Bên cạnh các bài toán cần thiết phải xác định các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số z = f(x) nào đó như ví dụ cụ thể trên, trong nhiều bài toán vật lý thường còn phải tìm giá trị cực đại và cực tiểu của một loại đại lượng đặc biệt gọi là các phiếm hàm..
Người ta gọi là phiếm hàm những đại lượng biến thiên mà các giá trị của nó được xác định phụ thuộc vào một hay một vài hàm số. Chẳng hạn, độ dài l của một cung của đường cong phẳng (hay không gian) nối hai điểm cho trước A(xo;yo) và B(x1; y1) là một phiếm hàm. Đại lượng l có thể tính được nếu cho trước phương trình của đường cong y = y(x); khi đó:
l (y (x)( = x∫1
xo
. dx (3 .6)
Diện tích S của một mặt nào đó cũng là một phiếm hàm, bởi vì nó xác định phụ thuộc vào các mặt, tức là phụ thuộc vào việc chọn các hàm số z(x,y) trong phương trình của mặt z = z( x, y ), như đã biết:
S(z(x,y)( = ∫∫
D
2
2 ( )
) (
1 y
x x
z
∂ + ∂
∂
+ ∂ . Dxdy (3.7)
Ở đây, D là hình chiếu của mặt đang khảo sát lên mặt phẳng XOY.
Mô men quán tính, mô men tĩnh học, các tọa độ của trọng tâm của một mặt hay của đường cong, thuần nhất nào đó cũng là các phiếm hàm, bởi vì các gía trị của chúng xác định phụ thuộc vào mặt hay đường cong, tức là phụ thuộc hàm số chứa trong phương trình của mặt hay đường cong đó.
Trong tất cà các ví dụ trên, chúng ta thấy đặc điểm chung của phiếm hàm là quan hệ tương ứng giữa hàm số (hay véc tơ hàm) với số; trong khi đó hàm số z = f(x) cho quan hệ tương ứng giữa số với số.
Phép tính biến phân nghiên cứu các phương pháp xác định các giá trị cực đại và cực tiểu của các phiếm hàm. Những bài toán đòi hỏi nghiên cứu các phiếm hàm về mặt cực đại hay cực tiểu được gọi là các bài toán biến phân. Nếu các bài toán đó nghiên cứu các phiếm hàm về mặt cực đại hay cực tiểu trong giới hạn một miền cục bộ, cụ thể thì được gọi là các bài toán biến phân cục bộ.
Nhiều qui luật cơ học và vật lý học dẫn tới đều khẳng định là: một phiếm hàm nào đó trong quá trình khảo sát cần phải đạt cực đại hay cực tiểu. Những qui luật đó thường được gọi là những nguyên lý biến phân của cơ học hay vật lý học.
Nguyên lý tác dụng tối thiểu, luật bảo toàn năng lượng, luật bảo toàn xung lượng, luật bảo toàn khối lượng của chuyển động, luật bảo toàn mô men khối lượng của chuyển động các nguyên lý biến phân khác của lý thuyết trường cổ điển và lý thuyết tương đối, nguyên lý Fecma về quang học, nguyên lý Katilian trong lý thuyết đàn hồi vv… là những nguyên lý biến phân hoặc những hệ qủa đơn giản nhất của chúng.
Phép tính biến phân bắt đầu phát triển từ năm 1696 và đã trở thành một ngành toán học độc lập có những phương pháp nghiên cứu riêng, sau sự ra đời của các tác phẩm nghiên cứu cơ bản của Viện sĩ Viện hàn lâm khoa học Pe-tec-bua – Viện sĩ Euler (1707 – 1783). Chính vì vậy Euler được xem như là người sáng lập ra phép tính biến phân.
3.2. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN CỤC BỘ ĐỂ TÍNH TOÁN CHO ĐẬP ĐẤT-ĐÁ
Phương pháp biến phân cục bộ (BPCB) là một trong những phương pháp tính mạnh mẽ nhất hiện nay. Phương pháp này đã được P.L. Trernouko sử dụng lần đầu tiên vào năm 1965 để giải bằng phương pháp số đối với các bài toán biến phân (tức là những bài toán liên quan tới việc tìm cực tiểu một phiếm hàm nào đấy).
Việc kết hợp phương pháp biến phân cục bộ và phương pháp phần tử hữu hạn để giải các bài toán đàn hồi dẻo lần đầu tiên cũng do P.L. Trernouko và N.V.
Banitsuk kiến nghị vào năm 1973.
