TRÚC VÔ ĐỊNH HÌNH
4.3. Sự phụ thuộc của hiệu ứng từ-điện vào tần số kích thích
4.3.3. Tính toán lý thuyết quy luật phụ thuộc tân số
Dé giải thích cho hiện tượng hệ số thé từ-điện phụ thuộc vào tan số của từ trường xoay chiều (cộng hưởng tần số), mô hình về dao động một chiều và hai
chiều đó được sử dụng [1,9,10]. Cỏc mụ hỡnh này khụng chỉ giải thớch rất rừ ràng hiện tượng cộng hưởng tần số trên các mẫu vật liệu tô hợp từ-điện đã khảo sát ma
còn được dùng dé tính toán, thiết kế cấu hình vật liệu tô hợp tương lai theo yêu
câu thực tiên.
4.3.3.a. Mô hình dao động một chiêu
Xét bài toán dao động một chiều trên sợi dây đàn hồi với điều kiện là các biên gắn chặt thì phương trình truyền sóng trên dây có dạng:
84
8u 0?u (4.1)
ôx2— pears 901)
Trong đó:
-u =u(x,Ð là dao động tại vị trí x ở thời điểm t.
- v là vận tốc truyền biến dạng trên dây.
- g(x,t) là mật độ ngoại lực tác dụng lên dây tại vi tri x.
Dé giải được nghiệm tường minh thì cần có điều kiện ban đầu và điều
kiện biên.
Điều kiện biên được sử dụng là điều kiện hai đầu dây gắn chặt. Đặt hệ trục tọa độ như hình 4.12, trong đó L là chiều dài của sợi dây, biểu thức toán học của điều kiện biên là:
u(0,t) = u(L,t) = 0 (4.2)
Điêu kiện ban dau — hình dạng ban dau của sợi dây - được mô tả bởi hàm sô f(x) và van toc ban dau của các điêm trên dây được mô tả bởi hàm sô F(x). Ta
co:Z
u(x,0) = f(x) ; = F(x)
x L
Hình 4.12: Hệ toa độ cho bài toán truyền sóng mot chiêu
85
Ta giải phương trình truyền sóng một chiều với các điều kiện biên và ban đầu bằng phương pháp Fourier trong trường hợp không có ngoại lực tác động hoặc có ngoại lực nhưng rất nhỏ so với các lực liên kết khác (g(x,Ð = 0). Nghiệm
của phương trình có dạng là:
“` am ra
Như vậy có thể thấy rằng: sóng trên dây là sự chồng chập của vô số các
sóng hình sin với các tân sô là bội của tân sô cơ bản f = 0/2.
Như vậy với một sợi dây dài L, có vận tốc truyền sóng trên dây là v thì dây có vô số các tần số dao động riêng. Tần số dao động riêng nhỏ nhất ƒ = 0/2L được gọi là tần số cơ bản, các tần số khác có giá trị bằng số nguyên lần giá trị tần số cơ bản được gọi là họa âm.
Theo lý thuyết dao động sóng [96], nếu có ngoại lực tuần hoàn tác dụng thì dao động trên sợi dây là dao động cưỡng bức. Khi đó tan số dao động của sợi dây là tần số dao động của ngoại lực cưỡng bức. Biên độ dao động cưỡng
bức có dạng:
Fo (4.5)
mal (we — 92)? + 462.0?
