TÍNH TOÁN THIẾT KẾ CẮT VÀ XOẮN
3. Mô hình thiết kế theo mặt cắt
Đặc điểm của các dầm cầu điển hình là mảnh và lý thuyết uốn có thể được sử dụng để mô tả quan hệ giữa các ứng suất, biến dạng, đặc trưng của mặt cắt và lực tác dụng. Các dầm BTCT thường được thiết kế đối với mô hình phá hoại uốn tại vị trí có mô men lớn nhất. Tuy nhiên, dự trữ về uốn này có thể không được khai thác nếu xảy ra sự phá hoại cắt sớm do kích thước và cốt thép sườn dầm không đủ. Để đánh giá sức kháng cắt của các dầm cầu điển hình, AASHTO sử dụng Mô hình thiết kế theo mặt cắt trên cơ sở Lý thuyết trường nén sửa đổi được xây dựng bởi Collins và Mitchell. Mô hình này đảm bảo sự cân bằng nội lực và sự tương thích biến dạng và sử dụng các đường cong ứng suất-biến dạng được xác định bằng thực nghiệm đối với cốt thép và bê tông nứt nghiêng. Cơ sở và chi tiết của mô hình thiết kế theo mặt cắt có thể tham khảo tài liệu của Vecchio và Collins (1986, 1988) cũng như của Collins và Mitchell (1991).
Sức kháng của các cấu kiện chịu cắt hoặc chịu cắt kết hợp với xoắn được xác định trên cơ sở thoả mãn các điều kiện cân bằng và tương thích về biến dạng và bằng cách sử dụng quan hệ ứng suất - ứng biến đã được kiểm nghiệm bằng thí nghiệm đối với cốt thép và bê tông bị nứt chéo.
Phương pháp này áp dụng cho các vùng của một cấu kiện, có thể phù hợp với giả thiết mặt cắt vẫn phẳng sau khi đặt tải.
Tải trọng gần gối được truyền trực tiếp vào gối thông qua tác dụng vòm chịu nén mà không gây ra các ứng suất phụ trong các cốt đai.
Khi phản lực trên hướng lực cắt tác dụng gây nên lực nén ở vùng đầu cấu kiện, vị trí mặt cắt nguy hiểm do cắt phải lấy lớn hơn 0,5 dv cotgθ hoặc dv tính từ mặt trong của gối.
Sức kháng cắt danh định có thể được tính bằng công thức sau:
Vn = Vc + Vs + Vp (5.1)
Trong đó
Vc = sức kháng cắt danh định của bê tông,
Vs = sức kháng cắt danh định của cốt thép sườn (cốt đai sườn)
Vp = sức kháng cắt danh định được xác định bởi thành phần thẳng đứng của dự ứng lực xiên.
Trong công thức 5.1, Vp có thể được xác định từ kích thước hình học của thanh kéo, trong khi Vc
và Vs được xác định bằng cân bằng nội lực và sự tương thích biến dạng của sườn bê tông cốt thép đã nứt. Việc xây dựng công thức đối với Vc và Vs dựa trên Lý thuyết vùng nén sửa đổi, có thể tham khảo Collins và Mitchell (1991).
3.1. Sức kháng cắt của các cấu kiện bê tông cốt thép thường
Mô hình thiết kế theo mặt cắt có thể được sử dụng để thiết kế cắt và xoắn đối với các bộ phận của cấu kiện cầu thỏa mãn giả thiết mặt cắt phẳng trước biến dạng thì vẫn phẳng sau biến dạng. Việc thiết kế cắt tổng quát đối với các cấu kiện BTCT có đặt cốt thép ngang ở sườn dầm gồm các bước sau:
Bước 1 : Tính toán chiều cao chịu cắt hữu hiệu dv:
Chiều cao chịu cắt hữu hiệu được tính là khoảng cách giữa các hợp lực kéo và hợp lực nén do uốn. Giá trị này cần được lấy không nhỏ hơn 0,9de và 0,72h, với de là chiều cao hữu hiệu tính từ mép chịu nén lớn nhất tới trọng tâm cốt thép chịu kéo và h là chiều cao toàn bộ của mặt cắt cấu kiện.
Bước 2
• Tính toán ứng suất cắt
u v v
V ν b d
=ϕ (5.2)
trong đó bv là bề rộng sườn dầm tương đương và Vu là nội lực cắt có nhân hệ số ở trạng thái giới hạn cường độ.
• Tính ν/f’c, nếu tỉ số này lớn hơn 0,25 thì cần sử dụng mặt cắt có sườn dầm lớn hơn.
Bước 3
Giả định góc nghiêng của ứng suất nén xiên, θ, và tính biến dạng trong cốt thép chịu kéo uốn:
0, 5 cot
u
u v
x
s s
M V
d
E A θ ε
+
= (5.3)
Trong đó Mu là mô men tính toán có nhân hệ số. Thông thường, Mu được tính từ trạng thái giới hạn cường độ xảy ra tại mặt cắt đó hơn là mô men tương ứng với Vu.