Như vậy về mặt sơ đồ tính toán và những giả thiết ban đầu của phương pháp BPCB hoàn toàn giống như phương pháp PTHH đã trình bày ở trên:
- Chia môi trường liên tục thành các phần tử rời rạc (hình tam giác hoặc hình vuông)
- Các phần tử được liên hệ với nhau ở các điểm nút để thỏa mãn điều kiện biến dạng liên tục.
- Ứng suất và biến dạng bên trong phần tử là không đổi, chuyển vị trong phần tử là hàm tuyến tính của tọa độ.
Còn sự khác nhau so với phương pháp PTHH là ở chỗ phương pháp BPCB không thành lập ma trận độ cứng của các phần tử và ma trận độ cứng của hệ, nghĩa là không cần phải giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Thay vì phải tính ma trận độ cứng, phương pháp BPCB đi tìm biến dạng thông qua các hàm tọa độ và có dạng
f(x,y,z)
x x U =
∂
=∂
ε
(3.8)
Ở đây các hàm tọa độ được thiết lập từ các quan hệ giữa tọa độ cục bộ và tọa độ chung.
Thuật toán cụ thể cho trường hợp tỏng quát (bài toán không gian 3 chiều) như sau
Theo sơ đồ tính toán các phần tử không gian (được giả thiết) là những lăng trụ tam giác có 5 mặt và 6 điểm nút. Như vậy nếu viết hàm chuyển vị từ 6 điểm nút ta sẽ có 18 hệ số trong dạng:
Ux = a1 + a2x + a3y + a4z + a5xz + a6yz Uy = a7 + a8x + a9y + a10z + a11xz + a12yz (3.9)
Uz = a13 + a14x + a15y + a16z + a17xz + a18yz
Để tìm giá trị các hằng số a1, a2, …. A18 ta phải giải hệ gồm 18 phương trình dạng [U] = [a] [x]
(3.10)
ở đây: [a] - Là ma trận các hằng số chưa biết [x] - Làứ a trận tọa độ cỏc điểm nỳt.
Bởi vì ma trận [x] trong một vài trường hợp riêng không có ma trận đảo ngược, vì vậy không thể giải trực tiếp hệ trên để tìm ma trận [a] được. Ta sẽ tìm cách biến đổi tọa độ để xác định các hàm số biến dạng.
Để biến đổi toạ độ ta sẽ đi tìm liên hệ giữa tọa độ chung và tọa độ cục bộ.
Trong hệ tọa độ chạy (tọa độ cục bộ) những điểm đặc biệt của phần tử có những giá trị xác định trong hệ tọa độ cục bộ, các trục của hệ tọa độ cục bộ được gắn
cứng với mỗi một nguyên tố riêng biệt. Việc bố trí các trục của hệ tọa độ cục bộ có thể được chọn tùy ý.
Quan hệ giữa các toạ độ chung và toạ độ cụcc bộ được biểu diễn bởi các biểu thức:
X = p1x1 + p2x2 + p3x3 + p4x4 + p5x5 + p6x6
Y = p1y1 + p2y2 + p3y3 + p4y4 + p5y5 + p6y (3.11)
Z = p1z1 + p2z2 + p3z3 + p4z4 + p5z5 + p6z6
Ở đây các hệ số p1, p12 …. p6 là hàm số của các tọa độ địa phương (tọa độ cục bộ) = (1−ξ−η)(1+ξ)
2 1 1
P = ξ(1+ξ)
2 2 1
P
= η)(1+ξ)
2 3 1
P = (1−ξ−η)(1−ξ)
2 4 1 P
= ξ(1−ξ)
2 5 1
P = η)(1−ξ)
2 6 1 P
(3.12)
Tương tự như vậy, chuyển vị của một điểm bất kỳ trong phần tử có thể được biểu diễn qua các chuyển vị của các điểm nút.
Ux = P1Ux1 + P2Ux2 + P3Ux3 + P4Ux4 + P5Ux5 + P6Ux6
Uy = P1Uy1 + P2Uy2 + P3Uy3 + P4Uy4 + P5Uy5 + P6Uy6 (3.13) Uz = P1Uz1 + P2Uz2 + P3Uz3 + P4Uz4 + P5Uz5 + P6Uz6
Nếu bây giờ ta gọi F là một hàm nào đó (có thể là hàm chuyển vị, hoặc ứng suất v.v…) được xác định trong hệ tọa độ chung, thì có thể biểu diễn hàm F dưới các dạng vi phân:
∂∂Fξ =∂∂ξx ∂∂Fx +∂∂ξy ∂∂Fy +∂∂ξz ∂∂Fz
z F z y F y x F x F
z F z y F y x F x F
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂
=∂
∂
∂
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂
=∂
∂
∂
ζ ζ
ζ ζ
η η
η
η (3.14)
Ta ký hiệu:
I ][
x x x
x x x
x x x
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ζ ξ ξ
η η η
ξ ξ ξ
(3.15)
Từ (3.14) ta sẽ có:
z F y F x F
I F F F
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
][
ξ η ξ
(3.16)
Trong trường hợp bài toán không gian, các thành phần biến dạng được viết:
y U z e U x
U z e U x
U y e U
z e U y
e U x
e U
y z yz z
x xz x y
xy
z z
y y
x x
∂ +∂
∂
=∂
∂ +∂
∂
=∂
∂ +∂
∂
=∂
∂
=∂
∂
=∂
∂
=∂
(3.17) Nếu hàm F là hàm chuyển vị, thì có thể xác định các biến dạng từ (3.16):
ζ η ξ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
−
F F F
I
z F y F x F
][ 1 (3.18)
Để tìm ma trận nghịch đảo [I]-1, trước hết ta cần biểu diễn ma trận [I] qua tọa độ chung theo (3. 11 và (3.12).