Biên độ của dao động cưỡng bức dat giá tri lớn nhất (cộng hưởng ly độ)
A=
khi tân số của ngoại lực có giá trị: O = œ£ — 2£?. Nêu coi lực cản của môi
trường là đủ nhỏ (Ê ô 1) thỡ giỏ tri ~ wo (tõn sụ của ngoại lực gan băng tan sụ dao động riêng của sợi dây)
Từ các kết quả tính toán lý thuyết của quá trình truyền sóng trên sợi dây, chúng ta có thê giải thích chính xác các kết quả thu được về sự ảnh hưởng của kích thước của vật liệu từ-điện hình chữ nhật đến tần số cộng hưởng
Thật vậy, với các mẫu hình chữ nhật ta có thé coi đó như một soi dây với chiều dài L là chiều dài của hình chữ nhật. Khi đó ta có thể bỏ qua dao động theo phương dọc theo chiều rộng. Do đó, các mẫu hình chữ nhật có chiều dài như
86
nhau nhưng chiều rộng khác nhau có cùng một tần số cơ bản, vì vậy chúng cùng cộng hưởng tại những giá trị tan số giống nhau. Nhận xét trên rất phù hợp với kết quả thực nghiệm thu được. Theo lý thuyết trên khi một mẫu hình chữ nhật có
chiều dai là L thì tan số dao động cơ bản là:
_v (4.6)
f= 2L
Sử dung biểu thức trên kết hợp với kết quả thực nghiệm xác định tần số cộng hưởng trên các mẫu hình chữ nhật, giá trị vận tốc truyền sóng trên vật liệu
áp điện PZT đã được ngoại suy với giá trị v ~ 2800 (m/s)
Cũng theo lý thuyết về sóng cơ học [96] thì vận tốc truyền pha trong chất
răn được xác định bởi công thức:
(4.7)
Trong đó:
* E là suất Young theo phương truyền sóng
* p là mật độ khối của vật liệu
Tu thông sỐ kỹ thuật của vật liệu PZT (APCC - 855) do nhà sản xuất cung cấp [104] chúng ta có:
* Ei, = 5,9.10'° (N/m?) là suất Young theo phương 11
* 5 = 7,6 (g/cm”) là mật độ khối lượng của PZT (APCC - 855)
Vì vậy có thé tính được vận tốc truyền pha trong vật liệu PZT (APCC -
855) là: v = 2786 (m/s).
Kết quả tính toán vận tốc truyền sóng trên vật liệu áp điện PZT từ kết qua thực nghiệm phù hợp với kết quả thu được từ các thông số do nhà sản xuất cung cấp (hình 4.13). Do đó có thể kết luận rằng: mô hình truyền sóng một chiều là phù hợp với các vật liệu tô hợp từ-điện có dạng hình chữ nhật (chiều dai lớn hơn
chiêu rộng).
87
Mô hình này không chỉ giải thích được hiện tượng cộng hưởng tần số của các vật liệu tô hợp hình chữ nhật, tính toán được tần số cộng hưởng của chúng mà còn được dùng để giải thích cho hiện tượng có nhiều đỉnh cộng hưởng khác
với đỉnh cộng hưởng chính và các đỉnh cộng hưởng phụ này có độ lớn nhỏ hơn rât nhiêu so với đỉnh cộng hưởng chính.
nNx=
bal n n=
1004 5,9 9
504 Ly thuyét
n Thực nghiệm
0+3 ~ T + T + T l 1
0 5 10 15 20
L (mm)
Hình 4.13: So sánh tan số cộng hưởng thu được từ thực nghiệm với mô phỏng lý thuyết của các mau hình chữ nhật có cùng chiêu dai
ZaS
0 50 100 150 200 250
f (KHz) 80
ao
>° 1 -9:9-*-£uˆ-oteeese.
ag (Vicm.Oe) nNo
Hình 4.14: Các đỉnh cộng hưởng của mẫu hình chữ nhật tương ứng với các trang
thái dao động khác nhau
Thực vậy, nghiệm của phương trình truyền sóng là chồng chập của vô số sóng hình sin có tần số f, = k. (v/2L) (k = 1: ứng với trường hợp tần số cơ bản, k > 1: ứng với trường hợp tan số của các họa âm). Cộng hưởng với âm cơ ban luôn có biên độ lớn nhất, cộng hưởng với hoa âm thì có biên độ nhỏ hơn rat nhiều so với cộng hưởng của âm cơ bản. Vì vậy hiện tượng cộng hưởng tần số
88
trên vật liệu tổ hợp có dạng hình chữ nhật có nhiều đỉnh cộng hưởng, trong đó có một đỉnh cộng hưởng lớn nhất ứng với cộng hưởng của âm cơ bản và các đỉnh
cộng hưởng khác nhỏ hơn là ứng với cộng hưởng của các họa âm (hình 4.14).
4.3.3.b. Mô hình dao động hai chiêu
Từ kết quả thực nghiệm được chỉ ra trong hình 4.11 thấy rằng: tần số cộng hưởng của mẫu hình vuông 15x15 mm lớn gap 1,4 lần tần số cộng hưởng của các mẫu hình chữ nhật có cùng chiều dài L = 15 mm. Như vậy mô hình dao động một chiều chỉ có thé giải thích tốt cho các mẫu hình chữ nhật mà không thé sử dụng cho các mẫu hình vuông được. Do đó mô hình dao động hai chiều được sử
dụng dé giải quyết van dé tan số cộng hưởng của các mẫu hình vuông.