Bước 4
Sử dụng các giá trị ν/f’c và εx đã tính được để xác định θ từ hình 5.2 và so sánh nó với giá trị giả định. Lặp lại quá trình trên cho tới khi θ giả định xấp xỉ với giá trị tra từ hình 5.2. Sau đó, xác định giá trị β, là hệ số biểu thị khả năng truyền lực kéo của bê tông đã bị nứt nghiêng.
Bước 5
Tính toán sức kháng cắt cần thiết của các cốt thép ngang ở sườn dầm, Vs: 0, 083
u u
s c c v v
V V
V V β f b d
ϕ ϕ ′
= − = − (5.4)
với Vc là sức kháng cắt danh định của bê tông.
Bước 6
• Tính toán khoảng cách cần thiết giữa các cốt thép ngang ở sườn dầm
v y vcot
s
A f d
s V
≤ θ (5.5)
với Av là diện tích cốt thép ngang sườn dầm trong phạm vi khoảng cách s.
• Kiểm tra đối với yêu cầu về lượng cốt thép ngang tối thiểu ở sườn dầm
0, 083 hay
0, 083
v v y
v c
y c v
b s A f
A f s
f f b
≥ ′ ≤
′ (5.6)
• Kiểm tra đối với yêu cầu về khoảng cách tối đa giữa các cốt thép ngang ở sườn dầm Nếu Vu <0,1f b dc′ v v, thì s≤0, 8dv; 600 mm≤
Nếu Vu ≥0,1f b dc′ v v, thì s≤0, 4dv; 300 mm≤ Bước 7
Kiểm tra điều kiện đảm bảo cho cốt thép dọc không bị chảy dưới tác dụng tổ hợp của mô men, lực dọc trục và lực cắt.
0, 5 cot
u u
s y s
v
M V
A f V
d θ
ϕ ϕ
⎛ ⎞
≥ +⎜ − ⎟
⎝ ⎠ (5.7)
Nếu công thức trên không được đảm bảo, cần tăng thêm hoặc cốt thép dọc chủ hoặc tổng diện tích cốt thép ngang sườn dầm.
Hình 5.2 : Các giá trị θ của β và đối với các mặt cắt có cốt thép ngang
Ví dụ 5.1
Xác định khoảng cách cần thiết đối với các cốt thép đai No. 10 đối với dầm T bê tông cốt thép thường trên hình 5.3 tại một mặt cắt chịu mô men dương với Vu = 700 kN và Mu = 300 kNm. Sử dụng f’c = 30 MPa và fy = 400 MPa.
Bước 1
Đã biết Vu = 700 kN và Mu = 300 kNm
As = 2000 mm2 bν = 400 mm b = 2000 mm Giả sử trục trung hòa đi qua cánh dầm
( )
( )( )
2000 400
16 mm 200 mm
0,85 0,85 30 2000
s y
f c
a A f h
= f b= = < =
′ , thoả mãn
( )
( )
( )
ν
⎧ − = − − =
= ⎪⎪⎨ = =
⎪ = =
⎪⎩
/ 2 1000 68 16 / 2 924 mm max 0, 9 0, 9 932 839 mm
0,72 0, 72 1000 720 mm
e e
d a
d d
h
Giá trị quyết định là dv = 924 mm
Hình 5.3: Hình cho ví dụ 5.1. Xác định bước cốt đai Bước 2
Tính ν
c′
f ϕν = 0,9
ν ν ν
ν =ϕ = = =
700 000 2
2,10 N/mm 2,10 MPa 0, 9(400)(924)
Vu
b d
ν = = <
′
2,10 0, 070 0, 25
c 30 f Bước 3 Tính εx
Giả định θ = 40o cot θ = 1,192
ν θ
ε
ε −
+ ì + ì
= =
ì
= ì
6 3
3 3
/ 0, 5 cot 300 10 / 924 0, 5(700 10 )1,192 200 10 (2000)
1, 85 10
u u
x
s s x
M d V
E A Bước 4
Xác định θ và β từ hình 5.2: θ ≈ 41,5o; cot θ = 1,130 ε
ε −
ì + ì
= ì
= ì
6 3
3 3
300 10 / 924 0, 5(700 10 )1,130 200 10 (2000)
1,80 10
x
x
Sử dụng θ = 41,5o và β = 1,75
Bước 5 Tính Vs
3
0, 083
700 10 / 0, 9 0, 083(1, 75) 30(400)924 778 000 294 000 484 000 N
u
s c
V V f b dν ν
ν
ϕ β ′
= −
= ì −
= − =
Bước 6
Tính khoảng cách yêu cầu giữa các cốt đai , khi sử dụng Aν = 200 mm2
y s
y
A f d cot 200(400)(924)
(1,130) 173 mm
V 484 000
A f 200(400)
440 mm 0, 083 c 0, 083 30 (400)
s
s f b
ν ν
ν ν
≤ θ = =
≤ = =
′
′ν ν
<0,1 =0,1(30)(400)(924)=1,109 10 Nì 6
u c
V f b d
≤0, 8 ν =0,8(924)=739 hoặc 600 mm
s d
Bước cốt đai s = 173 mm là quyết định.