6 6 6
5 5 5
4 4 4
3 3 3
2 2 2
1 1 1
z y x
z y x
z y x
z y x
z y x
z y x
]'P [
]I[ = (3 19)
Ở đây ma trận [P’] là một ma trận mà các số hạng của nó là những đạo hàm riêng của Pi theo η, ξ và ζ . Sau khi lấy vi phân ta có:
η−
− +
−
−
−
−
=
c c
b b a b
bb aa
P 0 0
0 0 2
]'[ 1 (3.20)
Ở đây: a, b, c là hàm số của η, ξ và ζ
Nếu ký hiệu các phần tử của ma trận [I ] là dij và biến dạng cũng như ứng suất được tính ở trọng tâm của phần tử, thì sau những biến đổi theo những quan hệ giữa tọa độ chung và tọa độ cục bộ ta có:
d11 = (–x1 + x2 – x4 + x5)/2 d12 = (–y1 + y2 – y4 + y5)/2 d13 = (–z1 + z2 – z4 + z5)/2 d21 = (–x1 + x3 – x4 + x6)/2 d22 = (–y1 + y3 – y4 + y6)/2 d22 = (–z1 + z3 – z4 + z6)/2
d31 = (x1 + x2 + x3 – x4 – x5 – x6)/6 d32 = (y1 + y2 + y3 – y4 – y5 – y6)/6 d31 = (z1 + z2 + z3 – z4 – z5 – z6)/6 Để đơn giản, ta đặt:
[R] = [I]-1
thì từ phép nghịch đảo ma trận [I] và chú ý rằng d32 = 0 (vì cách lập sơ đồ của ta có y1 = y4 , y2 = y5, y3 = y6 ta sẽ được các số hạng rij của ma trận [R]:
rij = Σ dij.dji / D Định thức:
D = d11d22d33 + d12d23d31 – d31d22d13 – d12d21d33
Để xác định biến dạng ở trọng tâm của phần tử ta vi phân (3.13) theo các tọa độ cục bộ và dựa trên (3.12) ta có:
∂∂Uηx =21(1+η)Ux1 ; (1 ) 1
2 1
x
x U
U ξ
ξ = +
∂
∂ ; ∂∂Uζx =−21Ux1 Biết giá trị trọng tâm trong tọa độ cục bộ nên:
∂∂Uηx =−21Ux1 (3.21)
Đối với Uy1 và Uz1 ta cũng làm tương tự
Từ (3.21) theo các giá trị của [I]-1 và ∂Ux/∂η đã biết, ta có thể xác định được các thành phần biến dạng:
1 x 33 23 31 x
1 x 23 22 21 x
1 x 13 12 11 x
U 3) r r r 2( 1 z U
U 3 ) r r r 2( 1 y U
U 3) r r r 2( 1 x U
+
−
−
∂ =
∂
+
−
−
∂ =
∂
+
−
−
∂ =
∂
(3.22)
Đối với các chuyển vị Uy1 và Uz1 chúng ta cũng nhận được các biểu thức hoàn toàn tương tự.
Bằng cách như vậy ta có thể xác định được tất cả các thành phần biến dạng ở trọng tâm phần tử khi các biến phân thay đổi từ điểm này đến điểm khác theo các hướng trong tọa độ chung x0y.
Tóm tắt trình tự thực hiện bài toán biến phân:
Trên cơ sở thuật toán đã trính bày, trính tự giải bài toán biến phân cục bộ theo các chuyển vị có thể tóm tắt như sau: giả sử ta phải nghiên cứu ứng suất, biến dạng trong một miền không gian v nào đó, trong miền này ứng suất, biến dạng chuyển vị và ngoại lực được liên hệ với nhau bởi phiếm hàm F. Ta chia miền V thành các phần tử (có hình dạng đa giác tùy ý) liên hệ với nhau ở các điểm nút, ta sẽ thay đổi (ở đây là chuyển vị) trong mỗi một điểm nút, khi đó giá trị của phiếm hàm F sẽ chỉ phụ thuộc vào đối số trong các phân tử bao quanh điểm nút ta đang xét.