Xét một màng mỏng hình chữ nhật có kích thước LxW, có biên được gắn chặt. Ta có phương trình truyền sóng trên màng mỏng là:
0 ?wua 0?u ô0”u (4.8)
Trong đó:
-u=u(x,y,t) là dao động tại vi trí (x,y) ở thời điểm t.
- v là vận tốc truyền biến dạng trên màng
- g(x, y,t) là mật độ ngoại lực tác dụng lên dây tai vi trí (x,y)
Dé giải được nghiệm tường minh chúng ta cân có điêu kiện ban đâu va điêu kiện biên
Hình 4.15: Hệ toa độ cho bài toán truyền sóng hai chiêu
89
Điều kiện biên được sử dụng là các biên của hình chữ nhật được gắn chặt.
Đặt hệ trục tọa độ như hình 4.15, trong đó L và W là chiều dài và chiều rộng của màng mỏng, chúng ta có biểu thức toán học của điều kiện biên là:
u(0, y,£) = u(L,y,t) = u(x, 0,t) = u(x,W,t) = 0
Điêu kiện ban đâu: hình dạng ban đâu của màng mong được mô tả bởi hàm sô f(x,y) và vận toc ban dau của các điêm trên màng mỏng được mô tả bởi hàm sô F(x,y). Ta có:
du(x, y, 0)
u(x,y,0) = f(x,y) , at = F(x,y)
Ta giải phương trình truyền sóng hai chiều với các điều kiện biên va điều kiện ban đầu trên bằng phương pháp Fourier trong trường hợp không có ngoại lực tác động hoặc có ngoại lực nhưng rất nhỏ so với các lực liên kết khác
(g(x,y,t) = 0). Nghiệm của phương trình truyền sóng hai chiều là:
u(x, y,t) = ằ Umn (x, t) =
(4.9)
_ mmx, „ ynmy m2 m2
= ằ Gmn- sin (—) .Sn t7) .C0S | 0.11. Tz + we’ t+ Qmn
Như vậy có thé thấy rang sóng trên màng mỏng là su chồng chập của vô
sô các sóng hình sin với các tân sô:
(4.10)
trong đó: v là vận tốc truyền sóng, L và W là kích thước của màng và m, n là các số nguyên dương.
Trong trường hợp mẫu hình vuông (L = W) thì tần số cơ bản ứng với đỉnh cộng hưởng lớn nhất là ƒ¡; = vV2/2L. Giá trị tần số cộng hưởng trong trường hợp mẫu vuông gấp V2 lần giá trị tan số cộng hưởng của mẫu hình chữ nhật có cùng chiều dài. Ngoài đỉnh cộng hưởng chính (với giá tri m = n = 1) thì còn rất
90
nhiều đỉnh cộng hưởng khác (m= 1 và n= 2,m = 2 và n= 1,m=n =2...) nhỏ
hơn . Các đỉnh cộng hưởng này tương ứng với các trạng thái dao động khác nhau
(hình 4.16).
Sự phù hợp của tần số cộng hưởng thu được từ lý thuyết với thực nghiệm được thé hiện trong hình 4.17.
Hình 4.16: Trạng thái dao động hai chiều của màng mỏng với các giá trị (m, n)
khác nhau
rd a o o
a, (VIcm.Oe) Ss
Hình 4.17: Các đỉnh cộng hưởng và sự tương ứng với các trạng thái dao động
9]
Kết quả thực nghiệm cho thay mẫu hình vuông (kích thước 25x25 mm) có hai đỉnh cộng hưởng. Đỉnh cộng hưởng chính (cường độ lớn hơn rất nhiều so với đỉnh kia) có tan số cộng hưởng tương ứng với trạng thái dao động cơ bản (m =n
= 1). Đỉnh cộng hưởng thứ hai có tần số cộng hưởng ứng với trạng thái dao động
của họa âm (m = 2,n= | hoặc m= 1, n =2).
Đề làm rừ hơn sự phự hợp của lý thuyết với thực nghiệm, sự so sỏnh tan số cộng hưởng chính của các mẫu có kích thước khác nhau thu được từ lý thuyết và từ thực nghiệm được thể hiện trong hình 4.18.
