đúng hay sai? Sai ở đâu?
Dự kiến cách suy nghĩ của học sinh và một số câu hỏi gợi vấn đề: giáo
viên mong đợi học sinh sẽ tìm ra được nguyên nhân tại sao y = -9x - 5 không phải là phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A, do đang mặc định A là tiếp
điểm, nhưng vẫn có thể có tiếp tuyến của (C) đi qua A mà không nhận A làm tiếp điểm. Tuy nhiên, có những trường hợp học sinh không tìm thấy nguyên nhân, khi đó, giáo viên cần gợi ý cho học sinh về “(C) đi qua A có nhất thiết
phải nhận A làm tiếp điểm hay không?”
Bước 4: giáo viên cho các nhóm cùng thảo luận, chia sẻ thông tin với nhau; mỗi nhóm sẽ trình bày trước lớp về vấn đề mà nhóm mình đã thảo luận. Giáo viên đóng vai trò là người tổ chức và có sự hồ trợ học sinh khi cần thiết.
81
- Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích bài toán như sau:
___ 9 r
Phương trình đường thăng ả đi qua A(-l;4), có hệ sô góc k là: y = k(x+l) + 4.
Điều kiện để đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) là:
Bước 5: Sau khi kết thúc thảo luận, giáo viên có thể ôn tập lại một số kiến thức quan trọng cho học sinh:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y =/(x) tại điểm M(x0, y0)- Phương pháp:
Bước 1: Tính đạo hàm y’ =f(x) => hệ số góc tiếp tuyến k - y\xò).
' - - r r 7
Bước 2: Phương trình tiêp tuyên cùa đô thị (C): y =f(x) tại diêm M(xo, yo) có dạng: y=y ’(xữ)(x - Xo) + y-
82
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Trong chưong 2 của luận văn, tác giả đã chỉ ra mục tiêu, đặc điềm, vai trò của môn Toán trung học phổ thông ở trường Cao đẳng Nghệ thuật Hà Nội, chỉ ra mối liên quan ngôn ngừ đồ thị và ngôn ngữ biểu thức và công thức trong mô tả hàm số. Qua đó, đề xuất các định hướng và 4 biện pháp sư phạm giúp học sinh trường Cao đẳng Nghệ thuật Hà Nội phát hiện và sửa chữa những sai lầm thường gặp khi giải các bài toán về chủ đề ứng dụng đạo hàm bao gồm:
Trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản về chủ đề ứng dụng của đạo hàm trong khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Phân loại các dạng toán và phương pháp giải từng dạng toán về chủ đề
ứng dụng của đạo hàm
Rèn luyện cho học sinh với những bài toán có chứa sai lầm Các biện pháp sẽ được thực nghiệm để khắng định tính khả thi trong chương 3 của luận văn.
83