1.) Giả sử xét nút i nào đó chúng ta giả thiết một gia số chuyển vị ∆u, (giá trị của
∆u phụ thuộc vào độ chính xác mà ta muốn) thay ∆u vào phương trình (3.17) viết dưới dạng sai phân chúng ta xác định được các thành phần biến dạng εij..
2.) Sử dụng mô hình năng lượng (sẽ được trình bày trong chương 4):
y p ij
i 1
n ij o
ij Md 2[G G ]d
n de
d E + + ε
σ
± σ σ
= δ
σ −
để xác định các thành phần ứng suất σij khi đã biết các thành phần biến dạng εij..
3.) Thay các giá trị đã biết (chuyển vị ∆u, ứng suất σij., biến dạng εij..lực khối và lực mặt Pk) vào phương trình bảo toàn năng lượng và viết dưới dạng sai phân:
∆E = Σ Pi ∆U * ∆V +Σ Qi∆U * ∆S - Σ∆σij * ∆εij * ∆V (3.23) Trong đó: ∆E – Là năng lượng của hệ trong các chuyển vị khả dĩ.
Pi, Qi – Là các vectơ lực khối và lực mặt ∆Ui – Là các vectơ chuyển vị khả dĩ.
σij ,εij – Là các thành phần ứng suất và biến dạng.
V – Là miền đang xét trong đó có các lực khối (như trọng lượng bản thân chẳng hạn)
S – Là mặt biên của miền mà trên đó có các lực mặt.
4.) Phương trình (3.23) tương đương với hệ phương trình cân bằng và các điều kiện biên trong theo ứng suất. Bài toán về trạng thái ứng suất, biến dạng của đập
chuyển vị bằng 0), nên có thể sử dụng (3.23) để giải các bài toán của đập. Khi thực hiện nguyên tắc biến phân, các chuyển vị của hệ làm cho phiếm hàm năng lượng E đạt giá trị cực tiểu của phiếm hàm (3.23)
Từ phương trình (3.23) ta sẽ tính Eki từ các chuyển vị sau đây theo 3 hướng:
- Theo hướng nằm ngang X : Uki = UX, UX + ∆h, , UX - ∆h/2 . . .
- Theo hướng thẳng đứng Y : Uki = UY, UY + ∆h - Theo hướng nằm ngang Z : Uki = UZ, UZ + ∆h
Ở đây ∆h là bước biến phân (bước lặp). Từ các giá trị của Uki , ta chọn được giá trị của chuyển vị thực, nếu như giá trị đó làm cho (3.23) trở thành cực tiểu. Sau đó ta lại chuyển sang biến phân của các chuyển vị ở nút tiếp theo. Bằng cách như vậy ta sẽ “tính thử’ hết tất cả các nút trong miền tính toán theo 3 hướng, cho đến chừng nào mà chuyển vị Uk+∆h không làm cho phiếm hàm E cực tiểu (∆E âm hoặc bằng 0) ở bất cứ nút nào nữa thì quá trình lặp dừng lại. Sau đó, bước biến phân lại giảm đi một nửa với giá trị.
Αh=Α2h; Αh= Α4h; Αh=Α8h ; . . .. …….
và quá trình tính thử lại lặp lại từ bước đầu cho đến lúc ∆h = ∆h/2n, bé hơn một số ε cho trước trước nào đó thì bài toán kết thúc. Ở đây ε là độ chính xác tùy ý được quy định trước.
Nếu ∆E âm hoặc bằng 0 thì chính ∆U là chuyển vị thực.Quá trình như vậy lặp lại cho tất cả các điểm nút trong đập. Ưng suất σij và biến dạng εi được xác định tương ứng với ∆U thực.
Qua các phương pháp số trình bày ở trên ta thấy ngay rằng phương pháp biến phân cục bộ là phương pháp có nhiều ưu điểm hơn cả vì nó dễ dàng phù hợp với các bài toán phi tuyến, nó không yêu cầu phải tuyến tính hóa các phương trình vi – tích phân để đưa đến việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính cồng kềnh. Đồng thời do quá trình lặp (giống nhau về thuật toán mà ta dễ dàng thiết lập) nên rất thuận tiện cho việc lập chương trình.
CHƯƠNG IV
CÁC MÔ HÌNH TOÁN