500
Lý thuyết
0 r T x T r T r T T T x 1 0 5 10 15 20 25 30
L (mm)
Hình 4.18: So sánh tan số cộng hưởng chính của mẫu hình vuông thu được từ lý thuyết và thực nghiệm
Kết quả cho thấy sự phù hợp rất tốt giữa kết quả thu được từ thực nghiệm với lý thuyết. Các kết quả so sánh trên đã chỉ ra rằng lý thuyết về phương trình truyền sóng hai chiều là phù hợp cho việc giải thích tần số cộng hưởng của các
mẫu hình vuông.
Với cả lý thuyết về phương trình truyền sóng một chiều và hai chiều, hiện tượng cộng hưởng trên các mẫu hình chữ nhật và mẫu hình vuông đã được giải thích một cách đầy đủ và chính xác. Ý nghĩa của việc mô phỏng này không chỉ là việc giải thích hiện tượng mà còn có ý nghĩa vô cùng to lớn trong việc thiết kế
chê tạo cảm biên từ trường. Với việc có thê xác định chính xác tân sô cộng
92
hưởng của các mẫu với hình dạng và kích thước khác nhau cho phép việc thiết kế hình dạng vật liệu theo yêu cầu thực tiễn.
Các kết quả thực nghiệm trên được giải thích nhờ bài toán truyền sóng hai chiều và tần số cộng hưởng ứng với các trạng thái dao động khác nhau (xem 3.3.1). Với các mẫu hình vuông có kích thước L thì tần số cộng hưởng có dạng:
fon = ee (m5 et (4.11)2.1
Trong đó: v là vận tốc truyền sóng của PZT, L là kích thước của mẫu, m
và n là các sô nguyên dương tương ứng với các kiêu khác nhau của dao động.
Từ biểu thức xác định tan số cộng hưởng của mẫu hình vuông có thé chỉ
ra rang: tân sô cộng hưởng chính (ứng với m = n = 1) tỷ lệ nghịch với kích thước
mẫu, có nhiều tần số cộng hưởng khác nhau (ứng với m, n khác nhau) nhưng tần số cộng hưởng chính luôn làm cho hiện tượng cộng hưởng mạnh nhất.
Các kết luận rút ra từ thực nghiệm và từ lý thuyết hoàn toàn trùng khớp nhau cho thấy lý thuyết này hoàn toàn có thê được sử dụng để giải thích các hiện tượng cộng hưởng xảy ra trên vật liệu tổ hợp từ-điện dang đa lớp hình vuông.
Các kết luận rút ra từ thực nghiệm đối với tần số cộng hưởng của mẫu hình chữ nhật có cùng chiều dài được giải thích thông qua bài toán truyền sóng một chiều và tần số cộng hưởng của nó (xem 3.3.1). Với trường hợp này, dao động trên màng được coi là chỉ xảy ra theo phương chiều dài và tần số cộng hưởng có
dạng:
f= ne (4.12)
Trong đó: v là vận tốc truyền sóng của PZT, L là chiều dài mẫu, n là số nguyên dương tương ứng với kiểu dao động khác nhau.
Biêu thức xác định tân sô cộng hưởng cho thây tân sô cộng hưởng chỉ phụ
thuộc vào chiều dài của mẫu, tần số cộng hưởng chính (ứng với n = 1) nhỏ hơn tần số cộng hưởng chính của mẫu hình vuông V2 lần, có nhiều tần số cộng hưởng
93
ứng với các giá trị n khác nhau nhưng hiện tượng cộng hưởng xảy ra mạnh nhất
ứng với tân sô cộng hưởng chính.
Các kết luận rút ra từ thực nghiệm và từ lý thuyết hoàn toàn trùng khớp nhau cho thấy lý thuyết này hoàn toàn có thé được sử dụng để giải thích các hiện tượng cộng hưởng xảy ra trên vật liệu tổ hợp từ-điện dạng đa lớp hình chữ nhật.
Bài toán truyền sóng hai chiều và một chiều không chỉ giúp cho việc giải thích chính xác các kết luận thu được từ thực nghiệm mà còn cho phép tính toán kích thước vật liệu tổ hợp tương ứng với tần số cộng hưởng cho trước. Điều này là vô cùng cần thiết cho việc thiết kế kích thước vật liệu và mạch điện tử của cảm biến
từ trường.