Bước 7
Kiểm tra điều kiện đảm bảo cho cốt thép dọc không bị chảy do cắt:
ν ν
ϕ ϕ θ
⎛ ⎞
≥ +⎜ − ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
ì +⎜ ì − ⎟
⎝ ⎠
< + − =
6 3
0,5 cot
300 10 700 10 484 000
2000(400)? 1,130
924(0, 9) 0, 9 2
800 000 361000 (778 000 242 000)1,130 967 000 N, không đảm bảo
u u
s y s
f
s
M V
A f V
d
Tăng Vs để thoả mãn bất đẳng thức
ν ν
ϕ ϕ θ
⎡ ⎛ ⎞ ⎤
≥ ⎢⎢⎣ −⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠ ⎥⎥⎦
⎡ ⎤
≥ ⎣ − − ⎦=
2 tan
2 778 000 (800 000 361 000) tan 41, 5 779 000 N
u u
s s y
f
o s
V M
V A f
d V
Yêu cầu về khoảng cách cốt đai là:
≤200(400)924 =
(1,130) 107 mm 779000
s
Giá trị này có lẽ không kinh tế. Tốt hơn là tăng As để thoả mãn bất đẳng thức, tức là:
≥967 000 =967 000 = 2 2418 mm
s 400
y
A f
Dùng hai thanh No.35 và một thanh No.25 với As = 2500 mm2 và cốt đai No. 10 với bước 170 mm.
3.2. Sức kháng cắt của các cấu kiện bê tông dự ứng lực
Sức kháng cắt được tạo nên bởi bê tông, cốt thép ngang và thành phần thẳng đứng của lực dự ứng lực. Sức kháng cắt thiết kế dựa trên mô hình vùng nén sửa đổi được sử dụng trong AASHTO LRFD và có dạng sau
Vn = giá trị nhỏ hơn trong hai giá trị
⎩⎨
⎧
′ + + +
p v v c
p s c
V d b f
V V V
25 ,
0 (5.8)
Trong đó:
v v c
c f bd
V =0,083β ′ (5.9)
( )
s d
f
Vs = Av v v cosθ +cotα sinα (5.10)
Với
bv Bề rộng sườn dầm hữu hiệu khi trừ đi đường kính của ống không lấp vữa hoặc một nửa đường kính của ống có lấp vữa
dv Chiều cao hữu hiệu, là khoảng cách giữa các hợp lực nén và hợp lực kéo do uốn nhưng không được lấy nhỏ hơn 0,9de và 0,72h
Av Diện tích cốt thép ngang trong phạm vi s s Khoảng cách giữa các thanh treo
α Góc nghiêng của cốt thép ngang so với trục dọc cấu kiện
β Hệ số xét đến khả năng tham gia truyền lực kéo của bê tông đã bị nứt nghiêng θ Góc nghiêng của ứng suất nén xiên (hình 5.4)
Hình 5.4 - Minh họa giá trị Ac trong tính toán về cắt
Các giá trị β và θ đối với các mặt cắt có cốt thép ngang được cho trong bảng 5.1. Khi sử dụng bảng này, ứng suất cắt ν và biến dạng εx trong cốt thép ở phía chịu kéo do uốn của cấu kiện được xác định bởi
u p
v v
V V
b d ν ϕ
ϕ
= − (5.11)
002 , 0 cot
5 , 0 5 , 0
+ ≤
− +
+
=
ps p s s
po ps u
u v
u
x E A E A
f A V
d N
M θ
ε (5.12)
Trong đó
Mu và Nu Mô men và lực dọc đã nhân hệ số (lấy dấu dương nếu là lực nén) được kết hợp với Vu
fpo Ứng suất trong cốt thép dự ứng lực khi ứng suất trong bê tông bao quanh bằng không và có thể được lấy như thông thường, là ứng suất hữu hiệu sau mất mát fpe
Nếu giá trị của εx tính từ công thức trên là âm thì giá trị tuyệt đối của nó phải được lấy giảm đi bởi hệ số nhân Fε tính bằng công thức sau:
ps p s s c c
ps p s s
A E A E A E
A E A F E
+ +
= +
ε (5.13)
Trong đó, Es, Ep và Ec lần lượt là mô đun đàn hồi của cốt thép thường, cốt thép dự ứng lực và của bê tông; Ac là diện tích của bê tông ở phía chịu kéo khi uốn của cấu kiện như biểu diễn trên hình 5.4.
Cốt thép ngang tối thiểu
y v c
v f
s f b
Amin =0,083 ′ (5.14)
Khoảng cách tối đa giữa các cốt thép ngang
Đối với Vu <0,1fc′bvdv smax = giá trị nhỏ hơn của 0, 8 600 mm
dv
⎧⎨
⎩ (5.15) Đối với Vu ≥0,1fc′bvdv smax = giá trị nhỏ hơn của 0, 4
300 mm dv
⎧⎨
⎩ (5.16)
Bảng 5.1 - Các giá trị θ của β và đối với các mặt cắt có cốt thép ngang
Chương 7